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RENTREE 2015
Révisions de Terminale à Sup : exercices de calcul
Pour préparer son entrée en Sup, il n'y a pas besoin de réviser le programme de
terminale : vous avez été accepté en prépa, vous avez le bac ; vous avez donc le
niveau .
Ce n'est pas pour autant que vous n'avez rien à faire pendant les vacances d'été.
Tout d'abord, sachez qu'à l'écrit du concours Agro-Veto l'épreuve de français et
de LV 1 ont chacune le même coecient 2, et que les maths, sciences physiques et
SVT ont également chacune le même coecient, 4.
1
Pour se faire la main...
Exercice 1 Supprimer les parenthèses et les crochets dans les expressions suivantes (les réponses doivent être écrites sous forme ordonnée ) :
A = (a − b + c) − (2a − 3b − 4c) + (b − a) = −2a + 3b + 5c
B = [12 − (a − b + 6)] − [15 + (b − a − 15)]
C = [(a − b) − (5 − a)] + [b − 7 − (a − 3)]
D'autre part, nous attirons votre attention sur le fait que la calculatrice est interdite à certains écrits et oraux du concours Agro-Veto en Mathématiques.
Elle sera donc interdite pendant la plupart des DS de mathématiques de l'année.
Réponse :
voir page 16
Exercice 2
Tant en maths qu'en physique-chimie, il est important d'être à l'aise en calculs.
Le calcul est un outil intermédiaire entre les premières lignes écrites qui ne sont
que la traduction du problème, et la conclusion, c'est donc quelque chose de fondamental. Quelqu'un qui ne sait pas calculer juste a un sérieux handicap en classe
préparatoire. Et les écarts peuvent être énormes, entre celui qui fait un calcul juste,
entièrement détaillé et écrit, et celui qui fait le même calcul de tête et faux en 30
secondes, ou qui ne sait pas le faire !
On ne peut s'améliorer en calcul qu'en en faisant, et certainement pas en se contentant de regarder les autres faire : ce n'est pas en regardant un champion de tennis
jouer que vous apprendrez à jouer (presque) comme lui, mais bien en vous exerçant
tous les jours ... Il faut arriver en septembre en étant bien au point sur cet aspect
du programme du lycée, et il faudra continuer à vous entraîner régulièrement, tout
au long de l'année.
Cette série d'exercices a été conçue dans ce but. Il n'y a pas de mode d'emploi
type ; à chacun de voir son organisation : en faire un peu tous les jours dans des
domaines variés reste l'idéal. Apprenez également les formules qui sont proposées,
et vériez régulièrement que vous ne les avez pas oubliées.
Calculer de deux façons
A=
2
4
4
2
5
− − + 1 − − + − 2 + −2 +
3
5
3
5
3
• en calculant d'abord chaque parenthèse
• en supprimant les parenthèses et en regroupant les termes qui donnent un résultat simple
Réponse :
voir page 16
Exercice 3
Calculer
A = ((a − c) − (a − b)) − ((b − c) − (a + c))
1−
B=
2
3
−
4
3
C=
−1 +
1
2
+
5
4
−
× (−4)
2
3
+
5
4
4
2
2+ −
5
3
3−
E=
Réponse :
Pour vous aider à vous y mettre sérieusement, sachez qu'une évaluation notée est
prévue à la rentrée.
2
voir page 16
Il se peut que certaines réponses soient erronées ; merci de les signaler à l'adresse [email protected]
ou [email protected].
Réponse :
1
1
3
5
4
−
− 1−
+
3
4
3
4
4
11
4
D=
−
2−
9
27
3
1
1
1− +
1
3
1+
3
F =
1
1
1+ −
1
3
1−
3
Racines carrées
Exercice 4
q
(−5)2
q √
( 3 − 2)2
q
(3 − π)2
Vous apporterez ce polycopié à la rentrée pour le premier cours de mathématiques .
1−
Exprimer sans
q racine carrée :
voir page 16
√
( 3 − 1)2
q
√
(2 − 7)2
q
(3 − a)2 (selon les valeurs de a)
Exercice
5 Ecrire aussi
q
(2 5)2
√
√
(3 + 7)2 − (3 − 7)2
√
(2 + 5)2
q
√
( 2 3)4
√
5− 2 2
( √
)
3
√ !2
5 2
√
3+1
Calculs de factorielles
Pour n ∈ N \ {0} on pose n! = 1 × 2 × · · · × (n − 1) × n.Par convention 0! = 1
Exercice 9
: Pour rendre rationnel
on utilise l'identité (a − b)(a + b) = a2 − b2 .
√
√ un dénominateur,
√
An =
1
2− 2
1
2− 2
2− 2
√ =
√ .
√ =
=
4−2
2
2
2+ 2 2− 2
Réponse :
rationnels
√ les dénominateurs des expressions suivantes :
1
√
√
2− 3
Réponse :
√
(n + 3)!
(n + 1)!
1
1
Bn =
n+2
1
−
(n + 1)!
n!
Cn =
un+1
an
où un =
un
n!b2n
voir page 15
voir page 16
4
2−1
2+1
√
5− 2
√
√
3− 2
√
√
2+ 3
√
1− 3
Puissances
Pour x un réel (ou complexe) non nul et n un entier naturel non nul, par dénition on a :
xn = x × · · · × x et x0 = 1
√
|
n
{z
fois
}
Règles de calcul
: pour x, y
voir page 16
Exercice 7
12!
Indication :
2+
Exercice
6 Rendre
√
2− 3
√
2+ 2
√
√
√
2+ 3+ 5
√
√
2+ 3
12!
−
.
Simplier
8!
3!10!
9!
10!
Pour n ∈ N \ {0} et (a, b) deux réels strictement positifs, simplier
voir page 16
Réponse :
Ainsi :
3
√
√
5+2 6
5−2 6
√
√ +√
√
2+ 3
2− 3
√
√
√
√
( 2 + 3)2 + ( 2 − 3)2
Méthode
Pour G et H , on s'intéressera également à l'ensemble de dénition de l'expression en fonction
de x.
Réponse : voir page 16
simplement que possible :
deux réels non nuls
et m, n deux entiers relatifs
xm × xn = xm+n et (xy)α = xm × y m
xm
1
−m
=
x
et
= xm−n
xm
xβ
Vérier les égalités suivantes :
(xm )n = xmn
q
√
√
q4 + 2 3 =q1 + 3
√
√
√
3+ 5− 3− 5= 2
Exercice 8 Simplier les
√
√
√
√
3+ 2
3− 2
√ +√
√
A= √
3− 2
3+ 2
√
√
(3 3 + 2)( 3 − 1)
√
C=
√
√3 + 1 √
D = q75 − 12 − 27
√
F = 9(1 − 3)2
q
√
H = 1−2 x+x
√
√
2− 3
q7 − 4 3 = q
√
√
√
3−2 2+ 3+2 2=2 2
q
: lorsqu'on a un produit, on n'écrit pas b×2×3×a et encore moins (b×2)×(a×3)
, même au cours d'un calcul : on écrit directement 6ab en respectant impérativement l'ordre
alphabétique des lettres.
Règle d'écriture
nombres suivants :
Exercice 10 Calculer les expressions
A = (7xy)3
(3x2 y)2 = 9x4 y 2
−a 3 2
C = [(
) ] × [(−b)2 ]3
b
q
q
√
√
J =− 7−4 3+ 7+4 3
√
√
√
E = 2 8 + 3 32 + 2 98
q
G = 32(1 + x)2
q
q
√
√
K = 12 + 3 7 + 12 − 3 7
D = xy × (
F =(
−3 2 2 2
)a .( )b x.(−x)4
5
3
Réponse :
2
3
1
−2 2
)x × y 2 = − x3 y 3
3
4
2
voir page 16
suivantes :
B = (2a2 b3 )5
2
−3
−2 2
E = ( )a2 × (
)xy 3 × (
)a x
7
4
5
G = 4x3 .(−3y 2 ).(
−5 2 2 5
)a x y
6
5
Puissances réelles
Pour x un réel strictement
positif
et α réel, par dénition on pose :
Les "polynômes" seront dénis pendant l'année, mais vous avez déjà travaillé avec des
expressions polynomiales, par exemple x2 − 3x + 1 ou x − 2x3 + 1.
xα = exp(α ln x) = eα ln x
Règles de calcul
: pour x, y
deux réels strictement positifs
Un polynôme doit impérativement être ordonné selon les puissances croissantes (ou quelquefois
décroissantes). Par exemple, on n'écrit jamais x − 2x3 + 1, mais −2x3 + x + 1.
et α, β deux réels
Exercice 13 Réduire et ordonner les polynômes suivants
P (x) = 7x3 + 8x − 3 + 4x − 2x3 − 5x + 2 = 5x3 + 7x − 1
−3 2
5
x
5
Q(x) =
