Download Présentée à I`Université de M,ETZ en vue d`obtenir le DOCTORAT D

UFR Mathématiques
Informatique.
Mécani que
Université de METZ
THESE
Présentée à I'Université de M,ETZ
en vue d'obtenir le
DOCTORAT D'UNIVERSITE DE METZ
par
Hatem MOKHTARI
Maitre ès-Sciences
Sujet
Simulation de la Perturbation Thermique
dans un Câble Coaxial: Proposition d'un Nouveau Type
de Capteur de Température
Soutenue publiquement
le 23 Janvier L992
devant la commision d'examen
JurY
Président:
M. A. TOSSER-ROUSSEY,
Professeurà METZ.
Rapporteurs:
M M . M . R O U S S E L ,P r o f e s s e u rà T r o y e s .
A. VANOVERSCHELDE, Professeurà Longwy.
E x a m i n a t e u r s : M M . E . Y V R O U D , D i r e c t e u r d e R e c h e r c h e sC N R S INPL, NANCY.
G. KUGEL, Professeurà METZ.
L. RACZY, Professeurà LILLE.
AVERTISSEMENT
Cette thèse est le fruit d'un long travail approuvé par le
jury de soutenance et disponible à l'ensemble de la
communauté universitaire élargie.
Elle est soumise à la propriété intellectuelle de l'auteur au
même titre que sa version papier. Ceci implique une
obligation de citation, de référencement dans la rédaction
de tous vos documents.
D'autre part, toutes contrefaçons, plagiats, reproductions
illicites entraînent une poursuite pénale. La Bibliothèque a
pris soin d'adresser un courrier à l'auteur dans lequel elle
l'informait de la mise en ligne de son travail. Celui-ci peut
suspendre la diffusion en prenant contact avec notre
service.
➢
Contact SCD Metz : [email protected]
Ecrire au doctorant :
Code de la Proriété Intellectuelle. articles L 122. 4
Code de la Proriété Intellectuelle. articles L 335.2- L 335.10
http://www.cfcopies.com/V2/leg/leg_droi.php
http://www.culture.gouv.fr/culture/infos-pratiques/droits/protection.htm
sl(s
Vg ?qr{tt{
3Ll3
3t.l
UFR Mathématiques
Informatique.
M écanique
Université de METZ
Présentée à I'Université de M.ETT'
en vue d'obtenir le
rrNrvERSrrÀtR
DOCTORAT D'UNIVBRSITE DE MEl 16rHÊeuc
par
9920+k-ç
Hatem MOKHTARI
Maitre ès-Sciences
Sujet
Simulation de la Perturbation Thermi4ue
dans un Câble Coaxial: Proposition d'un Nouveau TYPe
de Capteur de TemPérature
Soutenue Publiquement
le 23 Janvier 1992
devant la commision d'examen
JurY
Président:
Professeurà METZ'
M . A . TOSSER.ROUSSEY,
à TroYes'
Ban-p-orleus. MM' M. ROUSSEL,Professeur
Professeurà Longwy'
A. VANOVERSCHELDE,
CNRSE x a m i n a t e u r s :M M . E. YVROUD, Directeurde Recherches
INPL, NANCY.
à METZ.
G. KUGEL, Professeur
L. RACZY, Professeurà LILLE'
Avant Propos
Mécatonique
ce travail a été réalisé au Laboratoire de
du Professeur
Industrielle de l'(Jniversité de Metz, sous Ia direction
ma
Qu'il me soit permis de lui exprimer
A. TOSSER-ROUSSEY.
en
profonde gratitude pour la confiance qu'il m'a témoigné
qu'il
m'acceptantdans son laboratoire ainsi que l'aide et les conseils
me faire
m'e prodigués. Je lui suis profondément reconnaissantde
I'honneur de présider mon iury de thèse'
J'ai le vif Plaisir de remercier:
de
MONSIEURM. ROUSSEL,Professeurà I',lnstitutuniversitaire
pour en
Technologiede Troyes,d'avoir accéptéde iuger ce travail et
avoir effectué une analyse approfondie'
MONSIEUR A. VANOVERSCHELDE,Professeur à I'lnstitut
(Jniversitairede Technologiede Longwy, d'avoir accepté de iuger ce
jury de thèse'
travail et de participet' à la constitutionde mon
MONSIEUR E. YVROUD, Directeur de Recherchesau CNRS,
G. KIJGEL, Professeurà l'Universttéde Metz et
MONSIEUR
et
MONSIEUR L. RACZY, Professeur à I'IJniversité des Sciences
Technîquesde Lilles
mes
A tous mes collègues du laboratoire, i'adresse
remerciementsIes plus sincères pour les marques de sympathie
et
qu'ils nt'ont touiours témoignéeset pour I'ambiance conviviale
chaleureusedans laquellei'ai travaillé'
SOMMAIRE
ChaPitre I
Introduction
"""""""'1
1-1- La démarche .........
"""""""'1
I-2- La problèmatique.................
1-3- Modélisations Antérieures des Lignes de Transmission...."2
"""""""""'2
1-3-1- Modèle de J. KERGOMARD t3l
t-3-2- Modèle de R. L. WIGINGTON, N. S. NAHMAN et D. R. HOLT
l4l, tsl
l-4- critique
"""""""'4
du Programme de simulation PSpice
........7
Chapitre 2
Modélisation d'un Câble Coaxial dans un
Gradient de Température
2-1- Programme de Simulation PSpice avec Gradient de
"""""':"""""""""8
Température.......
}-lr-L Modèle PSpice en Basses Fréquences avec Gradient de
""'L0
Température
2-l-2- Modèle PSpice en Hautes Fréquences avec Gradient de
..........""
""'20
""""""'
Température
G
r
a
d
i
e
n
t de
2-2- Le Modèle des Différences Finies avec
""'41
Température
""""""41
2-2-I- Introduction
des
l'équation
de
résolution
la
sur
2-2-2- Rappel
"'44
Télégraphistes
2-2-3- Modèle des Différences Finies pour le câble coaxial en
..........""
"""""""'46
Basses Fréquences.........
le câble coaxial en
2-2-4- Modèle des Différences Finies pour
Température
de
Grad ient
avec
Fréquences
Hautes
2-2-5- Vérification des Résultats des Résultats des deux
Modèles de Basses et Hautes Fréquences avec PSpice
2-2-6- Généralisation au Câble Multiconducteur
2-2-7 - Conclusion
79
.82
Chapitre 3
Application de la Méthode des Différences
Finies à la Détection d'une Irrégularité
Thermique le Long d'un Câble Coaxial
86
Localisation des Défauts en Lignes de
89
Transmission
3-3- Formulation Mathématique de la Méthode Indirecte de
9L
Mesure de TemPérature
3-1- Introduction
3-2- Détection et
L00
3 - 5 - E x t e n s i o n o u L i m i t e d e Fonctionnement
L07
3-6- Méthode ImPulsionnelle
3-7- Simulation du Gradient Linéaire d e T e m p é r a t u r e à I ' a i d e
108
de la Méthode des Différences Finies
110
3-8- Résultats
Lt2
3-9-Conclusion
Ll.4
Conclusion Générale et Perspectives
115
Bibliographie
t2L
Annexes
I
Chapitre
INTRODUCTION
dans
si l'étude de la propagationdes ondes électromagnétiques
de questions
un câble coaxial est un.u:rt classiqueIl], beaucoup
simples
relatives aux conditionsd'eiploitation des liaisons coaxiales,
pas été résolues
ou multiples, en vue de mesuresindustriellesn'ont
la
p
a r d e s m o d é l i s a t i o n ss i m p l e s ; o n p e u t c i t e r n o t a m m e n t
'perturbation
introduite dans lés mesurespar des inhomogéneÏtésde
câbles multibrins; un
températureet par
'à les diaphoniesdes longs
la sociéié Schlumberger m'a sensibilisé à ces
staje effectué
à quelquesanalysesthéoriques'
âuJriiont et m'a conduit à refléchir
dont les premiers chapitresde ce mémoire sont I'objet.
