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Projet Combien?
G. Tisseau, J. Duma, H. Giroire, F. Le Calvez, M. Urtasun
Ma première machine :
la machine Construction Ensemble
A quoi sert la machine ?
A résoudre des exercices de dénombrement de la
forme :
Etant donné un ensemble, combien peut-on former
de sous-parties de cet ensemble vérifiant certaines
contraintes.
Par exemple :
Avec un jeu de 32 cartes, combien peut-on former de
mains de 5 cartes contenant 2 piques et 3 cœurs ?
Résoudre ?
Donner le nombre : le cardinal de l'ensemble à
dénombrer.
Et
Justifier ce résultat en expliquant comment il est
obtenu.
La "machine" va vous imposer une démarche de
réflexion qui permet le calcul et la justification du
résultat.
Méthode utilisée
La machine permet de définir les différentes étapes
de la construction d'un élément de l'ensemble à
dénombrer. Chaque étape construit une partie d'un
élément de l'ensemble à dénombrer.
Pour construire une main de 5 cartes répondant aux
contraintes :
1ère étape : On choisit 3 cœurs
2ème étape : On choisit 2 piques
Règles de construction
Pour être correcte, une construction doit respecter les
contraintes suivantes :
1. Elle doit satisfaire les principes de base du dénombrement
– rien en moins : il ne faut oublier aucune configuration solution
– rien en plus : on ne doit compter que des configurations solutions
– rien deux fois : aucune configuration ne doit être comptée plusieurs
fois
2. Le nombre de possibilités de réaliser une étape doit être indépendant du
résultat des étapes précédentes.
Aide sur les formules
La réponse à "Combien" est donnée par une des formules suivantes :
C(n,p)
C'est le nombre de possibilités de choisir p éléments distincts parmi n, de manière à former un ensemble
(on ne tient pas compte de l'ordre des éléments).
A(n,p)
C'est le nombre de listes de longueur p qu'on peut former en choisissant p éléments distincts parmi n.
L'ordre des éléments dans la liste est pris en compte.
n!
C'est un cas particulier de la formule A(n,p), lorsque n = p. C'est le nombre de façons d'ordonner n
éléments distincts en une liste.
n^p
Cela désigne n élevé à la puissance p. C'est le nombre de listes de longueur p qu'on peut former avec des
éléments choisis parmi n. L'ordre est pris en compte et les répétitions sont autorisées.
n
C'est lorsqu'on peut donner directement le nombre de possibilités, sans utiliser de formule.
Calcul_1
A chaque étape de la construction, on peut calculer
le nombre de possibilités de parties différentes.
1ère étape : On choisit 3 cœurs
2ème étape : On choisit 2 piques
C(8,3)
C(8,2)
Calcul_2
Si la construction suit les règles, le cardinal de
l'ensemble à dénombrer est le produit des calculs de
chaque étape.
Dans un jeu de 32 cartes, le nombre de mains de 5
cartes contenant 2 piques et 3 cœurs est :
C(8,3) x C(8,2)
Vocabulaire
Référentiel : on appelle référentiel un ensemble
d'objets de même nature à partir duquel on construira
les éléments à compter.
Un jeu de 32 cartes
Univers : on appelle univers l'ensemble des sousparties de taille donnée d'un référentiel.
Les mains de 5 cartes
Vocabulaire
Configuration : on appelle configuration un élément
de l'univers.
Une main de 5 cartes
L'ensemble à dénombrer est l'ensemble des éléments
de l'univers vérifiant les contraintes
L'ensemble des mains de 5 cartes contenant 3 cœurs
et 2 piques
Machine Construction Ensemble
Manuel d'utilisation
Différentes phases
Choisir un exercice
Définir l'univers
Définir une construction par étapes successives
Compter
Comment choisir un exercice ?
1. Choisissez un item du menu
« Liste des exercices »
2. Son texte apparaît
3. Si cet exercice vous convient, cliquez le bouton
« valider »
4. Plus tard, vous pourrez changer d’exercice en cliquant
« changer exercice »
Comment définir l’univers ?