x + x − 3x2 + − x2 + 5 + 4x2
2
4
6
2
x2
3
3
− x2
R(x) = x2 + xy + y 2 − 2xy +
2
3
2
2
2
1
1
2 2
3
S(a) = 4a2 − a − a2 + + a − 5a +
a −
3
5
2
3
15
4
3
5
4
3
7
T (x) = 4x2 − + x − x2 + x3 − 5 + x3 + 7 − 2x
2
5
2
3
2
xα × xβ = xα+β et (xy)α = xα × y α
1
xα
= x−α et β = xα−β
α
x
x
(xα )β = xαβ
β
Convention usuelle : xα soure d'un problème de parenthésage et pourrait désigner (xα )β
β
et x(α ) . Or les règles de calcul donnent (xα )β = xαβ ; donc on convient habituellement que la
β
β
notation xα désigne x(α ) .
Exercice 11
Réponse :
Simplier :
G = 77
2
4
2 −8
× 7 × 11 × (7 × 11) × (7 )
× (7
A = 2 − 5x + 4x3
2
L=
an
;
an
M = a3n (an )3 ;
−8 −3
)
A
−B
C
1
×
(−11)−3
=
=
=
4x3
−2x3
−4x2
+x2
−5x
+8x
+2x
puis on additionne par colonnes.
P = (an )n
C = −2x3 + 3 + x2 + 2x
+2
−6
+3
On trouve immédiatement A − B + C = 2x3 − 3x2 + 5x − 1
où a est un réel strictement positif et n un entier naturel non nul.
Réponse : voir page 16
Exercice 14
Former les polynômes A + B + C ; A − B + C ; A + B − C ; −A + B + C avec
A = 3x2 − 4x + 5
(exercice fondamental)
Exprimer en fonction de ex les nombres suivants :
Exercice 12
Réponse :
A = ekx ; B = e−x ; C = e3x+2 ; D = ex − ex+1 ; E = ex + e−x ; F = ex + 2e−x + 3
Réponse :
B = −8x + 4x2 + 6
Pour calculer la somme A − B + C , on recopie sur 3 lignes les polynômes ordonnés, en laissant
de l'espace pour les puissances manquantes :
2
K = (an )2 ;
voir page 16
Méthode : on considère les polynômes :
3 2n
2 3 2
B=
;
E
=
2 3n+1
3 4
7 3
2 2
1
3
F = (−1) −
× −
× (−7) × −
8
7
14
4
:
Somme de polynômes
412
A = 25 ;
2
−1
Sommes et produits de polynômes
voir page 16
Même question avec
A = 5a2 − 3ab + 7b2
3
C = 3 − x + 4x2
voir page 16
Exercice 15
Réponse :
B = 2x2 + 4 − 5x
voir page 16
B = 9b2 − 8ab + 6a2
C = −7b2 − 3ab + 4a2
Exercice 17
Produit de deux polynômes à une variable
Méthode : après avoir ordonné les polynômes, on dispose les calculs comme une multiplication
d'entiers à l'école primaire, en réservant de l'espace pour les puissances manquantes.
Soient les polynômes
A = 3x3 − 2 + 5x et B = 2x2 − 4x + 3.
Calculer le produit A.B
A=
B=
3.A =
−4x.A =
2x2 .A =
A.B =
3x3
2x2
+9x3
−12x4
6x5
6x5
−12x4
+10x3
+19x3
−20x2
−4x2
−24x2
Exercice 16 Eectuer les produits
A = (4x5 + 7 − 2x3 )(x3 − 2x)
B = (5x3 − 2x)(3x − 4x2 )
C = (7x4 − 2x3 + 4x2 )(3x2 − 5)
D = (2x2 − 4 + 2x)(x2 + 5 − 2x)
+5x
−4x
+15x
+8x
−2
+3
−6
+23x
−6
6
=
4ab
a3 + b3 + c3 − 3abc
=
(a + b + c)(a2 + b2 + c2 − bc − ca − ab)
1
(a + b + c)((b − c)2 + (c − a)2 + (a − b)2 )
2
Exercice 18
Factoriser
C = 4x2 − 4x + 1
E = 4x3 + 8x2 y + 4xy 2
1
4
D = a2 + 4a + 4
3
F = (x + y) − x3 − y 3
G = (x − y)3 − x3 + y 3
H = x3 + 27y 3
2
B = x2 + x +
A = x − 2x + 1
suivants, réduire et ordonner les résultats :
K = 8a3 − 125
Réponse :
voir page 16
Exercice 19
Utiliser les identités classiques pour développer les produits suivants :
3
2
A = ( x3 − y 2 )2
2
5
4
2
B = ( x5 + y 3 )2
3
5
3
2
3
2
C = ( x2 − y)( x2 + y) = 4/25x4 − 9/16y 2
5
4
5
4
2
1
2
1
D = ( a2 x3 − b4 )( a2 x3 + b4 ) = 4/9a4 ∗ x6 − 1/4b8
3
2
3
2
E = (3x + 4y − 5)(3x + 4y + 5)
4
2
4
2
F = ( x − y − 1)( x + y + 1)
3
5
3
5
G = (3x + 4y − 2z)2
5
3
H = ( x − y + z)2
2
4
voir page 16
Identités remarquables
Démontrer (et apprendre) les identités suivantes :
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2bc + 2ca + 2ab
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
(a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3
(a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab.
Factorisation
(a + b) − (a − b)2
=
E = (2x − 7x2 + 5x3 )(3x − 5x2 + 8)
5
1 7
1
F = ( x3 − 2x + )( x3 − 2x + )
4
2 2
2
G = (3x2 − 1)(x + 1)(x − 1)
H = (4x3 − 7x + 2x2 + 5)2
Réponse :
Démontrer que pour tous réels a, b, c on a les égalités :
2
Réponse :
voir page 16
Exercice 20
pour a, b réels (ou complexes) et n un entier naturel non nul :
an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + an−3 b2 + · · · + abn−2 + bn−1 )
A = x2 + · · · + 16
B = x2 − · · · + 9a2
C = 4x2 − 4x + . . .
D = 9x2 + 6x + . . .
E = x2 + · · · + y 4
F = 4a2 x2 − · · · + 1
Réponse :
Cette formule est à mettre en relation avec la somme de termes d'une suite géométrique rappelée
un peu plus loin ci-dessous.
4
Compléter de façon à obtenir une expression de la forme (T + U )2
voir page 16
Exercice 21
Décomposer en un produit de facteurs les expressions suivantes :
5 3 2
5
x y − 5x2 y 2 + xy 2
2
2
4 3 2
3 2
C = a x − 5a y
5
E = 25a2 x4 y 2 − 4b2 y 2
3 2 2
25 2 2
a bx −
a by
4
3
F = (2x − 3)2 − (3x − 5)2
G = (2x + 3)2 − 4(2x + 3)
H = (5x2 + 3x − 2)2 − (4x2 − 3x − 2)2
B = 18abx2 − 12abx + 2ab
A=
2
2
2
2
I = (3x − 5) + (3x − 5)(2x + 3)
K = a(x2 + 1) − x(a2 + 1)
J = (a + b − 2) − (2ab − 2)
L = ab(x2 + y 2 ) + xy(a2 + b2 )
M = (a2 + b2 − 10)2 − (a2 − b2 − 8)2
N = (4a2 + b2 − 9c2 )2 − 16a2 b2
voir page 16
Exercice 22
A=
B=
2b2 x4
−2a3 b2 x
3a3 bx3
H=
10a2 x3 y 2
−4a4 x3 y
B=
C=
a−b
a2 − ab
3a
×
× 2
a
5
a − b2
D=
x+3x+1
x
5
x2 (x + 1)(x + 3)
a2
1
4
a2 − b2
× 2 ×
− ab
a
5
y
x
−
x−y
x+y
E=
x
y
+
x+y
x−y
x−1
x+1
−
x−1
x+1
F =
x−1
1−
x+1
b
a
+ −2
b
a
G=
b
a
−
b
a
b2
a+b
+
2
a−b
H=
ab
a+b
−
2
a+b
Réponse :
6x2 − 4x
F =
9ax − 6a
x3 − 9x
3x2 − 9x
I=
x+1
2x − 1
3x + 1
+2
−
6
21
14
1
1
2a
C=
−
+ 2
a(a + 1)
a(a − 1)
a −1
1
3
x2 − 3
E=
−
+ 2
x−1
x+1
x −1
2
1
4
G=
−
+ 2
x+2
x−2
x −4
x3
x
2x
I= 3
+
− 2
x − x2
x+1
x −1
Résoudre
x+5
2
2
6
x2 + 25
2
voir page 15
voir page 17
Indication :
x2 + 2x + 1
x2 − 1
Réponse :
Exercice 26
Calculer les expressions suivantes, sans vous préoccuper de leur dénition :
A=
voir page 17
Exercice 25
voir page 16
Exercice 23
Réponse :
C=
x2 + x3
E= 3
x −x
ax + by
a2 x2 − b2 y 2
Réponse :
x+1
4x
x
×
× 2
2
6
x −1
Simplier les expressions suivantes, en admettant qu'elles sont dénies :
7a2 x5
x2
D= 2
x −x
G=
Simplier les expressions suivantes, sans vous préoccuper de leur dénition :
A=
D=
2
Réponse :
Exercice 24
Pour a, b réels et n un entier naturel non nul, factoriser
A = a5 − b5
C = 16a2 − 8a + 1
E = a3 − 8b3
G = a2n − 1
J = a3 + 8 + (a + 2)(2a − 5)
L = 4a2 + b2 − 4ab
P = (a + b)2 − 4ab
x+2
4x + 3
x+1
−
−
5
15
3
2
1
2
D=
−
+ 2
2a + 1
2a − 1
4a − 1
x
2
2
F =
−
− 2
x−1
x+1
x −1
x−2
1
1
H= 2
−
−
x + 2x
x+2
x
1
x−2
2
J= + 2
− 2
x
x −4
x + 2x
B=
Réponse :
voir page 16
5
voir page 17
B = a5 + b5
D = a4 − 4a2 b2 + 4b4
F = a2 + 2a4 − b2 − 2b4
H = a2n+1 + 1
K = a2 − 4b2
M = a2n − 4n
Somme des termes d'une suite géométrique :
pour q réel (ou complexe)
2. en fonction de ln 2 et ln 3 :
ln 36