méthode
Les méthodes de simulation utilisées (dont une
du
nouvelle informatiquement légère) pour tenir compte
présence d'une
comportement d'un long câbtl coaxial en
qu'une
pertrirbation thermique tocalisée ont permis de montrer
était ainsi
méthode simple et nouvelle de repérage de température
peut'
à cet
on
autorisé,notamenten des endroitsd'accésdifficile; si
son principal
égard, parler d'un nouveau capteur de température,
quelques cas de
interêt serait, semble-t-il, qu'il permettrait, dans
de
mesures, de t" dispenserà'int"itt des capteurs traditionnels
les données
température et de transmettre et de traiter
correspondantes.
des
Ainsi, à partir d'une interrogation à visée pragmatique,
une nouvelle
études théoriquesde simulation conduisentà proposer
méthode métrologique.
penché
Le problème particulier sur lequel nous nous sommes
"primaires" R,L,C,G
est celui du câble côaxial dont les paiamètresdits
spatiale
présentent une dispersion fréqueniielle !:f{.1. de peau) et
du
du fait de I'existence d'une variation linéaire de température
milieu dans lequel est plongé le câble'
du
Dans un premier temps, l'étude est consacréeà la résolution
et fréquentielledu câble coaxial
problème de l; dispersion-spatiale
proposonsun
ptonge dans un gradientlinéajre de température;nous
peau est négligé'
modèle en basser"fréqu.ncesdans lequel I'effet de
2
Ensuite, nous n o u s i n t e r e s s o n sa u c a s o ù l e s d e u x e f f e t s
physiques ; I'effet de peau en plus hautes fréquences[2] et le
gradient linéaire de températurese suPerPosent.
No u s n o u s i n te re ssonSpar la suite au développement d' une
se
méthode de mesure d'irrégularité de température qui pourrait
manifester le long d'un câble coaxial. Seules sont connues, la distance
du générateur à I'irrégularité thermique, la fréquence fixe du signal
e n ô n d e p ro p a g é e a i n si que I' extension ou la longueur de cette
i r r é g u la ri té ( p a rti e d u câble coaxial pr ésentant une var iation de
température par rapport à la température supposée constante du
restant du câble ).
L e câ b l e co a xi a l , traver sé par un cour ant alter natif ( onde
sinusoidale) de très faible niveau, a servi de sonde évitant I'autoéchauffement existant en courant continu.
Nombreux sont les auteurs qui ont contribué à l'étude de la
propagation guidée et notamment de la transmissionpar câble.
bifierénts modèlesont été établis pour la résolutiondu problème de
la transmissionguidée en généralet par câble coaxial en particulier.
K t-l-l- tvloaet.a. .1.xpRcounRn rst
En référence[3], J. KERGOMARD a modélisé une ligne de
transmissionpar une chaîne de quadripôlesidentiques (température
uniforme) en cascadepour laquelle a été développéun formalisme
mathématiquebasé sur les équationsde récurrencequi régissentles
courants et tensions aux différentes interfaces des quadripôles
préalablementcités. Par la suite l'auteur simplifie les calculs, en
établissantune loi de récurrenceentre courants et tensions aux
interfaces de chaque quadripôle élémentaireet discute les notions
de fréquence de coupure, attenuation et déphasage.L'étude est
rigoureusepuisque les calculs ne font appel à aucuneapproximation;
des calculs matriciels permettent la résolution du
,*l"rn"nt
problème de notion d'ondes évanescentes. L'étude eSt
malheureusement restreinte au caS d'une température
uniformémentrépartie le long de la ligne.
L'auteur utilise, pour la modélisationd' une ligne de longue ur
finie, comme modèle équivalent une chaîne de quadripôles associés
en cascade(cf figure r).
la LignedeTransmission
L'étude a été effectuéeen régime permanentet les équations'pour
un quadripôledéfini est donnéepar:
Vn=BVn-t*AIn-t
(Eq-I)
In=DVn-t+CIn-t
(Eq-II)
Par la suite, Kergomard têécrit ces deux équations récurrentes,
la
s'appuyantsur la cond-itiond'impédancetelle que ZO=V 0/I0, de
forme suivante:
(Eq-I-a)
Vn=BnVo+AnIg
(Eq-II-a)
In=DnVo+CnIs
Pour simptifier, I'auteurse place dans I'hypothèseoù BC-AD=1'
par conséqueni, le calcul des variablesde récurrenceAn, Bn, Cn €t
Dp donne les équationssuivantes:
n0
A n ='Asin
sinQ
(Eq-trI)
n =
^sinnQ
IJn cosnQ+Asin Q
(Eq-IV)
^
^sinnQ
Cn=cosnQ-AsinQ
(Eq-v)
4
Dn = DI!jE
(Eq-VI)
sinô
Les constantes utilisées dans (Eq-III), (Eq-IV)' (Eq-V) et (EqVI) sont données Par:
tf)
0 = Arccos
,r-B-C
2
(Eq-vID
(Eq-VIII)
Cette méthode est très utile pour des lignes homogènes car elle
ne tient pas compte, a priori, des paramètres intrinsèques à chaque
ligne R, L, C et G (ex: câble coaxial, guide d'ondesou autres,etc...) et
peut être prise comme théorie générale. L'inconvénient est qu'elle ne
peut convenir au cas du gradient linéaire ou autre de température
dans lequel est Plongé la ligne de transmissionde manière générale.
HOLT t4l. tsl
En références tal, [5], les auteurs ont étudié la réponse
tenant
temporelle du câble coaxial à température ambiante en
sur la résistancelin_eiquedûe à l'effet de
.orpt" des approximations
^
des composantes de
p.uu
^huut",(quand il s'agit d'étudier I'influence
fréquences du signal sur la réponse du câble en régime
transitoire). Les études sont similaires mais différent par [es
fonctions d'approximationdes équationsde Bessel (équations de la
résistanceet de I'inductancede manière généraledécrites par la
théorie de la propagation des ondes électromagnétiquesdans un
conducteurcylindri[ue) introduitesdans le modèle. Le principe était
de substituer dans les formules générales des paramètres
secondaires (constante de propagation, impédance caractélistique)
les expressionsde la résistanceen fonction de la fréquence, etr
utilisant les transforméesde Laplace. D'autres approximations ont
été établies en vue de simplifier les calculs de la transformée
inverse de Laplace donnantainsi la réponsetemporelle.Les modèles
concernaientévidemment les hautes fréquencespour pouvoir
utiliser les approximationsde I'effet de peau t6l. L'inductance, la
capacité ainii que la conductancelineiques sont supposées
i n â é p e n d a n t e sd e l a f r é q u e n c e , i l s ' a g i t n a t u r e l l e m e n t d ' u n e
approximationdu Premier ordre.