Le cadre « univers » présente une phrase à compléter :
On veut des parties à … éléments choisis dans …
1. Le premier menu permet de choisir le nombre
d’éléments (ici : 5)
2. Le deuxième menu permet de dire dans quel ensemble
on choisit ces éléments (ici : un jeu de 32 cartes)
3. Une fois votre choix fait, cliquez « OK »
4. Plus tard, vous pourrez changer d ’univers en cliquant
« changer univers ».
Comment définir une étape ?
1. Cliquez sur le bouton « Nouvelle étape »
2. Remplissez la phrase « On veut tirer … éléments vérifiant … »
pour cela, indiquez d’abord le nombre d’éléments, puis le nombre de
propriétés que doivent vérifier ces éléments. Si vous indiquez deux
propriétés, elles devront être vérifiées toutes les deux.
3. Remplissez chaque propriété
Une propriété est une phrase sujet / verbe / complément.
Exemples : « la couleur est cœur » ou « la hauteur est dans {7, 8} »
4. Répondez à « Combien ? » (nombre de possibilités)
Cliquez sur « … ». Un dialogue vous permet de saisir une formule.
5. Cliquez sur « Ajouter l’étape »
Compléter la construction
1. Introduisez toutes les étapes
A chaque fois, revenez à la procédure précédente :
bouton « Nouvelle étape », etc.
2. Répondez à « Combien ? » pour la construction.
C’est la réponse que vous proposez pour l’exercice
3. Cliquez sur « valider la construction »
Un récapitulatif de votre réponse est affiché. C’est la
« copie » que vous vous proposez de rendre.
4. Cliquez sur « J’ai terminé » si cela vous convient.
Sinon cliquez sur « modifier la construction »
Modifier la construction
Pour modifier la construction, ajoutez une étape ou
utilisez la « liste des étapes » pour en modifier une :
1. Sélectionnez une étape dans cette liste (cliquez)
2. Vous pouvez demander :
modifier l’étape : « modifier la sélection »
supprimer l’étape : « supprimer la sélection »
Effectuer des tirages
Si vous voulez, vous pouvez voir les conséquences de vos choix en
demandant à la machine de donner des exemples de configurations tirées
au hasard et vérifiant les conditions que vous avez énoncées.
1. Cliquez « Effectuer des tirages »
Une fenêtre auxiliaire apparaît (« Tirages de parties »)
2. Cliquez « Nouveau tirage »
3. Répétez « Etape suivante » suivi de « Tirer »
Quand il n’y a plus d’étape, la configuration tirée se trouve dans le
cadre « résultat ». Vérifiez qu’elle est compatible avec l’énoncé.
4. Vous pouvez répéter « Nouveau tirage », etc.
5. Fermez la fenêtre de tirage (cliquez la case de fermeture)
Erreurs
Il se peut que vous fassiez des erreurs …
1. Une fenêtre d’erreur apparaît
Chaque problème détecté est décrit dans une page d’un dossier à
onglets.
2. Sélectionnez un onglet pour voir le problème
correspondant
3. Eventuellement, demandez une aide
complémentaire (bouton jaune)
Types d’erreur
Une erreur peut être d’un des types suivants :
1. Impossibilité
Exemple : vous demandez à tirer 5 as dans un jeu de 32 cartes
2. Contradiction
Exemple : vous avez déclaré que vous vouliez des mains de 5 cartes
et vous terminez la construction avec 6 cartes.
3. Non respect des principes généraux de dénombrement
Vous oubliez des configurations solutions, ou bien certaines de vos
configurations sont fausses, ou bien vous en comptez certaines
plusieurs fois.
4. Non respect du principe de l’arbre
Votre arbre n’est pas régulier : le nombre de façons de réaliser une
étape dépend des résultats des étapes précédentes.
5. Erreur dans le dénombrement (la formule « Combien ? » est fausse)