n+1

 1−q
2
n
1 + q + q + ··· + q =
1−q

 n+1
si q 6= 1
ln
1
12
ln 21 + 2 ln 14 − 3 ln 0.875
ln 2.25
3. en fonction de ln 2 et ln 5 :
si q = 1
ln 500
ln
voir page 15
voir page 17
16
25
ln 6.25
ln
1
2
98
99
+ ln + · · · + ln
+ ln
2
3
99
100
Indication :
Exercice 27 Calculer en fonction de n
An = 1 + 3 + 9 + · · · + 32n
Bn = −1 + 4 − 16 · · · + (−1)n−1 4n
Cn = 1 − a2 + a4 − a6 + · · · + (−1)n a2n (?)
Dn = u0 + · · · + un où un = (−5)3n+1 (??)
Indication :
Réponse :
voir page 15
Calculer y sachant que
Exercice 31
Calculer An = 9 + 27 + · · · + 3n+2 (on factorisera par 32 pour se ramener à la
formule encadrée).
Calculer de même Bn = a2 + a4 + · · · + a2n et Cn = 3n+2 + 3n+3 + · · · + 32n+4 .
Réponse : voir page 17
√
√
√
ln y = ln(7 + 5 2) + 8 ln( 2 + 1) + 7 ln( 2 − 1)
voir page 15
voir page 17
Indication :
Réponse :
Simplier
Exercice 32
Logarithmes et exponentielles
√
√
A = ln (2 + 3)20 + ln (2 − 3)20
Il n'est pas question de donner ici les constructions des fonctions exponentielle et logarithme, qui
feront l'objet d'un chapitre de cours, mais seulement de rappeler les principales règles de calcul :
•
La fonction ln est dénie sur
d'où
et vérie pour tous réels a et b
R∗+
ln(ab) = ln a + ln b et ln 1 = 0
a
1
ln = − ln a et ln
= ln a − ln b.
a
b
strictement positifs
Réponse :
:
Exercice 34
exp(ln x) = x
et
ln 0.125
e−2 ln 3
1
ln(e− 2 )
ln x = α ln x
Exercice 35
1
1
1
1
ln − ln
8
4
4
8
√
ln( 5 e)
2010 + x
2010 − x
g : x 7→ ln(x +
p
x2 + 1)
h : x 7→
e2x − 1
e2x + 1
On n'oubliera pas de vérier que leur ensemble de dénition est centré en 0 !
Calculer les nombres suivants
1. en fonction de ln 2 :
ln 512
1
ln(e 3 )
α
Exercice 29
ln 16
+ ln
ln 72 − 2 ln 3
6
Résoudre les équations suivantes :
(a)
ln(−x − 5)
=
(b)
ln(−x − 5)
=
voir page 15
voir page 17
Indication :
Réponse :
5−1
2
Montrer que les fonctions suivantes sont impaires :
f : x 7→ ln
et pour tout entier relatif (et même tout réel) α on a
√
!
voir page 17
note usuellement exp a = ea où ln e = 1 .
positif
√
ln( e)
e
• la fonction exp est dénie sur R et vérie exp (a + b) = exp a exp b pour tous réels a et b. On
B = ln
5+1
2
Simplier les nombres suivants
3 ln 2
Réponse :
√
voir page 17
Exercice 33
 Ecrire ln(xy) = ln x + ln y exige d'avoir x > 0 et y > 0.
Enn pour tout réel x strictement
.
voir page 15
voir page 17
Exercice 28
7
1
2+1
√
√
√
25
7
ln(3 + 2 2) − 4 ln( 2 + 1) =
ln( 2 − 1)
En déduire que
16
8
Indication :
Réponse :
√
Calculer (1 + 2)2 et √
Exercice 30
ln(x − 61) − ln(x + 7)
x − 61
ln
x+7
!
Exercice 36
a = eln 3−ln 2
Simplier
√
√
f = ln( e4 ) − ln( e2 )
Réponse :
1
c = e− ln ln 2
d = ln
e17 q
1
h = exp − ln(e−3 )
g = ln
exp(− ln e2 )
3
b = −e− ln
1
2
cos
Réponse :
voir page 17
Exercice 37
Soit f : x 7→
e−x
−
.
ex + e−x
Première série de formules pour un réel a quelconque 2 :
f (a) + f (b)
.
1 + f (a)f (b)
cos (−a)
cos (π − a)
cos (π + a)
π
cos
−a
2
π
cos
+a
2
Questions subsidiaires : déterminer la parité de cette fonction et en calculer les limites en +∞ et
−∞.
Réponse : voir page 17
1
Simplier pour x non nul l'expression f (x) = xe 2 | ln(x
Indication : voir page 15
Réponse : voir page 17
Exercice 38
(1)
(3)
Réponse :
8
2
)|
2
1 6 e−x +x
√
e−6x 6 e
=
=
=
cos a
− cos a
− cos a
=
sin a
=
− sin a
sin (−a)
sin (π − a)
sin (π + a)
π
sin
−a
2
π
sin
+a
2
Résolution d'équations trigonométriques.
=
=
=
− sin a
sin a
− sin a
=
cos a
=
cos a
tan (−a)
tan (π − a)
tan (π + a)
π
tan
−a
2
π
tan
+a
2
=
=
=
=
=
− tan a
− tan a
tan a
1
tan a
1
−
tan a
a est un réel donné.
sin x = sin a ⇐⇒ il existe k ∈ Z tel que x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ .
cos x = cos a ⇐⇒ il existe k ∈ Z tel que x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ .
tan x = tan a ⇐⇒ il existe k ∈ Z tel que x = a + kπ .
Résoudre les inéquations suivantes :
e3x−5 > 12
e1+ln x > 2
voir page 17
Première formule : cos2 + sin2 = 1
ex
Montrer que pour tous réels a et b on a f (a + b) =
Exercice 39
sin
Faire l'étude de la fonction tan =
:
cos
domaine de dénition, parité, périodicité, limites aux bornes de l'ensemble de dénition ; dériva1
bilité, montrer que sa dérivée est tan0 = 1 + tan2 =
; tableau de variation et graphe.
2
Exercice 40
(2)
(4)
Exemple : résoudre l'équation sin 3x = sin x
sin 3x = sin x ⇐⇒ il existe k ∈ Z tel que 3x = x + 2kπ ou 3x = π − x + 2kπ
⇐⇒
il existe k ∈ Z tel que 2x = 2kπ ou 4x = π + 2kπ
π
π
⇐⇒
il existe k ∈ Z tel que x = kπ ou x = + k
voir page 17
L'ensemble des solutions est S = kπ; k ∈ Z ∪
Trigonométrie
 Avertissement au lecteur : toutes les formules de ce paragraphe sont à savoir sur le bout des
Exercice 41
doigts, et pas seulement à savoir (prétendûment) retrouver .
(1)
Là encore, pas question de faire ici un cours complet sur les fonctions trigonométriques cos, sin, tan,
seulement de brefs rappels 1 :
• la fonction sin : R → R est 2π -périodique (pour tout réel x, sin(x + 2π) = sin(x) ) et impaire
(pour tout réel x, sin(−x) = − sin(x)) ;
• la fonction cos : R → R est 2π -périodique et paire (pour tout réel x, cos(−x) = cos(x)) ;
nπ
o
sin
• la fonction tan =
est dénie sur R \
+ kπ; k ∈ Z ; elle est π -périodique (pour tout réel
cos
2
x, tan(x + π) = tan(x) ) et impaire.
(3)
(5)
(7)
(9)
(10)
1. et une invitation très ferme à aller revoir vos cours de lycée sur la question
4o
π
+ k ;k ∈ Z
4
2
nπ
2
Résoudre les équations suivantes
sin x = sin(π − 3x)
x
cos 2x + cos = 0
2
2π
7π
cos(
− x) = cos(
+ 3x)
5
5
7x
cos x = sin
5
5π
sin(
− x) + cos 2x = 0
2
sin 2x + cos 3x = 0
(2)
(4)
(6)
π
π
) = sin(3x + )
3 π
2
tan x = tan( + x)
2
π
tan(x − ) + tan 3x = 0
4
sin(2x −
(8)
cos 4x = sin 7x
(11)
tan 3x = tan 5x
voir page 15
voir page 17
Indication :
Réponse :
2. Formules à connaître par c÷ur et, pour les deux premières colonnes, à voir sur le cercle
trigonométrique... vous trouverez sur internet
7
Deuxième série de formules 3 :
cos(a + b)
sin(a + b)
=
=
tan(a + b)
=
Exercice 42
=
=
0
cos x
1
sin x
0
tan x
0
π
√6
3
2
1
√2
3
3
=
=
tan(a − b)
=
cos a cos b + sin a sin b
sin a cos b − cos a sin b
tan a − tan b
1 + tan a tan b
Inéquations : pour un réel
Réponse :
π
0
−1
Réponse :
1
0
X
0
Exercice 48


2
2
π 6 x 6 2π
sin x = −
(
(S2 )
10
En remarquant que
Résoudre les inéquations suivantes :
|x − 3| 6 4
|x − 1| 6 |2x + 3|
Réponse :
1
2
06x6π
cos x = −
(2)
(5)
|2x + 1| > 5
| − 2x + 3| 6 7
(3)
|x + 2| > −5
voir page 15
voir page 18
Equations polynômiales du premier degré
Rappel :
Si a, b, c et d sont des nombres réels (ou complexes) et b et d ne sont pas nuls,
a
c
alors
= si et seulement si ad = bc
5π
π
π
5π
5π
5π
= +
calculer cos , sin , tan .
12
6
4
12
12
12
b
cos 2a
sin 2a
−
.
sin a
cos a
d
Exercice 49
voir page 17
Résoudre les équations suivantes
3x = 4 (1)
π
) en fonction de sin x et cos x ; en déduire la résolution des
4
√
équations sin x + cos x = 1 puis sin x + cos x = 2.
Réponse :
a6x
Indication :
√
voir page 17
Exercice 46
−a 6 x 6 a
x 6 −a ou
Représenter graphiquement les solutions des inéquations du premier encadré
ci-dessus de deux façons :
• sur un axe réel
• en construisant la représentation graphique de la fonction x 7→ |x|.
Résoudre les systèmes suivants :
Simplier
⇐⇒
⇐⇒
Exercice 47
voir page 17
Exercice 45
|x| 6 a
|x| > a
|x + y| 6 |x| + |y|
π
2
(1)
(4)