N. S. NAHMAN I4I
Les auteurs étudient la réponse temporelle du câble coaxial en
considérant I'effet de peau présent dans les conducteurs (central et
e x t e r n e ). A i n si , i l é cri ve nt: pour une ligne donnée de longueur L ,
t e r m i né e p a r so n i mp édance car actér istique Zc ' et avec un e
constante de propagation T, la relation entre la tension d'entrée E1 et
c e l l e d e so rti e E 2 co mme fonction de la "var iable fr équenc e
c o m p le xe " d u fo rma l i sme de la tr ansfor m ée de Laplace, souven t
notée p:
Ez = E1e-rL
(Eq-IX)
où, en général:
(Eq-x)
T=
et I'impédance caractéristique donnée par:
7n=
(Eq-XI)
P o u r l e s h a u t e s f r é q u e n c e s( é p a i s s e u rd e peau très faible
devant le rayon du conducteur),I'impédancedûe à I'effet de peau
d'un conducteurcylindrique s'écrit de la forme:
7n=K'{P
(Eq-XII)
o ù K e s t u n e c o n s t a n t ed é p e n d a n td u m a t é r i a u c o n s t i t u a n t l e
conducteurainsi que de ses dimensionset est donnéepar:
*=#l*
(Eq-XIr)
o ù r e s t l e r a y o n d u c o n d u c t e u rc e n t r a l , ! r S a
magnétique,et o sa conductivité.
perméabilité
En hautes fréquencesla résistancesérie est exprimée par
l'équation de I'effet de peau. Pour des diélectriques en
polypropylène,les pertes par conduction transversesont très faibles
(G=0) et par conséquent(Eq-X) et (Eq-XI) deviennent:
T=
et
(Eq-XIV)
6
Kfp+pL
(Eq-XV)
A i n si , l a fo n cti o n de tr ansfer t d' une por tion de ligne de
longueur L est désormais écrite dans la forme:
(Eq-XVD
Ez-31e-L@c*ncxvO-
La transforméeinverse de Laplace de la fonction de transfert
(Eq-XVI) n'est autre que la réponse impulsionnellede la ligne de
iottgu"rt L. Pour simplifier, les auteurs ont développé, en séries
entières,la constantede propagationainsi obtenue:
-r;n-t
!2
y(p)= v,f-rc-rd
^lar"r?_(
,Ë1ff't-ntz
(Eq-XVII)
Les auteurs calculent alors cette réponseimpulsionnelletenant
compte des termes de hautes fréquencesexistantsdans I'expression
de la fonction de transfert. L'approximation sur les hautes
fréquencespour la résistance(ou impédance)série est du premier
ordre (voir fonctions de Bessel Lzl).
L'étude est fort interessantemais se limite à une ligne
homogène seulementen hautes fréquences,
N. HOLT I5I
Leur méthode est I'aPProximationdu deuxième ordre de la
résistanceen fonction de la fréquence.Ils approchentla résistance
en utilisant sa valeur asymptotique:
R(p)=A+BfP
(Eq-XVil)
De même qu'en [4], ils substituentcette valeur aux paramètres
secondaires,la cbnstantede propagationen occurence,valeur dont
dépend I'attenuationen fonction de la fréquencecomplexe P=jo.
7
Le résultat de l a ré ponse impulsionnelleest donné sous for m e
de superpositionde la fonction-erreur erfc(t) donnée par (quand A---> 0):
t''
h(t;= erfctrfir/rcl ('-t)-'t'l
(Eq-XIX)
L'inconvenientque nous avons pu constatélors des simulations
est !e fait que I'effet de peau ne pouvait, de façon explicite, être pris
en compte par Pspice. Pspice ne simule que les circuits, passifs ou
a c t i f s i o i e n t - i l s , d o n t l e s c o m p o s a n t ss o n t i n v a r i a n t s a v e c l a
fréquence;ce n'est évidemmentpas le cas du câble coaxial en hautes
fréquences.Aussi, afin de compareravec le modèle numérique,nous
util-isonsdes domaines fréquentielstrès restreintspour considerer
comme constantela valeur de la résistance.
Le programme de simulation Pspice ne peut, de façon
automatiquè,prédire la température;puisque lui même a besoin de
données des paramètreslineiques R, L, C et G pour établir la
phases.Il a donc
simulation des courants,tensionset éventuellement
été utilisé comme moyen de vérification de I'attenuationdu signal
propagé après que la températureait été, mesurée.
Chapitre 2
Modélisation d'un câble coaxial dans un
gradient de temPérature
t e m p ér a t u r e :
S P I C E veut dire en anglais: Simulation
Integrated Circuit EmPhasis.
Pr ogr am
with
Le programmede simulation PSpice permet de simuler tout
de la réponsetemporelle
circuit électrique.Il permet la connaissance
du circuit à n'importe quel type de signal d'entrée,de la réponse
fréquentielle,ainsi que du bruit qui pourrait se manifester dans le
circuit électrique.
Les programmesde cette famille Sont issus du programmede
simulation SPICE2 t7lt81 développé à I'Université de Berkeley,
Californie durant les années70. Les algorithmesde SPICE2 étaient
considérablementplus puissantsque leurs prédécesseurs.
PSpice utilise les mêmes algorithmesnumériquesque SPICE2
de celui-ci.
et est conforme aux formats d'entrée-sortie
PSpice est basé sur la descriptionet la définition du circuit réel
traduit en circuit fictif écrit dans un fichier text qui sera compilé et
executé,comme tout programme,par la suite.
Le circuit fictif représentantle circuit réel est défini par des
noeuds entre lesquelsviennent s'interposer,pour la simulation,les
c o m p o s a n t s ( r é s i s t a n c e s ,c o n d e n s a t e u r s b, o b i n e s , a m p l i f i c a t e u r s
opérationnels,transistors, diodes, etc...). Différentesanalysessont
possibles,à savoir:
-L'analyse temporelle ou transitoiresdes courants et tensions
dans le circuit ( réponseimpulsionnelle,retard, distorsion,etc..);
-L'analysedes circuits dont la fonction de transfert de Laplace
est connue analytiquement,la fonction peut être définie directement
en fonction de la variable complexede Laplace usuellementutilisée;
9
-L'analysefréquentielleou la réponsefréquentielledu circuit
(Attenuatiot1S,
Soumis,à Son entrée, à un signal de Spectreconnu
ainsi que I'analyse spectralede Fourier, impédances
bJphurug"r;,
-et
impédancesde sorties;
d'entrée
-L'analysestatistiquede Monte Carlo;
-L'analyse et l'étude du bruit thermique existant dans les
circuits, actifs en I'occurence,est possible;
Diagramme de
-L'analyse
-des des circuits ou systèmesasservis,
pôles et des zéros,Diagrammede Nichols;
Bode, Lieux
-L'analysedes circuits non linéairesainsi que leurs fonctions
de transfert;
- L ' a n a l y s e ,e n c o u r a n t c o n t i n u , d e s c i r c u i t s s o u m i s à l e u r
entréesplusieurs types de signaux;
-L'analysede la distorsiond'intermodulation;
-L'analysedes circuits dont la températureest décrite par une
fonction donnée par Son expressionanalytiqueou issue d'un tableau
de valeur évoluantdans le temPs.
La syntaxe de PSpice est parfaitementadaptéeaux notations
issues des normes universellesde la physique en gén&al et de
l'électricité en Particulier.
Tout fichier text décrivantle circuit fictif à simuler doit avoir
l,extension .cIR (circuit File) pour spécifierqu'il s'agit bien du
fichier contenantle circuit proprementdit. Après sa compilation'
celle-ci crée automatiquementun autre fichier text dit de sortie
ayant pour extension .OUt ( Output Fite) contenantles résultats
suivants:
- temps total d'execution,
nombre de comPosantssimulés,
- nombre total de noeuds,
- les messagesd'erreurséventuellementà la compilation, (par
exemple: quand il y a dans le circuit un noeud flottant ou une
quelcOnqueerreur de syntaxe, d'unité ou autres, ceux-ci Sont
le
déclarés dans le fichier de sortie .OUT, indiquant la ligne dans
fichier texte .CIR à coniger).
Après que la compilation ou la simulationait êtê achevée,les
d o n n é e i r e C h e r c h é e s( c ' e s t à d i r e l e s d i f f é r e n t e s r é p o n s e s
l0
plrase,
temporellesou fréquentielles,courantsou tensions,gain ou
de
etc.:.) sont disponibleset peuventêtre stockées,à la demande
I'utilisateur,dans un fichier ayant pour extension'DAT (Data File)'
La commandePROBE NomFichier.DAT permet de visualiser
les donnéesdemandéespar I'utilisateurlors de la création du fichier
de donnéesNomFichier. La commandePROBE représentepour le
p r o g r a m m ed e s i m u l a t i o n P S p i c e l a " s o n d e d e I ' o s c i l l o s c o p e
ii.t'if " qui permet, de façon analogueà I'oscilloscoperéel, d'établir
des mesuresou des points de test en temporelle'
Concernant le domaine fréquentielle,la commande P R O B E
permet de visualiser des différents signaux pour servir
d'analyseur de sPectre.
Il est certes exhaustif de citer toutes les commandes de
simulation PSpice alors que nous n'avonsutilisé que peu de celles-ci
puisque l'étudè portait sur la modélisationdu câble coaxial dans un
une simple
lradient linéairè de températureet par conséquent
(
capacité,
résistance,
fonnaissancede la syntaxedes circuits passifs
inductance,conductance)suffit pour comprendrele fonctionnement
de PSpice;quantà la créationdes fichiersCIRCUIT NomFichier.CIR
des fièhiers-deSORTIE NomFichier.OUTainsi que les fichiers de
elle seraexpliquéeen détail.
DONNEES Données.DAT,
Comme pour tout programme' dans le fichier de commande
(texte), les cônstantes,variables,tableaux, fonctions, routines ou
procedures,etc..., doivent être soit déclarées soit préalablement
définies.
Ainsi, le programmede SimulationPSpice reconnait,comme en
capacitéset inductances,Pâr,
notation Universelle,les résistances,
leurs premièreslettres,R, C, L. La tension entre deux
respectivement
noéudspar exemplesest définie, dans le fichier .ClR, par la lettre V
suivie de n'importe quel nom alphanumérique'
de
température
Le câble coaxial plongé dans un gradient linéaire de
températurepeut être remplacépar un ensemblefini de quadripôles
associésen cascadeset dont les " paramètresdits primaires " varient
selon une fonction en escalier de la profondeur donc de la
température également.
ll
quadr ipôles en
Le si mu l a te u r P S p i ce peut donc tr aiter ces
fait que des com posantspur em ent passifs ;
c a s c a de s q u i n e S o n t
"
n
des paramètres
seuls les aspects fonctionnéls de croissance
verrons
pritnuitrr sont à introduire dans un fichier-circuit .CIR' Nous
de
p . t l a su i te q u 'i l e st p ossible, comm e le manuel d' utilisation
^tspi."
plusieurs paramètres
Ul noui I'indiquè, de faire varier un ou
primaires en fonction de la distance'
La variation des paramètres primaires avec la fréquence et la
génétale
température a fait I'objèt d'une étude très complète et très
qui
pu, t.Vt. HEBBERT t9i. Nous examinerons,pour les mêmes raisons
la
ànt été citées au Chapitre l, les variations de I'inductance et
résistance.
Etant donné que I'effet de peau est négligé dans cette sectlon,
seule la variation o. la résistance en fonction de la température est
p r i s e e n co mP te . L a va riation de la r ésistance en fonction de la
températureest donnée Par l' équation:
Re = Rarnu[I +ctn(O-Ouru)]
L e s pa ra mè tre s d a n s (l )
(1)
r epr ésentent:
o
Re : La résistanceà la température0 C
Ramt : La résistance à température ambiante (température de
rêférence en général).
Cln : Le coefficient de températuresupposéconstant pour les
relativementbassestempératures(en dessousdu point de fusion du
materiau conducteur).
tempér atur e donnée et l a
g e t 0 a m u : R e s P e c t i v e m e nune
t,
température ambiante.
L'équation(l) montre en toute évidenceque la variation de la
résistance est linéaire en fonction de la température' Nous
appeleronsk, le coefficient de proportionnalitéentre la variation de
pour
température  0 = 0 - 0 ambÊt la distance que nous noterons'
s i m p l i f i e r , z . P a r c o n s é q u e n t ,n o u s é c r i v o n s e x p l i c i t e m e n t l a
résistanceen fonction de z comme:
R(z) = Ra*u[1+ap.k.zl
(2)
Il est ainsi claire, vue sa croissancecontinueen fonction de z,
que la résistance doit être remplacée fictivement, pour toute
similation pspice, par une fonction " quantifiée " ou en escalier.
Notons que l; fonction en escalierpermet d'approximerla résistance
t2
pour
des fils constituant le câble coaxial et de la maintenir constante,
le modèle des basses fréquences évidemment, dans chaque
q u a d r i p ô l e é l é me n ta i re . Les deux var iations en fonction de la
distance z sont illustrées en figure la et figure lb'
13
R(n.Az)
O
Lz
2Lz
(N-1).^ z
N.Az
Le coefficient de proportionnalitécrR pour le cuivre recuit à 20
oC, par exemple,est de 0.00393/oC.Le coefficientde proportionnalité
oC/m, ce qui correspond
t.rpéruture-distance noté k est de 0.03
appioximativementau coefficient de températuredans la croûte
terrestre où le câble pourrait servir de moyen de transmissionde
données en vue d'effectuerune étude d'activité sismique des
plaques (tectonique des plaques, géophysique)ou alors comme
n.loy.n de détectiôn de présenced'une éventuellenappe pétrolière.
Avant d'entammerle problème de la simulation de la
dans le milieu dont nous
propagationdes ondes électromagnétique
n"nïnî de préciser les paramètres(coefficient de proportionnalité,
constantes,etc...), il t..ble fort importantde soulignerqu'une étude
de I'influence des variations de températuresur I'affaiblissementen
l'occurence,a êté effectuéetlQl où I'auteura simplementconsulté le
cas du câble totalementplongé dans un milieu dont la température
est constante.
En ce qui concerneles simulation,compte tenu de la variation
de la résistanceselon le schémade la figure la, le câble peut être
remplacé par une successionde quadripôles'
l4
Chaquequadripôle élementaire est
formé de:
- U n e r é s i s t a n c e t r a d u i s a n t l e s p e r t e s J o u l e d a ns l e s
conducteursinterne et externe du câble coaxial, et dont la valeur
dépendde la distanceselon l'équation(2)'
- Une inductanceen série avec la résistancetotale, traduisant
1 e c o u p l a g e m a g n é t i q u ee n t r e l e s c o n d u c t e u r s ,l e s i n d u c t a n c e s
internei dues à I'effet de peau tlll sont évidemmentnégligéesen
bassesfréquenceset feront I'objet d'une étude ultérieure dans les
prochains paragraPhes,
- Une capacité due au couplage électrique entre les
conducteursentre lesquelsexiste un milieu diélectriquedifférent de
I'air,
- En général,une conductancetraduisantles pertes transverses
dans le diélectrique,mais celles-ci sont souvent négligeables
milieu
t12l,tl3l (propriétés rhermiquesde I'isolant constituant le
diélectrique).
La capacitêet la conductancesont associéesen parallèle et
I'ensembleest en série avec la résistance,variableen fonction de la
distance,et I'inductance.
Le schéma de La figure 2 illustre le modèle équivalent de
cité.