Exercice 44
a on a
NB : en général on n'a pas |x + y| = |x| + |y| ; on dispose seulement de l'inégalité triangulaire :
(S1 )
Réponse :
positif
si x > 0
si x 6 0
x
−x
Enn pour deux réels x et y quelconques on a |x| 6 |y| ⇐⇒ x2 6 y 2
X : non déni, attention !
Exercice 43
de x ∈ R le réel, noté |x|, déni par
4
π
3
1
√2
3
2
√
3
1
valeur absolue
|x| =
5
π
√4
2
√2
2
2
Valeurs absolues
On appelle
cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a
2 cos a sin a
Valeurs remarquables
x
cos(a − b)
sin(a − b)
Démontrer les formules sur la tangente d'une somme.
Formules de duplication
cos(2a)
sin(2a)
9
cos a cos b − sin a sin b
sin a cos b + cos a sin b
tan a + tan b
1 − tan a tan b
Calculer sin(x +
Réponse :
voir page 18
3. Formules à apprendre également...
4. Formules à apprendre également...
5. Là encore, à apprendre et à placer sur un cercle trigonométrique.
8
voir page 18
4
= 2 (2)
x−3
2x + 3
4
= (3)
x−5
3
3
2
√ = √
(4)
2
3−x
x−
Exercice 50 Résoudre les équations suivantes :
5(2x − 3) − 4(5x − 7) = 19 − 2(x + 11) ;
4(x + 3) − 7x + 17 = 8(5x − 3) + 166
17 − 14(x + 1) = 13 − 4(x + 1) − 5(x − 3) ;
17x + 15(x − 1) = −1 − 14(3x + 1)
(x − 1)2 + (x + 3)2 = 2(x − 2)(x + 1) + 38 ;
5(x2 − 2x − 1) + 2(3x − 2) = 5(x + 1)2
(3x − 1)2 − (2x + 3)2 + 7 = (2x + 1)(2x − 1) + x(x + 7)
x
3x − 1
3−x
(x + 2)3 + (x − 2)3 + (x + 1)3 = 3(x + 1)(x − 2)(x + 2) −
+
=0
5
6
4
(x − 1)(x + 5)
(x + 2)(x + 5)
(x − 1)(x + 2)
−
=
3
12
4
Réponse :
Exercice 53
voir page 18
11
b)x2 − 10x + 16 = 0
d)x2 − (a + 2)x + 2a = 0
f ) − x2 + 8x + 6 = 0
h) − x2 + 6x = 0
j)169x2 + 13x − 1 = 0
l) − 12x2 + 125 = 0
a)8x −√
6x + 1√= 0
c)x2 − ( 2 + 8)x + 4 = 0
e)x2 + (1 + π)x + π = 0
g)8x2 + 6x + 1 = 0
i)3x2 = 8
k)x2 + 4ax + 3a2 = 0
m) − 6x2 + 7x − 1 = 0
suivantes :
(x − 3)(x − 4)(x − 5) = 0
(2x + 1)(x + 4)(3x + 1) = 0
5x(3x − 7) = 0
5x2 + 8x = 0
x2 /5 + x = 0
−5x2 /7 − 3x/4 = 0
(4x − 1)(x − 3) = (x − 3)(5x + 2)
(x + 5)(4x − 1) + x2 − 25 = 0
5(x + 1)(x + 2)(x − 3) = 4(x + 1)(x + 2)(x − 4)
5x2 − 125 = 0
x2 − 100 = 0
9x2 = 64
(2x + 7)2 − (4x − 9)2 = 0
(3x + 1)2 = (x − 4)2
(x + 7)2 − 81(x − 5)2 = 0
(x + 1)(x − 1)2 − (x + 1)(x − 2)2 = 0
(3x + 1)(x − 3)2 = (3x + 1)(2x − 5)2
voir page 15
voir page 18
Indication :
Réponse :
Exercice 54
(1)
(3)
Résoudre les équations suivantes :
1
1
7
+
=
x−1
x−2
12
1
1
1
−
=
x−1
x+1
24
(2)
(3x − 1)(2x + 1) = 9x2 − 1
(4)
x2 − x − 1
= 2x + 3
x+2
voir page 15
voir page 18
Indication :
Réponse :
voir page 18
Exercice 55
Trinômes réels
(1)
Dans ce cas ces racines valent
Exercice 56
Réponse :
suivantes
(1)
b
Si le discriminant est nul, il y a alors une racine double qui vaut − .
2a
Enn, la fonction x 7→ ax2 + bx + c est du signe de a sauf entre les racines s'il y en a.
Démontrer les résultats ci-dessus, et faire les représentations graphiques correspondant aux diérents cas.
Exercice 52
9
Résoudre
√
x+4+
√
x+2=1
(3)
√
x+4−
√
sans tableau de signes ni le moindre calcul
(3x − 1)(x − 5) < 0
voir page 15
voir page 18
Indication :
Réponse :
(2)
x+2=1
voir page 15
voir page 18
Indication :
−b + ∆
−b − ∆
b
et
, la somme des racines vaut alors S = −
2a
2a
a
Résoudre rigoureusement les équations suivantes (??)
p
x2 − 3 = 5x − 9
Soit (a, b, c) trois réels avec a 6= 0.
L'équation ax2 + bx + c = 0 admet deux racines réelles si et seulement si son discriminant
∆ = b2 − 4ac est positif ou nul.
√
√
c
et le produit vaut P = .
a
Résoudre les équations suivantes :
2
Exercice 51 Résoudre les équations
(x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0
(2x + 1)(x + 1)(x − 3) = 0
x(5x + 1)(4x − 3)(3x − 4) = 0
x2 − 3x = 0
4x2 − 7x/3 = 0
−3x2 /5 + x = 0
x(x + 1) = x + 1
(x + 3)(x − 5) + (x + 3)(3x − 4) = 0
(x + 4)(5x − 9) − x2 + 16 = 0
x2 − 9 = 0
4x2 − 49 = 0
x2 = 81
(x + 1)2 − (2x − 5)2 = 0
(5x + 1)2 = (x − 1)2
4(x + 1)2 − 9(x − 1)2 = 0
5x2 − 5x = 0
3x3 − 12x = 0
Réponse :
: (essayer de) ne pas passer à côté d'éventuelles racines évidentes !
En eet, on a l'égalité : (x − α)(x − β) = x2 − (α + β)x + αβ .
Exemple d'utilisation : si l'équation x2 − 5x + 6 = 0 admet deux solutions α et β , alors leur
somme vaut 5 et leur produit 6.
Or 6 = 6 × 1 = 3 × 2 ; et 6 + 1 = 7 et 3 + 2 = 5.
On obtient ainsi facilement et sans calcul l'égalité x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) : les solutions sont
donc 2 et 3.
Remarque
(2)
(5 − 2x)(3 + x) > 0
(3)
les inéquations
2x + 1
60
x−5
Résoudre les inéquations et systèmes d'inéquations suivante
a) x2 + 1 > 2x − 3
b)2x − 1 6 x2 + 4
1
3
4
1
c)
<
d) +
>1
x−1
x−2
x
x−2
2
2
2
e) (x − 5x + 4)(x − 4x + 3) > 0 f) (x − 5x + 4)(x2 − 9x + 14) 6 0
Exercice 57
(S1 )
(x − 3)2
h)0 6
<1
(x + 1)2
g) 5 6 x − 14x + 50 6 26
2
Même exercice.
Exercice 62
Réponse :
voir page 15
voir page 18
2x − 6e−2 y
e2 x + 2y
Exercice 58
2x −
Exercice 63
Résoudre les inéquations suivantes
√
x−1<0
(1)
x+1<
√
Réponse :
x+4
(2)
p
x − 3 > x2 − 2x
Réponse :
voir page 15
voir page 18
Réponse :
Résoudre l'équation x − 4x − 5 = 0.
voir page 18
Exercice 59
Réponse :
Exercice 60
12
(ln x)2 −
(S1 )
42
=1
(ln x)2
Réponse :
Résoudre
Résolution de systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues : par combinaison .
Réponse :
=
=
4
1
×5
×3
donne par soustraction 28y = 17 d'où y =
3x + 2y
5x − 6y
=
=
4
1
×6
×2
donne par addition 28x = 26 d'où x =
Puis on vérie en reportant dans les équations : 3 ×
Réponse :
17
.
28
13
13
.
14
x + 2y
=
−
5x + y
=
2
1
2
3
=
ex−y
=
10
2
5


4 cos x − cos y
2 cos x − 3 cos y

0 6 x, y 6 π
=
=
−1
2


x+y

ln x + ln y
=
65
(S2 )
=
ln 1000


x+y
=
30

ln x + ln y
=
3 ln 6
Deux systèmes non linéaires. Résoudre les deux systèmes suivants.
ex−y
3e − 2eey
=
=
e
e18
5ex − ey
ex+y
=
=
19
30
voir page 15
voir page 18
1
2
+
x
−
1
3
−
y
(S2 )
5
1


−
1−x
3−y



=
1
−
2
=
−2
Nombres complexes
Là encore, pas question de faire un cours complet sur les nombres complexes.
Formulaire :
Soient z et z 0 deux nombres complexes.
13
17
14
17
+2×
= 4 et 5 ×
−6×
= 1.
14
28
13
28
Résoudre successivement
(S1 )
=
Indication :
3x + 2y
5x − 6y
(
ex ey
(
x
4
.
1
Exercice 61
ex+2 + 2ey
Somme et produit. Résoudre les deux systèmes suivants.
=
=