I'ensembledu câbte dans le milieu préalablement
l5
Externe
Conducteur
ConducteurInterne
ZL
Q(n+1)
n.Lz
(n+l). z
(N-1).^z
N.^z
Le pas de discrétisationest choisi de telle manièreà ce que sa
valeur Soit très petite devant la longueur d'onde. Par conséquent,
plus les fréquencesde travail sont hautes et plus nous aurons
interêt à discretiseren plus fin le câble coaxial ainsi immergé dans
le gradient de temPérature.
Il est aussi important de noter que la longueur total du câble
du pas de discretisation
joue
-L,2. un rôle non négligeablequant au choix
Ainsi, les câbles relativementlongs (par rapport à la longueur
d'onde) necessitentmoins de subdivisionque les câbles plus courts
par exemple.
l6
Notons que clraque quadriPôle élém entair eainsi défini dans la
figure 2 est représenté, par sa forme récurrente en fonction de D, en
figure 3.
Ro=R(n.Az)
Vn+1
Vn
"ï
( n + 1 ) . 4z
n.Lz
Z
dansle Modèle Equivalentdu CâbleCoaxial
Le quadripôle élémentaire étant défini, les paramètres
primaires cbnnus, la simulationest ainsi possible en respectantla
iyntaxe imposée par le SimulateurPSpice. Il ne reste plus qu'à
tiaduire le circuit du modèle équivalenten figure 2 par le fichiercircuit .CIR dont la descriptiona étê détailléeau préalable.
Etant donné Sa Structurerécurrente,le modèle équivalent du
câble, pour être simulé, nécessiteI'utilisation:
1o) d'une instructiontraduisantla "fonction résistance",et elle
est donnée Par:
. FUNC
RESISTANCE(Z)
(A+B*Z)
la résistanceà
Les constantesA et B Sont respectivement,
températureambianteet un coefficient donné par l'équation (2). Ces
constantessont déclaréespar I'instruction:
. PARAM A=0.036,
B=1.1e-4 ; pour le cuivre par exemplet
r7
de PSPiceest que les instr uctions Peuven t
Une des Puissances
être écrites dans n'importe quel ordre dans le fichier texte .CIR.
2 o ) d 'u n e p ro ce d u re définissant, par son appel, tous les
quadripôles en cascade tenant compte de la variation de la
r é s i s t an ce d é fi n i e p a r l a fonction ci- dessus. Cette pr ocedur e es t
notée:
. SUBCKT CELL I 3; de I'anglaisSUBCIRCUITà la lettre près et
CELL est son nom, 1 et 3 son les noeudsdélimitantle circuit de base ;
Pour qu'elle puisse être opérationnelle,il faudrait pouvoir
I'appeler pour économiser l'écriture. L'appelle d e l a p r o c e d u r e
commencetoujours par la lettre X et s'effectuepar:
Xquadripole
Xquadripole
1
3
3
5
Pour mieux comprendrele processussyntaxiquedu SUBCKT et
ses appels, iI convient de donner le fichier texte du câble coaxial en
le commentantpour expliquer chaqueinstruction(cf annexe2).
L e s v a l e u r s n u m é r i q u e sq u e n o u s a v o n s u t i l i s é e s p o u r l e s
simulations, sont celles du câble coaxial du type RG58U
préalablementutilisées.Seuls la longueur du câble ainsi que le pas
de subdivisionL,z changentdu cas simple du câble coaxial de 500 m
de long. Nous avons néanmoinsétudié le cas du câble relativement
court ùur fixer I'idée du fait que plus le câble se raccourciet plus
on aura interêt à discretiseren plus fin.
Nous avons simulé le gain (ou I'attenuation)et la phase Pour
câble long de 500, 1000 et 1500 m Plongé dans un gradient
linéaire de température(i.e: la résistanceest de la forme R(z)=aa5'2,
a et b sont des réels positifs). Les résultés sont portés en figures 6 et
D'autres part, nous avons également étudié l e c a s d ' u n e
variation quadratique de la résistance en fonction de la distance z
où c=2e-7 Qlm^2).Le principeest exactementle
(i.e: R(z)=a+b.z+c.z^2,
même; seule la fonction-résistancechange. Les résultats, pour
I'attenuationet la phase pour les mêmes longueurs du gradient
linéaire, sont portés en figures 8 et 9.
l8
-
+
1500m PSpice-GT
+
1000m PSPice-GT
.+t-
500m PSpice-GT
v40
E
o
530
cÉ
t? 20
0
1o
Fréquence (kHz)
1oo
L=500. 1000 et 1500 m.
Figure 6: Atten.=f(Fréquence).
en BF avec Gradientde TemPérature
(t)
\Q)
L
ê0
q)
o
-400
€)
(t)
cll
or
-600
'.....æ
500 m PSpice-GT
#
1000m PSpice-GT
#
l500mPSpice-GT
Fréquence (kHz)
t9
,^
€
80
+
1500mPSPice
+t_
1000m PSPice
#
SOOmPSPice
60
o
Ë40
q)
100
10
Fréquence (kHz)
Figure 8: Atten.=f(Fréq.\.L=500. 1000 et 1500m.
0
-100
G
\q)
-2oo
li
à0
q) -300
o)
-400
(â
6t
f-
-5oo
-600
..'.''....€-
500mPSpice
*
l000mPSpice
.+
1500m PSpice
-700
100
Fréquence (kHz)
Les résultats de la simulation PSPice ont été obtenus en
chargeant sur une impédance résistive égale à I'impédance
20
Il est
c a r a c t éri sti q u e d u câ b l e c oaxial à tem pér atur e ambiante.
ce cas de
c e r t e s d i ffi ô i l e d e d é fi n i r une impédance itér ative dans
vue la dispersion spacial des paramètresprimaires R, L,
propagation
^C,'etG éventuellt*.nt. Nous avons, néanmoins, à titre indicatif,
porté en figure 10, les variations de I'impédance caractéristique en
ionction de la fréquence à différentes température (câble totalement
ptongé dans un rnilitu à température uniformèment répartie)'
(â
(J
N
*
Zc(125'l
..-.....r-
Zc(75'l
4r-
Zc(25")
100
Fréquence (kHz)
Il est bien claire que la valeur de I'impédance caractéristique
ainsi définie en figure 1ô ne peut adapter le câble coaxial dans le
g r a d i en t d e te mp é ra tu re . Le for malism e mathém atique qui per m et
à . p o se r l e s co n d i ti o n s d' adaptation de la puissance tr ansmise à
travèrs le câble nécessite des calculs fastidieux notamment
Nous avons, comme mentionné
numériques [14],[15],tl6l.
p r é c é de mme n t, ch a rg é l e câble par une r ésitance s' appr ochant d e
i'impédance caractéristique aux hautes fréquences donnée par:
^=48
(3)
seulement Pour avoir une idée de compar aison avec le m odèl e
numérique que nous avons développéet qui sera détaillé dans le
prochain chaPitre.
2-l -2- Modèle PSpice du câhle coaxial
fréquences avec sradient de température
en
hautes
2l
(_
Il est fort évident, à cause de I'effet de peau présent dans les
différ emm ent aux
l c o n d u c t e u r s q, u e l e c â b l e coaxial se compor te
\hautes fréquences[2].
Avant d'aborder tout calcul, il est d'utt interêt capital de
rappeler ce qu'est I'effet de peau dans un milieu conducteur
quelconqueet cylindrique,qui est le cas de notre câble coaxial, en
particulier. En bassesfréquencesou en courant continu, le champ
la tension et le
êlectrique et magnétiqueinduit par, respectivement,
courant, sont répartis de telle manière à ce que la densité de courant
soit uniformèment distribué sur la surface du conducteur. Les
schémasdes figures l1 et 12 illustrentles situationsdu conducteur
cylindrique en basseset hautes fréquences.