4
e2
voir page 15
voir page 18
Exercice 66
Deux équations, deux inconnues
3x + 2y
5x − 6y
−
Indication :
voir page 18
=
voir page 18
Exercice 65
Résoudre successivement les équations suivantes
Exemple. Résoudre
2ex − 6ey−2
2
(ln x)2 − ln x − 42 = 0
Réponse :
(S2 )


voir page 18
Exercice 64
4
Résoudre
(3)
Indication :
−4e−2
3
voir page 18
Indication :
Réponse :
=
=
z + z0 = z + z0
z.z 0 =√z.z 0
|z| = z.z ou encore |z|2 = z.z
1
z
z
z.z 0
si z 6= 0, = 2 et
= 02
z
|z|
z0
|z |
pour tout entier n, |z n | = |z|n , et extension aux entiers négatifs si z 6= 0
voir page 18
10
a = (3 + 4i)(4 − 3i) ;
2
;
1+i
g=
2 − 5i
;
3 + 2i
l=
2
3
+
;
1 − 2i
2+i
e=
b = (3 − i)2 ;
1
√ ;
3−i 2
d=
Réponse :
Ne pas hésiter à poursuivre l'exercice...
Réponse : voir page 18
Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :
Exercice 67
6 + 3i
;
1 − 2i
h=
√
√
c = (2 + i 3)(2 − i 3 ;
1
f = √
;
i 2−1
k=
m = 2i −
3i
3 + 4i
3
i−3
Réponse :
iz = 3 + i
(2 − i)z − 2i = iz + 2 − 3i
(2iz + i)(4z − 8 − 4i) = 0
z − 2i
= 4i
z+2
4z + 2i − 4 = 0
(iz − 2 + i)(2iz + i − 2) = 0
2z + iz = 4
2iz − z = 4i
déduire
cos θ + i sin θ
cos θ − i sin θ
⇐⇒
2π
7
.