Densitéde Charges
1.0
Diamètre
22
Densitéde Charges
1.0
Epaisseurde
peau
1.le
l--
?-'
.-
--
ô
-
Diamètre
--
--
a-
conducteurcylindriqueen hautesfréquences.
L'effet de peau ou effet pelliculaire est présent sous
certainesconditions de fréquenceet de dimensionsdes conducteurs
et il n'est pris en compte que si la fréquencedépasseune certaine
limite imposéepar ces conditions[2].
Comme il est indiqué égalementen l2l, non seulement la
résistancelineïque des conducteursvarie avec Ia fréquence mais
I'inductance lineïque aussi est sujette à cette dispersion
fréquentielle. Nous tiendrons compte de ces deux paramètres
primaires en particulier, car, comme nous le verrons en détails,
I'effet de peau de par son lien analytiqueavec la conductivité des
conducteurs,varie en fonction de la températureet par conséquent
de façon implicite, puis explicite par la suite, en fonction de la
distance.
Pour le modèle PSpice des hautes fréquences,la dispersion
fréquentiellene peut être, de façon explicite, introduite dans les
23
simulationsparce que PSpice n'effectue,ou du moins actuellement,
que I'analyseet la simulationdes circuits ou composantsconstants
Ën fréquence.Nous avons tout de même contournéle problème en
calculant,à une fréquencedonnée,les valeurs de la résistanceet de
I'inductanceque nous avons introduites dans le fichier-circuit en
effectuantdes analysesfréquentiellestrès fines de façon à maintenir
constantsces deux paramètresprimaires'
Ainsi, pour connaîtrela "vraie" valeur de l'attenuationou de la
phase du signal propagéen hautes fréquences,nous effectuonsdans
les
i r f i c h i e r q u e n b r r a p p e l o n s ,p a r e x e m p l e ,H A U T B S . C I R ,
instructions suivantes:
. AC DEC 100 L.OMeg
1.2Meg
ce qui nous donne, de façon approximative,l'analyse autour des
1. 1M eg , chose qui est théoriquementimpossiblepour PSpice car
celui-ci ne tient pas compte des variations fréquentielleslors des
s i m u l a t i o n s e t p a r c o n s é q u e n tl e s i m u l a t e u r c o m m e t t r a i t d e s
abérrationsquantlu calcul de la vraie valeur de I'attenuationou de
la phaseautourdes 1.1 MHz. Il est bien clair que plus nous utilisons
des intervallesfréquentielsfins et plus la précisionest meilleure.
Nous allons, après une descriptionqualitative des deux effets
physiques (effet dq peau, gradient de température),-donner les
èquatiônsqui régissentles variations,en fonction de la fréquenceet
de Ia distance,de I'inductanceet de la résistancede chaque cellule
ou quadripôle élémentairecomme nous l'avons préalablementétabli
en illJ f St. Nous rraireronschaque paramètreprimaire (résistance
ou inductance)à Part.
Le conducteurcentral du câble coaxial est repréSentéen figure
l'épaisseurde peau illustrant la "fuite" des
13, où est schématisée
porteurs de chargesvers la surfacedu conducteur:
25
(6)
ù(z) =
La substitutiond e (5 ) d a n s (4) donne alors,
dRl(z) =
PiQ)
.dz
(7)
æôi(z)(ô
1@)+ 2a)
l'équation (7) est exacte et toutes les fonctions qui y figurent sont
par la suite, que les
analytiquementconnues. Nous Supposerons,
fréquencessont assez hautespour que I'approximation,
ôi(z) << 2a
(8)
reste valable quelque soit la profondeur z. L' équation ( 7) s' avèr e
a l o r s si mp l i fi é e . E n re mplaçant chaque fonction dans ( 7) par s a
valeur, tenant compte de I'approximation (8), nous obtiendrons,
dRi
k1z.dz
(e)
2na
Les paramètresprésentsdans (9) sont:
p i0 : la résistivité du conducteurcentral (interne) à température
ambiante;
f
: la fréquencedu signal sinusoïdalpropagé;
traduisantla variation de la
: le coefficientde proportionnalité
ki
résistivitéen fonction de z;
a
:
le rayon du conducteurcentral.
Pour calculer la résistancedu conducteurcentral pour une
cellule élémentaire de longuer Lz, il convient tout d'abord de
calculer la résistancetotal d'une portion de câble de longuev Z.
La résistancede la cellule élémentairedu conducteur central
compriseentre n et n+l (cf figure 2) est donnéepar une équationde
récuirencefaisant intervenir la valeur de la résistancetotale pour la
longueur Z. Il est donc nécessairede calculer analytiquementcette
résistancetotale d'une portion de longueur finie Z.
26
et
L'intégration de l'équation (9) entre 0 et Z (Z est arbitraire
gradient de
fini) donne, pour le ionducteur central dans le
température, la formule ci-dessous,
Ri(z)=#ki
L
.{(1+ki.Z)z-1}
( 10)
Et a n t d o n n é q u e l e s ré si stancesen sér ies s' ajouttent, la r ésistanc e
d'une cellule élémentaire de longueur L,z eSt simplement la
d i f f é r e n ce d e l a ré si sta nce d' une por tion de câble de longueu r
( n + l ) . A,2 e t d e l a p o rti o n de longueurn.Â2, ce qui nous mèner a par la
suite à écrire l'équation de récurrence pour le conducteur central,
t i"t = Ri((n+1).Lz)- Ri(n.Âz)
(1I )
La valeur de cette résistance varie bien en fonction de n' la
c o o r d on n é e l o n g i tu d i n a l e ( disper sion spaciale) , et de la fr équenc e
(dispersion fréquentielle) comme le montre explicitement l'équation
( 1 0 ) d o n t d é p e n d d i re cte ment l' équation ( ll) '
La situation pour le conducteur externe est quelque peu
différente du point àe vue géométriquemais le principe de calcul
demeure inchangé.Les dimensionsainsi que la forme creuse du
conducteur externe font intervenir d'autres équations que nouS
poseronspar la suite.
Il est ainsi clair que, du fait de la différence de dimensions
entre les conducteursinterne et externe,la fréquence"Seuil" pour
(8))
laquelle les approximationsde I'effet de peau (cf équation
deviennent vatàbles est complètementdifférente pour le conducteur
externe.
Le conducteurexterne, appelé aussi armure' est représentéen
figure 14. Le courant de haute fréquencesest ainsi distribué à
I'interieur et I'exterieurdu cylindre creux.
2l
Le conducteurexterne Sert de retour du courant de haute
. La partie qui nous interesse eSt la partie interne du
fréquence
conducteur externe. La résistance infinitésimale du conducteur
externe selon la figure 14 est donnéepar:
dRs(z)=
Po(z)
.dz
(r2)
æôs(ôe+ 2b)
Comme précédemmentnous appellons, pour les paramètres
, O( z ) l a ' r é s i s t i v i t é d u c o n d u c t e u r
d a n s ( I 2 ) , r e s p e c t i v e m e n tP
externe (fonction de z également),ôO(z) l'épaisseurde peau interne
du conducteurexterne et b le rayon interne (cf figure l4).
Nous effectueronsles mêmes approximationsconcernant le
diamètre interieur 2b par rapport à l'épaisseur de peau. La
résistancede la cellule élémentairepour le conducteurexterne, qui
sera ajoutée à celle du conducteurinterne, est donnée, après des
calculs similaires,par:
r8 = Rs((n+l).Lz)- Rs(n.Âz) (t 3)
28
N o to n s q u e l a ré si stancetotale, pour une longueur Z donnée,du
a été obtenue en integr ant la r ésistanc e
c o n d u cte u r e xte rn e R o (Z )
i n f i n i té si ma l e e n tre z=0 et z- - Z apr ès avoir effectué toute s
s i m p l i fi ca ti o n s p o ssi b l e s (appr oxim ations,substitutions des fonction s
de z, etc...).
La connaissancede la résistancetotale " élémentaire " du
quadripôle du modèle de récurrenceest ainsi possible;et elle est
par l'équation:
d o n n é e s, e l o n( 11 ) e t ( 1 3 ) , dans sa forme condensée,
r[ =/n+4r
(r4)
La croissancede la résistancetotale élémentaireen fonction de
la racine carrée de la fréquenceest implicite dans l'équation (14),
traduisantainsi I'effet de peau dans les conducteurs.
B)
Inductances
Il est bien évident que I'inductancesoit composéede la somme
de trois inductance: Inductance de couplage entre les deux
c o n d u c t e u r s i n t e r n e e t e x t e r n e [ 19 ] , I ' i n d u c t a n c e i n t e r n e d u
conducteur interne et I'inductanceinterne du conducteur externe
dûes à I'effet de peau qui, de part la distributiondes courantsqu'il
modifie, induit des champs magnétiquesdans les conducteurset par
conséquentdes inductancesinternes,d'après le théorèmed'Ampère
[20], sont à prendre en considération.
Nous traiteronsd'abord les inductancesinternes dûes à I'effet
peau
de
combiné au gradient linéaire de température.L'inductance
de couplage, terme majoritairementdominant, sera simplement
ajoutéepuisqueson calcul a été déjà traité tl9l.
B)-1- Inductance interne du conducteur central
Le schémade la figure 13 illustre la distributiondu courant de
haute fréquencedans le conducteurcentral ou interne. Nous allons
faire appel au théorème d'Ampère pour calculer: la densité de
courant, le champs magnétiqueinduit, le flux magnétiqueinduit, et
enfin I'inductance.
Comme nous I'avons effectué avec les résistances, nous
utiliserons le calcul différentiel puisque nous considéronstoujours
les mêmes étapes de calcul qu'auparavant ( inductance
etc...).
infinitésimale,intégration,discretisation,
L a d é p e n d a n c ed e l ' é p a i s s e u r d e p e a u d e z n o u s p e r m e t
d'introduire cette hypothèsedans le calcul du flux infinitésimal
i n d u i t p a r l e ch a mp s ma gnétiqueinter ne:
(15)
dQi(r,z)= Bi(r,z)drdz
Bi(r,z)
est le champs magnétique interne,
R e ma rq u o n s d a n s ( 15) la dépendancedu champs m agnétique
de la distance z puisque le courant, comme nous le verrons
u l t é r i e u re me n t, va ri e e n fonction de z du fait de la var iation
l'épaisseur de peau (dispersion spaciale de la densité de courant).
Utilisant le théorèmed'Ampère pour le conducteur représenté
en figure 13, le champsrnagnétiqueest donné par:
Bi(r,z)= Ë-.i{r,z)
(16)
Le courantinternei(r,z) dans (16) peut être écrit sous sa forme
générale:
i(r,z)= it@).si(r)
(17)
La sectionefficace Si(r), à travers laquelle le courant de haute
fréquence circule,dans l'équation( 1 7 ) e s t , s e l o n l a figure 13, donnée
par:
s1(r)= rc(r2- az)
(18)
La densité de courant donnée par (17), tenant compte de I'effet
de peau, est alors:
jr@)
l+
nô1(fi + 2a)
(te)
Il est ainsi clair que le calcul du flux total, pour une longueurZ
du conducteurcentral, est donné par une intégrale double sommant
sur les distancesz et sur les rayons r.
D'une rnanière générale, cette intégrale double du
magnétiqueinduit, est donnée par:
flux
30
oî=f^,Ë
B i(r,z)dr
ôi(z)
(20)
Utilisant les mêmes approximationsque pour la résistance,
nous écrivons le flux total, après plusieurs simplifications et une
première intégration, comme étant:
ln(1-Q&\
.adzl
ol- =Eyv.^.[
4na
Jo
(2t)
ôi(z)
L'épaisseurde Peau est, comme pour la résistance,variable en
fonction de z et Peut être écrite de la forme:
ôi(z)=ôiO/l +ti,
(22)
de telle manière à ce gue, dans I'intégrale donnée en (2I),
l'épaisseurde Peau s o i t utilisée comme la variable d'intégration
après un changementd e variable appropriéutilisant (22).
L'approximationsur l'épaisseur de peau faite en la considérant
très faibte devant le rayon a du conducteur interne permet d'écrire,
aprèstous calculs,le flux total:
rÀg;)=;H{z- 2;u .(F(z)-F(0))} (23)
4na r<iaitoI
où la fonction F(z) est donnée Par:
F(z)= (1 - Qi(').l.rn(rY,
(24)
L'inductance interne élémentaired'une portion de fil interne
de longueur Lz est donc donnée par une équation de récurrence
similaire à celle de la résistance:
Li = Li((n+l).Lz)-Li(n.Az)
(25)
3T
central, seules
La situation est similaire que pour le conducteur
de la str uctur e cr euse du
l e s b o rn e s d 'i n té g ra ti o n ch angent du fait
conducteur.
L'intégration sur le rayon r s'effectue e n t r e b e t b + ô o ( z ) ( c f
peau inter ne à une
f i g u r e l 4 ), a ve c ô o (z) est l' épaisseur de
profondeur donnée z.
N o u s donnerons le résultat après que tous les calculs
interne, pour
mathématiquesaient été achevés.L'inductance totale
une portion de câble de longueurZ, est alors:
(26)
et les constantesdans (26) sont:
b: le rayon interne du conducteurexterne(figure A);
et la
ko: coefficient de proportionnalitéentre la résistance
(cuivre)'
distance z qui est le même que pour le conducteurinterne
(armure)
Il pourrait ètrc différent pour lei câbles dont le blindage
de câble
est en acier pour des raisonspurementmécanique'Le type
que nous avonsétudié (i.e: RG58U) fait exception'
z du
ô o ( 0 ) : é p a i s s e u rd e p e a u à I ' o r i g i n e d e s d i s t a n c e s
conducteur externe.
La fonction G(z) est donnée Par:
G(z)-(1+ Q@o
).tn(l+
(27)
Y,
de
L'inductance total de la cellule élémentaire,inductance
couplageincluse [19], est alors:
Ltn=lL*lT+u.P.rnP
(28)
2na
êgale à
où p0 est la perméabilitémagnétiquedu vide usuellement
p0=4rc*
10-7S.I
modèle
A présent les inductancesainsi que les résistancesdu
analytiques
discret P-Spicesont connueset définies par des fonctions
32
pour le modèle en
aisèmentintégrables,comme nous I'avons fait
'cIR pour le
basses fréquences,dans des fichiers de commande
circuit passif à une fréquencedonnée'
PSpiceprésentel'handicapdeneplspouvoir'de.façon
à I'effet
automatique,tenir compte de la dispersionfréquentielledûe
les
de peau. Néanmoins,nous pouvons fixer la fréquence,utilisant
très
équâtions(14) et (28), poui effectuer une analysefréquentielle
fine.
Le principe en lui même est simple: Soit à déterminerune
grandeur (t"nriôn, courant, impédanceou autres) à la fréquencef0
Nous utilisons les fonctions inductanceet résistancede
Ëut
"*6pi".