 cos θ
=

 sin θ
=
Réponse :
Réponse :
Démontrer que pour tout réel x on a
cos3 x sin4 x =
Puis un formulaire :
0
)
1
= e−iα = eiα
eiα
(eiα )n = einα
0
eiα
= ei(α−α )
eiα0
Exercice 70 Placer le nombre eiα dans le plan complexe ainsi que son conjugué. Démontrer les deux premières formules de l'encadré en utilisant la dénition de eiα et les formules de
trigonométrie donnant le cosinus d'une somme.
Mettre sous forme algébrique, placer sur un cercle trigonométrique et écrire sous
forme trigonométrique eiα les nombres suivants :
Exercice 71
2π
3
π
j = −ei 3
c = e2iπ
π
k = iei 4
d√
= eiπ
3
1
l=
−i
2
2
−2iπ
f =
√e
√
2
2
m=
−i
2
2
π
g = −ei 2
.
11
1
1
1
1
cos 6x −
cos 4x −
cos 2x +
32
16
32
16
voir page 18
Exercice 76
D'abord la dénition : eiα = cos α + i sin α
b = ei
Développer (eix + e−ix )2 (eix − e−ix )4 où x est un réel quelconque. En déduire
cos2 x sin4 x =
voir page 18
Ici α et α désignent des nombres réels et n un entier naturel.
1
(cos 4x + 4 cos 2x + 3)
8
voir page 18
Exercice 75
0
eiθ + e−iθ
2
eiθ − e−iθ
2i
Développer (a + b)4 , puis calculer (eix + e−ix )4 pour x un réel quelconque. En
cos4 x =
Réponse :
π
=
=
Exercice 74
résoudre dans C les équations suivantes d'inconnue z et donner les solutions
sous forme algébrique._
h = e−i 2
Même exercice avec ω 0 = ei
voir page 18
Exercice 69
a = e0iπ
e
iθ
e−iθ
5i + 2z
0
.
puissances distinctes.
Formules d'Euler.
Ecrire en fonction du conjugué z de z le conjugué du nombre complexe Z :
2i + 1 − iz
Z = −2i + 3z ; Z = 3 + i − 2iz ; Z = (2 − iz)(2z − 4 + 3i) ; Z =
eiα × eiα = ei(α+α
4π
5
voir page 18
Exercice 73
voir page 18
Exercice 68
Réponse :
6π
2iπ
Exercice 72 On pose ω = e 5 . Calculer ω 5 . Montrer que e−i 5 = ei
Calculer ω, ω 2 , ω 3 , ω 4 , ω 5 , ω 6 , ω 7 , ω 8 , ω 9 , . . . et remarquer que ω n'a que 5
Que vaut ω 2013 ?
Calculer de même ω −1 , ω −2 , ω −3 , ω −4 , ω −5 , ω −6 , . . . .
1
(cos 7x − cos 5x − 3 cos 3x + 3 cos x)
64
14
Exercice 79 Déterminer la limite
x2 + x3 + 3 ln x + e−x
• f1 (x) =
x4 + cos x − 1
50x + x ln x
• f2 (x) =
x ln x √
+3
e−x + x + ex + cos x
• f3 (x) =
x20 + 2x2013
ln(1 + x)
• f4 (x) =
ln xx
e −1
• f5 (x) = 6
x +
2ex + ex/2
√
2
• f6 (x) = e√−3 √x+x−ln(x√+1)+cos x
• f7 (x) = x( x + 1 − x)
• f8 (x) = ln(e2x + 1) − 2x
Calculs de limites
Rappel.
Soit f et g deux fonctions dénies sur R.
Si f est une fonction bornée et si lim g(x) = 0 alors lim f (x)g(x) = 0
x→+∞
x→+∞
Résultats : ces résultats à savoir par c÷ur permettent de lever des indéterminations
lim
ln(x)
=0
x
lim
ex
= +∞
x
x→+∞
x→+∞
Réponse :
Déterminer la limite en +∞ des fonctions suivantes :
Exercice 77
√
− x
x+7
4x + 3
ln(ln x)
f : x 7→
ln x
a : x 7→ e
b : x 7→
e : x 7→ cos(x2 )e−x
c : x 7→
x2 + 5
x3 − 1
d : x 7→
15
sin x
x
voir page 15
Réponse : voir page 18
Une technique essentielle pour calculer une limite est de mettre
dérant.
Exemple. Déterminer la limite en +∞ de F (x) =
lim x5 = +∞,
x→+∞
λu
λu0
uv
uv 0 + u0 v
un avec n ∈ Z
nun−1 u0
lim x4 = +∞ etc. Mais de tous les termes du numérateur
1
u
u
v
x 7→ ex
x→+∞
F (x) =
x3 (1 +
Exercice 78
x+3
+
5
x2
2
x3
−
−
30
)
x5
4
)
x3
d'où lim F (x) = +∞
1
x
f 0 (g) × g 0
α
u
avec α ∈ R
∗
√
voir page 15
voir page 18
Indication :
12
.
v ne s'annule pas !
bien justier la dérivabilité de la composée...
f0
f
ln |f |
2−x
2x − 1
x2 − x + 1
x2 − 3x + 1
• g3 (x) =
−x2 + x − 1
x + ln(x)
• g4 (x) =
2x − ln(x)
2ex − x
• g5 (x) = x
e +1
u ne s'annule pas !
x 7→
f ◦ g = f (g)
• g2 (x) =
u ne s'annule pas si n ∈ Z−
u0
u2
− uv 0
v2
x 7→ ex
ln
Utiliser cette technique pour déterminer la limite en +∞ des fonctions suivantes
λ est un réel
vu0
x→+∞
• g1 (x) =
Réponse :
−
Observations
0
u +v
en facteur le terme prépon-
x5 − 4x4 + 2x2 − 30
.
x3 + 5x − 4
0
u+v
le terme prépondérant (c'est-à-dire celui qui croît le plus vite vers +∞) est le terme en x5 . En
faisant une remarque similaire pour le dénominateur, on est donc amené à écrire :
4
x
Dérivées
Pour u et v deux fonctions dérivables :
Fonction
Dérivée
g : x 7→ (2 + sin x)x
Indication :
x5 (1 −
voir page 15
voir page 18
Indication :
lim x ln(x) = 0
x→0
Au numérateur
en +∞ des fonctions suivantes :
f ne s'annule pas
α−1 0
αu
u
1
√
sin
2 .
cos
cos
− sin
tan
1 + tan2 =
u>0
√
1
cos2
. est dénie sur R+ et dérivable sur R∗+
√
Exemple : dériver la fonction F : x 7→ x − 1.
• la fonction g : x 7→ x − 1 est dénie et dérivable sur ]1, +∞[ et pour tout x > 1 on a x − 1 > 0.
√
• la fonction f : y 7→ y est dérivable sur R∗+
Donc F = f ◦ g est dérivable sur ]1, +∞[ comme composée et pour x ∈]1, +∞[ on a
16
Primitives
Pour u et v deux fonctions continues donc admettant des primitives U et V on a :
Fonction
Primitives
Observations
1
F 0 (x) = f 0 (g(x)) × g 0 (x) = √
2 x−1
Exercice 80
1
f : x 7→
x
1
f : x 7→
1−x
1
f : x 7→
2x + 1
Justier la dérivabilité et calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1
f : x 7→ 2
x
1
f : x 7→
(1 − x)2
1
f : x 7→
(2x + 1)2
1
f : x 7→ 3
x
1
f : x 7→
(1 − x)3
1
f : x 7→
(2x + 1)3
etc. en utilisant la formule donnant la dérivée de uα
Réponse :
1
f : x 7→ 4
x
1
f : x 7→
(1 − x)4
1
f : x 7→
(2x + 1)4
λu
λU + cte
λ est un réel
un u0 avec n ∈ Z \ {−1}
1
U n+1 + cte
n+1
u ne s'annule pas si n ∈ Z−
ln |u| + cte
cas précédent pour n = −1 u ne s'annule pas
...
u0
...
u
x 7→ ex
et pas celle de la dérivée de
1
.
u
f2 : x 7→ (x2 − 1)3
x+1
x+3
f4 : x 7→ (x − 1)(x − 2)
f5 : x 7→
3x + 1
1−x
3x2 − 2x + 1
g1 : x 7→
−x + 2
p
g4 : x 7→ x2 − 2x + 5
π
g7 : x 7→ cos(2x − )
3
h1 : x 7→ 6 cos2 x − 6 cos x − 9
f8 : x 7→ 3x2 −
sin x − x cos x
x sin
x + cos
x
x−1
h7 : x 7→ ln
x+1
u1 : x 7→ x ln x − x
u4 : x 7→ esin x
1
u7 : x 7→ xe x
√
x−1
v1 : x 7→ √
sx + 1
1 + sin x
v3 : x 7→
1 − sin x
Réponse :
ln |f | + cte
sin
1
uα+1 + cte
α+1
− cos +cte
cos
sin +cte
1
1 + tan2 =
cos2
tan +cte
uα u0 avec α 6= −1
1
x
x2 − 2x + 3
g2 : x 7→ 2
x −x+2
p
5
g5 : x 7→ x2 + 1
π
g8 : x 7→ sin( − 2x)
6
cos x
h2 : x 7→
1 + cos2 x
f3 : x 7→ 3x2 − 6x + 1
f6 : x 7→
3−x
2+x
√
f ne s'annule pas
u>0
où cte désigne une constante arbitraire réelle.
f9 : x 7→ (x − 2)(3 − x)(x − 4)
g3 : x 7→
sur R∗+
f ◦ g + cte
f
Justier la dérivabilité et calculer la dérivée des les fonctions suivantes ; mettre
le résultat sous une forme propice à une éventuelle étude de signe
h4 : x 7→
ln +cte
f0
Exercice 81
f7 : x 7→
x 7→ e + cte
x
1
x 7→
x
f 0 (g) × g 0
...
voir page 18
f1 : x 7→ (x − 1)3
U + V + cte
u+v
2x − 3
Exercice 82
1
−x + 2
g9 : x 7→ sin 2x cos x
Déterminer l'ensemble des primitives de x 7→
1
sur R∗− .
x
voir page 15
voir page 19
Remarque : tous les calculs suivants relèvent d'une stricte application du formulaire ci-dessus .
g6 : x 7→
Indication :
Réponse :
h3 : x 7→ 2 sin x cos + sin x + cos x
Calculer les primitives des fonctions suivantes, puis dériver le résultat obtenu
pour contrôler la réponse.
h5 : x 7→ ln(5x − 1)
h6 : x 7→ ln(x2 + 1)
Exercice 83
h8 : x 7→ ln ln x
h9 : x 7→ ln |7 − 2x|
f : x 7→ x16 − 35x13 + 14x11 − 3x8 + 20x4 + 56x3 + 51x2 + 18x + 1
u2 : x 7→ e3x
ex
+1
ex − 1
u8 : x 7→ ln(e2x − ex + 1)
√
x−1
v2 : x 7→ √
x+1
u5 : x 7→
u3 : x 7→ ex
2
−x+1
f1 : x 7→
1
x
f2 : x 7→
1
1−x
1
h1 : x 7→
2x + 1
u6 : x 7→ ex ln x
x
u9 : x 7→
1 + e−x
g1 : x 7→
Réponse :
v4 : x 7→ tan 2x
voir page 19
13
1
x2
1
(1 − x)2
1
h2 : x 7→
(2x + 1)2
g2 : x 7→
voir page 19
f3 : x 7→
1
x3
1
(1 − x)3
1
h3 : x 7→
(2x + 1)3
g3 : x 7→
f4 : x 7→
1
x4
1
(1 − x)4
1
h4 : x 7→
(2x + 1)4
g4 : x 7→
Calculer une primitive des fonctions suivantes puis dériver le résultat obtenu
Exercice 84
... :
a)x 7→ 4x2 − 5x +
1
x2
e)x 7→ (x2 − 1)3
h)x 7→ sin 2x
x+1
k)x 7→ 2
x + 2x
1
n)x 7→
x−3
b)x 7→ x(2x2 + 1)4
1
1
f )x 7→ 2 − √
x
x
c)x 7→ (x − 1)3
√
g)x 7→ x + 1
i)x 7→ cos 3x
j)x 7→ 1 −
1
cos2 x
x
m)x 7→ 2
(x + 2)2
x2
p)x 7→ 3
x −1
p
3
s)x 7→ e2x 1 + e2x
l)x 7→ 2x(x2 − 1)5
2x + 1
(x2 + x + 3)2
ex
r)x 7→ x
5e + 1
o)x 7→
q)x 7→ e2x
u)x 7→ xex
t)x 7→ tan x
5
w)x 7→ √
3
x
ex
α)x 7→
x
1 + ex
e
δ)x 7→
3
(1 + 2ex ) 2
y)x 7→
√
e x
v)x 7→ √
x
√
z)x 7→ − ex
√
3
x
γ)x 7→ 2
x
2
1
√
x2 x
β)x 7→ sin xecos x
ε)x 7→
cos x − sin x
cos x + sin x
voir page 15
voir page 19
Indication :
Réponse :
Exercice 85
Z20
I1 =
dv
v
10
Réponse :
Calculer les intégrales suivantes
Z1
I2 =
e
0
−2t
−2
10
Z
dt
I3 =
10−5
dp
2p
315
Z
I4 =
275
2π
2dT
T
Zω
I5 =
A cos(ωt + ϕ)dt
0
voir page 19
14
de l'exercice 9 : pour Cn : rappels de cours sur les puissances dans le paragraphe 4.
de l'exercice 25 : développer puis factoriser...
Indication de l'exercice 27 : identier soigneusement la raison avant d'appliquer une formule :
• calculer −Bn
• pour Cn , la raison se voit
• pour Dn , commencer par factoriser par 5 avant de chercher la raison.
...
Indication de l'exercice 29 : 0.125 = 2
Indication de l'exercice
30 : ne pas oublier la quantité conjuguée , et tout exprimer en
√
fonction de ln(1 + 2).
Indication de l'exercice 31 : se reporter à l'exercice ci-dessus pour simplier la somme.
Indication de l'exercice 35 : attention à l'ensemble de dénition de ces deux équations...
Indication de l'exercice 38 : il y a quatre cas à envisager, suivant le signe de x et celui de ln |x|
Indication de l'exercice 41 :
Equation 3 : − cos α = cos(α + . . . )
Equation 6 : − tan α = tan(. . . α)
Equations 7 & 8 : sin α = cos(· · · − α)
Indication de l'exercice 48 : Pour (4) : élever au carré ! et revoir cours et exercices sur les
trinômes paragraphe suivant...
Indication de l'exercice 53 : Pour les équations b)c)d)e)h)k) chercher d'abord des racines
évidentes en utilisant la somme et le produit...
Indication de l'exercice 54 : Pas besoin de discriminant pour les équations (2), (3), (4)
Indication de l'exercice 55 : Bien vérier que les éventuelles solutions trouvées sont de vraies
solutions, et en particulier dans le domaine de dénition de l'équation.
Pour (2) : élever au carré une première fois, puis une deuxième après avoir isolé la racine
Indication de l'exercice 56 : Ne pas hésiter à tracer l'allure du graphe des deux premières
fonctions ...
Indication de l'exercice 57 :
• pour c) etc. : réduire au même dénominateur ;
• pour g) : on a en fait à traiter un système de deux inéquations
Indication de l'exercice 58 :
• Pour (2) : distinguer deux cas suivant le signe de x + 1 puis élever au carré si nécessaire.
• Pour (3) : même démarche.
Indication de l'exercice 65 : trouver deux nombres dont la somme vaut S et le produit P , c'est
résoudre l'équation du second degré x2 − Sx + P = 0 (le démontrer)
Indication de l'exercice 66 : par substitution.
Indication de l'exercice 77 :
√
• pour a, comparer x et x au voisinage de +∞
• pour b, c factoriser numérateur et dénominateur
• pour d, e utiliser le résultat encadré
• pour f penser à la limite d'une composée...
• pour g minorer...
Indication de l'exercice 78 : Factoriser par
• x et x
• x2 et x2
• ex et ex
Indication de l'exercice 79 : Factoriser par
• x3 et x4 pour f1
• x ln x pour f2
• ex et x2013 pour f3
Indication
Indication
• écrire ln(1 + x) = ln(x) + ln(1 +
1
)
x
• factoriser par ex pour f5
• déterminer la limite de ce qui est dans l'exponentielle puis conclure en utilisant la limite
d'une composée
• quantité conjuguée...
• factoriser e2x dans le logarithme
de l'exercice 82 : Ne pas chercher midi à quatorze heures...
Indication de l'exercice 84 : b)c)l)m)o)s)δ) : déterminer une constante λ telle que la fonction
à intégrer soit de la forme λu0 u...
d) : développer
√
1
g) : x = x 2
Indication
u0
k)déterminer une constante λ telle que la fonction à intégrer soit de la forme λ
u
u)v) : de la forme u0 eu
15
de l'exercice
Réponse de l'exercice
Réponse
2
: A == −2a + 3b + 5c; B = 6; C = a − 9
:
3
:
1
32
A=
15
Réponse
de l'exercice
29
12
A=a+c
B=
7
C=
5
201
E=
128
2
D=
81
17
F =−
2
A + B − C = 7a2 − 8ab + 23b2
de l'exercice 16 : A = 4x8 − 10x6 + 4x4 + 7x3 − 14x ; B − 20x5 + 15x4 + 8x3 − 6x2
C = 21x6 − 6x5 − 23x4 + 10x3 − 20x2 ; D = 2x4 − 2x3 + 2x2 + 18x − 20
E = −25x5 + 50x4 + 9x3 − 50x2 + 16x ; F = 35/8x6 − 19/2x4 + 19/8x3 + 4x2 − 2x + 1/4
G = 3x4 − 4x2 + 1 ; H = 16x6 + 16x5 − 52x4 + 12x3 + 69x2 − 70x + 25
Réponse
1 2
)
C = (2x − 1)2
2
2
E = 4x(x + y)
F = 3xy(x + y)
G = 3xy(−x + y)
H = (x + 3y)(x2 − 3xy + 9y 2 )
K = (2a − 5)(4a2 + 10a + 25)
de l'exercice 4
de l'exercice 5
Réponse de l'exercice 6
Réponse de l'exercice√8
Réponse
Réponse
Réponse
de l'exercice
Réponse
9
:???
:???
:???
:
de l'exercice
11
A = (ex )k
E = ex +
de l'exercice
B=
1
ex
12
B=
1
(n + 1)!
Cn =
Réponse
1 a
n + 1 b2
1
2
de l'exercice
20
de l'exercice
21
:
D = 1/12a2 b(3x − 10y)(3x + 10y)
F = −(5x − 8)(x − 2)
H = x(3x + 2)(x + 6)(3x − 2)
I = (5x − 2)(3x − 5)
J = (a + b + 2)(a + b − 2)(a − b)2
L = (ax + by)(ay + bx)
M = 4(b − 1)(b + 1)(a − 3)(a + 3)
D = (1 − e)ex
N = (2a + b − 3c)(2a + b + 3c)(2a − b + 3c)(2a − b − 3c)
7 a2 x
2 b2
A=
1
(ex )2 + 3ex + 2
(ex + 1)(ex + 2)
;F=
=
x
x
e
e
ex
Réponse
de l'exercice
x
x
−
1
:
2x
F =
3a
22
1
ax − by
G=
Réponse
de l'exercice
14
:
Réponse
de l'exercice
15
: A + B + C+ = 15a2 − 14ab + 9b2
A − B + C = 3a2 + 2ab − 9b2
16
23
E=
x+5
x+1
F =
x
x+1
I=
2x
x+1
J=
2
x+2
2
A + B + C = 9x − 10x + 12
A − B + C = 5x + 4
A + B − C = x2 − 8x + 6
− A + B + C = 3x2 − 2x + 2
Réponse
de l'exercice
B=−
D=
2
2
B = 2ab(3x − 1)2
G = (2x + 3)(2x − 1)
K = (ax − 1)(−a + x)
de l'exercice
5
3
H = ( x − y + z)2 = 25/4x2 − 15/4xy + 5xz +
2
4
: A = 5/2xy 2 (x − 1)2
:
C = e2 × (ex )3
B = 16/9x1 0+16/15x5 y 3 +4/25y 6
B = x2 − 6ax + 9a2 = (x − 3a)2
D = 9x2 + 6x + 1 = (3x + 1)2
F = 4a2 x2 − 4ax + 1 = (2ax − 1)2
E = y 2 (5ax2 − 2b)(5ax2 + 2b)
:
D = (a + 2)2
F = 4/9x2 − 16/25y 2 − 8/5y − 1
C = 1/5a3 (2x − 5y)(2x + 5y)
: A = 343x3 y 3 ; B = 32a10 b5 ; C = a6 ; D = − x3 y 3 ; E =
B = (x +
D = 4/9a4 x6 − 1/4b8
A = x2 + 8x + 16 = (x + 4)2
C = 4x2 − 4x + 1 = (2x − 1)2
E = x2 + 2xy 2 + y 4 = (x + y 2 )2
3
13 : P (x) = 5x + 7x − 1
17
x+5
Q(x) = −3x +
12
1 2
R(x) = − x − xy + y 2
3
56 2
16
1
S(a) =
a −
a−
15
3
4
17 3
3
7
3
T (x) =
x + x2 − x −
6
2
5
2
Réponse
de l'exercice 19 : A = 9/4x6 −6/5x3 y 2 +4/25y 4
Réponse
1
2n−1
3
7
A=
B=
E = 3 F = 8 G = −715 × 118
2
3n
2
2
2
2
2
L = an −n M = a6n P = an
K = a2n
Réponse
: A = (x − 1)2
9/16y 2 − 3/2yz + z 2
3 4 2 3
2
a x y ; F = − a2 b2 x5 ; G = 10a2 x5 y 7
35
5
Réponse
Réponse
18
G = 9x2 + 24xy − 12xz + 16y 2 − 16yz + 4z 2
:
10
de l'exercice
E = 9x2 + 24xy + 16y 2 − 25
1
;A = (n + 2)(n + 3)
10 × 8!
de l'exercice
Réponse
C = 4/25x4 − 9/16y 2
A = 10 √ C = −5 +√
4 3
D=0
E = 30
F = 3( 3 − 1)
√ 2
G = 4√ 2|1 + x|, toujours déni
H = |√ x − 1| si x√> 0, pas déni pour x < 0
J = 2 3 et K = 42
12 × 11 × 10 × 9 ;22 ;
− A + B + C = 5a2 − 8ab − 5b2
1
7
:A= x
G=
1
x+2
2 b
3 x2
E=
x
x−1
H=
1
(x + 3)
3
2
2
B =− x−
5
15
H=−
C=−
x+4
x(x + 2)
C=
2
a
I=
5 y
2 a2
x+1
x−1
D=
1
2a + 1
x − 61
Réponse
de l'exercice
4a+b
5 a3
1
G=
a+b
D=
24
E=1
x2
3(x − 1)
2x
F =
x−1
:A=
B=
1
5x
C=
le second membre, on a : 1
> 0 mais x1 −61 < 0 donc la première équation n'admet aucune
x1 + 7
solution et la seconde en admet une seule, à savoir x1 .
Réponse de l'exercice 36 :
3 a−b
a
5 a+b
a=
a+b
H=
a−b
A = (a − b)(a4 + a3 b + a2 b2 + ab3 + b4 )
2
2
E = (a − 2b)(a + 2ab + 4b )
Réponse
F = (a + b)(a − b)(2a2 + 1 + 2b2 )
H = (a + 1)(a2n − a2n−1 + a2n−2 · · · + 1)
J = (a − 1)(a + 2)(a + 1)
K = (a − 2b)(a + 2b)
2
M =a
−
(1)
(3)
2
L = (2a − b)
:
28
de l'exercice
29
Réponse
:
:
1
ln 2 3 ln 2
2
− ln 3 − 2 ln 2 2 ln 3 − 2 ln 2
− 3 ln 2
2. 2 ln 2 + 2 ln 3
ln 3 + 11 ln 2
3. 3 ln 5 + 2 ln 2 − 2 ln 5 + 4 ln 2 2 ln 5 − 2 ln 2 − 2 ln 2 − 2 ln 5
√
Réponse de l'exercice 31 : on trouve y = 17 + 12 2
Réponse de l'exercice 32 : A = B = 0
Réponse de l'exercice 33 :
1
2
1
3
Réponse
1
9
−
1
2
1
5
de l'exercice
35
38
:
39
si
si
si
si
x→−∞
x>1
0<x<1
−1 < x < 0
x < −1
:
x ∈ [0, 1]
1
x>−
12
(2)
(4)
de l'exercice
40
: la fonction tan est dénie sur R \
de l'exercice
41
:
o
π
+ k ;k ∈ Z
S1 = {kπ; k ∈ Z} ∪
4
2
2kπ
5π
π
+
;k ∈ Z ∪ −
+ 2kπ; k ∈ Z
S2 =
5
6
6
2π
4π
2π
4π
S3 =
+k
;k ∈ Z ∪
+k
;k ∈ Z
3
3
5
5
S4 = ∅
nπ
o
n
o
π
π
S5 =
+ k ;k ∈ Z ∪
+ kπ; k ∈ Z
4
2
10
o
nπ
π
+ k ;k ∈ Z
S6 =
16
4
5π
5kπ
5π
+
;k ∈ Z ∪
+ 5kπ; k ∈ Z
S7 =
6
4
24
2kπ
π
2kπ
π
S8 =
+
;k ∈ Z ∪
+
;k ∈ Z
22
11
6
3
π
2kπ
S9 = {π + 2kπ; k ∈ Z} ∪
+
;k ∈ Z
3
3
nπ
o π
2kπ
S10 =
+ 2kπ; k ∈ Z ∪ −
+
;k ∈ Z
2
10
5
S11 = {kπ; k ∈ Z}
3n+2 (3n+3 − 1)
9 n+1
(3
− 1)
Cn =
2
2
a2n − 1
Bn = a2 2
si a 6= 1, n si a = 1
a −1
8
h=e
nπ
An =
1. 4 ln 2 9 ln 2
g = −1
cet intervalle.
(−4)n+1 − 1
5
5
Dn =
((−5)3n+3 − 1)
126
Bn =
de l'exercice
de l'exercice
ln 12 + 5
x>
3
2
x>
e
Réponse
22n = (a − 2)(a2n−1 + 2a2n−2 + 22 a2n−3 + · · · + 22n−1 )
Réponse
f =1
nπ
o
+ kπ; k ∈ Z ; elle est π 2
π π
périodique et impaire, strictement croissante sur ] − , [, de limite −∞ et +∞ aux bornes de
2 2
P = (a − b)
27
de l'exercice

x2
1
on trouve : f (x) =
 −1


−x2
B = (a + b)(a4 − a3 b + a2 b2 − ab3 + b4 )
G = (a − 1)(a2n−1 + a2n−2 + · · · + 1)
Réponse
d = −17



2n
de l'exercice
1
ln 2
x→+∞
Réponse
D = (a2 − 2b2 )2
2
32n+1 − 1
An =
2
1 + (−1)n a2n+2
Cn =
1 + a2
c=
de l'exercice 37 :
la fonction est impaire ; lim f (x) = 1 et lim f (x) = −1
de l'exercice 25 :
Toujours vrai ! On obtient en eet (x − 5)2 > 0
Réponse de l'exercice 26 :
Réponse
b = −2
Réponse
Réponse
C = (4a − 1)
3
2
: dans les deux cas, si x est solution de l'équation considérée,
√ alors
−13 − 273
et
x vérie x + 13x − 26 = 0. Ce trinôme admet deux racines réelles : x1 =
2
√
−13 + 273
x2 =
. Or −x1 − 5 > 0 et −x2 − 5 < 0, donc le premier membre de ces deux
2
équations n'est pas déni en x2 et x1 est la seule solution possible pour les deux équations. Pour
2
Réponse
(S1 )x =
de l'exercice
43
:
5π
7π
2π
ou x =
(S2 )x =
4
4
3
de l'exercice 44 :
√
√
5π
2 √
5π
2 √
cos
=
( 3 − 1) sin
=
( 3 + 1)
12
4
12
4
Réponse
Réponse
17
de l'exercice
45
:
tan
√
5π
= 3+2
12
n π
o
sin 2a
cos 2a
1
−
=
pour a ∈
/ k ;k ∈ Z
sin a
cos a
cos a
2
Pas de solution (3)
Réponse
Réponse
de l'exercice
46
π
π
sin x + cos x = 1 ⇐⇒ sin(x + ) = sin ,
4
o
n4π
+ 2kπ; k ∈ Z .
d'où les solutions S = {2kπ; k ∈ Z} ∪
2n
o
π
+ 2kπ; k ∈ Z
Pour la seconde équation, on trouve S =
4
Réponse
de l'exercice
−1 6 x 6 7
2
x ∈]
/ − 4; − [
3
(1)
(4)
Réponse
48
:
(2)
x 6 −3 ou x > 2
(5)
−2 6 x 6 5
de l'exercice
49
de l'exercice
Réponse de l'exercice
Réponse de l'exercice
1 1
a) ,
4 2√
√
c) 2, 8
e)1, π
1
1
g) − , −
4
2
h)0, 6
k) − 3a, −a
1
m) , 1
6
Réponse
51
53
√
√
3 3+2 2
x=
(4)
5
29
x = − (3)
2
x = 5(2)
50
(S1 )
toujours vrai !
:
4
x = (1)
3
Réponse
(3)
10
,5
7
x = ±7
(3)
Réponse
:???
:???
:
Réponse
de l'exercice
56
(1)
x∈
(2)
5
x ∈ −3;
2
−
(3)
7
4
1
;5
3
Réponse
de l'exercice
d) 0,
7−
17
2
#
∪ 2, +
f) [1, 2] ∪ [4, 7]
h)]1, +∞[
58 :
[0, 1[
(1)
7+
√
17
(3)
1
x ∈ − ;5
2
"
−2
0
65
66
: (S1 )x = 18, y = 17
6
5 , donc nalement une seule solution x = ln 5 et y = ln 6
ey = −25
x
e =−
67
68
69
71
:????
:????
:????
:
de l'exercice
72
6π
5
:
Réponse
de l'exercice
74
:
Réponse
de l'exercice
75
:
Réponse
de l'exercice
77
: 0, , 0, 0, 0, 0, +∞
Réponse
de l'exercice
78
Réponse
de l'exercice
79
Réponse
de l'exercice
80
2
−1 + 13
[
2
=
=
m = ei
(eix + eix )2 (eix − e−ix )4 = e6ix − 2e4ix − e2ix + 4 − e−2ix − 2e−4ix + e−6ix
√
[−4,
x
y
−π
4
(a + b)4 = a4 + 4a2 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 d'où (eix + e−ix )4 = e4ix + 4e2ix + 6 + 4e−2ix + e−4ix
:
de l'exercice 57 :
a) toujours vrai
b)toujours
vrai
#
√ "
1
, 1 ∪ ]2, +∞[
2
e) ]−∞, 3[ ∪ ]4, +∞[
g) [2, 5] ∪ [9, 12]
ou
3
5
2π
1
et cos y = −1, d'où x =
et y = π
2
3
: (S1 )25, 40 et (S2 )12, 18
ω 2013 = ei
Réponse
:
Réponse
ex = 5
ey = 6
=
=
π
1
3
c = 1 d = −1 f = 1 g = −i = e−i 2
a=1 b=− +i
2
2√
√
√
π
4π
3π
1
3
2
2
k=−
l = e−i 6
h = −i j = − − i
= ei 3
+i
= ei 4
2
2
2
2
1
3
− 1, −7
c)
: On trouve cos x = −
de l'exercice
Réponse de l'exercice
Réponse de l'exercice
Réponse de l'exercice
√
0,
(2)∅
(S2 )
64
Réponse
2
e−2
1
de l'exercice
(S2 )
(1)
=
=
Réponse
2
i)x = ±2
√ 3
−1 ± 5
j)
26 r
5 5
l)x = ±
2 3
x
y
: On trouve x = ln 2, y = ln 5
de l'exercice
de l'exercice
(
x
y
:
63
Réponse
55
=
(S2 )
de l'exercice
Réponse
(4)

 y
1
2
1
−
2
Réponse
d)a, 2 √
f )4 ± 22
r
de l'exercice
62
=
b)8, 2
(2)
de l'exercice


 x
(S1 )
Attention ! Pas de calcul de discriminant pour h), i) et l) !
Réponse de l'exercice 54 :
(1)
√
de l'exercice 59 : On trouve 2 racines réelles : ± 5 et 2 complexes ±i.
−6
Réponse de l'exercice 60 : Pour la première : ln x = −6 ou 7 d'où x = e
ou e7 . Pour la
√
√
7
− 7
2
seconde : ln x = 7 donc x = e ou x = e
Réponse de l'exercice 61 :
:
(2)
18
1
4
1
;2
2
1
1
: 0, 1, +∞, 1, , +∞, , 0
2
2
: -1 ; 0 ; −1 ;
:
1
x2
1
x 7→
(x − 1)2
1
x 7→ −2
(2x + 1)2
x 7→ −
Réponse
2
x3
2
x 7→ −
(x − 1)3
4
x 7→ −
(2x + 1)3
de l'exercice
x 7→ −
81
f10 : x 7→ 3(x − 1)2
:
f40 : x 7→ 2x − 3
4
(1 − x)2
x2 − 4x + 1
g10 : x 7→ −3
(x − 2)2
x−1
0
g4 : x 7→ √
x2 − 2x + 5
π
g70 : x 7→ −2 sin(2x − )
3
: x 7→ −6 sin x(2 cos x − 1)
x2
: x 7→
(x sin x + cos x)2
2
h07 : x 7→
(x − 1)(x + 1)
u01 : x 7→ ln x
h04
u04 : x 7→ cos xesin x
1
u07 : x 7→ e x (1 −
v10 : x 7→ √
1
)
x
1
1 + sin x(1 − sin x)3/2
4 3
5
1
4x − x2 −
3
2
x
1
3
e)x 7→ x7 − x5 + x3 − x
7
5
1
h)x 7→ − cos 2x
2
1
k)x 7→ ln |x2 + 2x|
2
a)x 7→
...
...
...
f20 : x 7→ 6x(x2 − 1)2
f30 : x 7→ 6(x − 1)
2
(x + 3)2
1
f80 : x 7→ 6x + 2
x
x2 − 2x − 1
g20 : x 7→ 2
(x − x + 2)2
2
x
g50 : x 7→
5 (x2 + 1) 45
π
g80 : x 7→ −2 cos(2x − )
6
− sin3 x
0
h2 : x 7→
(1 + cos2 x)2
5
h05 : x 7→
5x − 1
1
h08 : x 7→
x ln x
u02 : x 7→ 3e3x
f60 : x 7→ −
ex
(ex − 1)2
2e2x − ex
u08 : x 7→ 2x
e − ex + 1
1
v20 : x 7→ √
3
x − 1(x + 1) 2
2
v40 : x 7→
cos2 2x
u05 : x 7→ −2
1
√
x( x + 1)2
v30 : x 7→ cos x √
1
x5
4
x 7→ −
(x − 1)5
8
x 7→ −
(2x + 1)5
x 7→ −4
f50 : x 7→
f70 : x 7→
h01
1
x4
3
x 7→
(x − 1)4
6
x 7→ −
(2x + 1)4
x 7→ −3
n)x 7→ ln |x − 3|
1
q)x 7→ e2x
2
t)x 7→ − ln | cos x|
15 2
w)x 7→
x3
2
5
(2 + x)2
f90 : x 7→ −3x2 + 18x − 26
1
2x − 3
1
g60 : x 7→
(−x + 2)2
g30 : x 7→ √
g90
h03
α)x 7→ ln(1 + ex )
δ)x 7→ − √
: x 7→ 2 cos 2x cos x − sin 2x sin x
: x 7→ 4 cos x + cos x − sin x − 2
2x
: x 7→ 2
x +1
2
h09 : x 7→
7 − 2x
2
u03 : x 7→ (2x − 1)ex −x+1
h06
u06 : x 7→ (1 + ln x)ex ln x
u09 : x 7→
1 + e−x + xe−x
(1 + e−x )2
de l'exercice 82 : x 7→ ln |x|
de l'exercice 83 :
A une constante additive près, on trouve :
Réponse
x 7→
Réponse
de l'exercice
84
de l'exercice
1 1
3 x3
1
1
g4 : x 7→ −
3 (x − 1)3
1
1
h4 : x 7→ −
6 (2x + 1)3
f4 : x 7→ −
: A une constante additive près :
19
I1 = ln 2
1
(x − 1)4
4
2 3
g)x 7→ x 2 + x
3
j)x 7→ x − tan x
1
1
m)x 7→ −
2 (x2 + 2)
1
p)x 7→ ln |x3 − 1|
3
4
3
s)x 7→ (1 + e2x ) 3
8√
v)x 7→ 2e x
√
z)x 7→ −2 ex
c)x 7→
γ)x 7→ −
3 1
2 x 23
ε)x 7→ ln | cos x + sin x|
85
:
2
Réponse
1 17
5
7
1
x − x14 + x12 − x9 + 4x5 + 14x4 + 17x3 + 9x2 + x
17
2
6
3
1
1 1
f1 : x 7→ ln |x|
f2 : x 7→ −
f3 : x 7→ −
x
2 x2
1
1
1
g1 : x 7→ − ln |1 − x|
g2 : x 7→ −
g3 : x 7→
x−1
2 (x − 1)2
1
1
1
1
1
h1 : x 7→ ln |2x + 1| h2 : x 7→ −
h3 : x 7→ −
2
2 2x + 1
4 (2x + 1)2
Réponse
1
1 + 2ex
1
(2x2 + 1)5
20
√
1
f )x 7→ − − 2 x
x
1
i)x 7→ sin 3x
3
1
l)x 7→ (x2 − 1)6
6
1
o)x 7→ − 2
x +x+3
1
r)x 7→ ln(ex + 1)
5
1 2
u)x 7→ ex
2
2 1
y)x 7→ −
3 x 32
β)x 7→ −ecos x
b)x 7→
I2 =
1
(1 − e−2 )
2
I3 =
3
ln 10
2
I4 = 2 ln
63
55
I5 = 0