à f=fO, puis à la simulation nous demandonsune
iu fréquence
analyse dans une bande très étroite entre f0-Af et fO+^f, avec Âf très
faible pour pouvoir connaître, à I'approxiamtionprès, I'attenuation
ou la Phaseà f=fO.
Nous effectueronspar la suite les simulationspour d'autres
fréquencespour pouvoir lassembler I'ensembledes résultats en vue
d'obtenir une réponse fréquentiellebeaucoupplus représentativeau
lieu d'effectue ùne étude temporellenécessitantl'utilisation de la
Transforméede Fourier RaPide.
Les équationsqui régissentles variationsde la résistanceet de
la
l,inductancede chaque quadripôle élémentaireen fonction de
distance et de la fréquenceétant développées,la simulation,compte
i"nu du problème de la dispersionfréquentiellede ces paramètres
le
primaires,est ainsi possible.Pour ce fait nous donneronsen détail
prog.urn-" de simulation concernantles hautes fréquenceSsous
de
..ràin", conditionsentre la longueurd'ondes,pour ce cas précis
longueur totale du câble coaxial et la
domaine fréquentiel, et
longueur de chaque quadripôleélémentaire'
Nous représentonsen figure 15, la variation en 3D de la
<al2
densitéde couiantj(r,z) pour f=lMHz. Le domainede r est: 0< r
grande
et le domainede i ..t b< z <Zmax=100.000m (valeur assez
pour pouvoir représenter qualitativement les variations
iongitudinalesde la àensité de côurant).Le tracé automatiquea été
effe-ctuégrâce au programmede calculsMathematicarM.
*
Plot3D [Exp t66.089485 ('
*
0 0 I t z I l , { r , 0 , 0 .0 0 0 5} , { 2 , 0 , 1 0 0 0 00 } l
r ) / Sq r t i f + - 0 . O
33
Le programme de simulation PSpice contiendra, en plus des
o p t i o n s d è c - o m m a n d e.so P T I O N S , . P R O B E , e t c . . . , l e s f o n c t i o n s
et
résistanceset inductancestraduisant la dépendancespaciale
fréquentielle.
En ce qui concerne la fréquence,puisqu'elle ne peut être
incrémentée automatiquement,nous la déclarerons comme
paramètre constant. Le programme ci-dessous explique
concrétement le mode de fonctionnement de cette délicate
simulation.
Nous appellons,pour le fichier de commandeGIRCUIT' le
500m
fichier HAUTÉS.CIR. Nous nous borneronsau cas du câble de
de
de long pour illustrer, de manière qualitative, la procedure
le
création-du fichier. Les constantesque nous allons utiliser dans
programme sont:
- La résistivité du cuivre, qui, d'après les équations de la
résistanceet de l'inductance,eSt la plus utilisée que la résistance
lineique à températureambiantecomme pour le modèle des basses
fréquences;
34
sont
L 'i n d u cta n ce e t l a capacité à tem pér atur e ambiante
respectivement:L=0.25 pH/m, C=100 pF/m;
-
-Lesdimensionsdesconducteursinterneetexterne
respectivement sont: a=R1=0'5 ffiffi, b=R2=I'745 mm;
- La fréquence à laquelle nous nous proPosonsd'étudier la
réponse ainsi que la Phase du câble coaxial est de I MHz;
- La bande de fréquence est très étroite, nous la Prendrons
êgaleà: Âf=100 kH4 soit alors un intervalle relativement fin allant
de 950 kHz à 1050kHz;
P o u r l e co n d u cteur centr al com m e pour le conducteu r
soit
externe, nous utiliserons le même coefficient de température,
a l o r s : ki -ko -k-l .l e -4 Q.m-l.oc- l.
-
Etant donné que le cuivre, matériau qui constitue les
sa
conducteurs du câblè étudié, est non ferromagnétique,
sim
plifi
é
p e r m éa b i l i té re l a ti ve e st égale à I' unité. Nous avons ainsi
p0=4nx10l e s c a l cu l s e n su b sti tu a n tdir ectem entla valeur numér ique
7 S.I. dans les équations de la résistanceet de I'inductance;
-
cable coaxial de 500m de long ; Ligne de titre du texte ;
. PROBE
NUMDGT=8
RELTOL=0'001
. OPTIONS
1050k
9s0k
.AcDEC100
k=1.Ie'4, L0=0'25uH: C=100pF, Freq=1e06'
. PARAM
Deltaz=50,
R2=I.745e'3,
Rl.=5e-4,
+Pi= 3.14L5g27,
+ M u 0 = 1 . 2 5 6 6 3 7 l e ' 6 , R h o =1 . 7 2 4 e ' 8
*
*
*{. ******{€***
***:t€*i(****
**{€{<* *t€{'**i€**{'*
{'****{€*{'{'*{'***{'*{'***{€{'**
3
* Definition de la fonction
â€{.*****
* : N € * { € ! t €! $ d . * * * { . * * * *
H(z) = (l+k'z)z - 1
{'*{<*{€
******{€*{Ê**{.{€**{G{€cc**
***{€**€*****{€*
*
*
*
. FUNC
H(Z)
(PWR(1+k*2,312)'l)
*
{€
****{€{€****{.*:fi*****{g{.{€*:F***{.**{.{.*****{€{€*****{e*:**{€*:N€*d€{€**:|€*'Ê***
* Definition de la fonction de
*conducteur interne
*
la
resistance totale
du
35
+ ui'ztT'u
Ri(z)=#u,'/@{(1
* * t( {€{€t {. * * * * * d. * t {€ dc* {. *
*€r€l,s* * * * * * * * * {€{r * {€* * * * * t * * * * * * * * * *€* * * i€ {c * {€* *
*
*
RTotaleCent(Z)
. FUNC
( ( 1 / 3* Pi * R 1 * k ) * SQ R T ( M u 0 * R h o/ Pi ) * H ( Z ) * SQ R T ( F r eq ) )
*
*
{€*****{c**:f
**:*****
******{€**{.
***t€*****:fi
**{'**
t€*{€**
**{c**
**{€*{c
{ÊX'**
* Definition de la fonction resistancetotale du conducteur
*externe
* * {€* * * * â' X€*€d' * * * * * d€* * * * * {€* {' * * * * tr
{. * * d€* {. {€ * * {. * * * :l€* * t * * * * * {. * * * {. * * * r1Ê
*
:1.
RTotaleExt(Z)
. FUNC
*
( ( 1/ 3 P i * R 2* k ) * SQ R T ( M u 0* R h o / P i )* H ( Z ) * SQ R T ( F r e q ))
*
*
{€* **
*
***
********{€{€
**********
{€**(**
*****
{€{€{€* * * *t{.**
****{€
***{<{€
*:l'**
Resistance de la cellule elementaire
* * * * * d€1r€* * * * * * * * {€ * * *€ *€t * * * * * * * {. * *€* * * d€* {€ * * àl€* àk* * * * * * * * * * * * * * d€* * {r *
*
*
. FUNC R(Z)
( R T ot a I eE xt (Z +D eltaZ)-RT ot a I eE x t ( Z ) + R T ot aI eC en t (Z +D eltaz)'
RTotale Cent(Z))
*
*
{.{€{€*{É*d€:'1.*{€**{.***:l€*{€*t€{.*d€**d(*:t€{<******{.**X.**.*******X€**{<d'{Ê***tr:l'*
* Definition de I'inductancetotale du conducteur central
* { € { € { €{ € * * { c * { . * *
*****
***€*******
*****
*****
*{.**il
*****
*t€{'{€**{€{".€**àt**
*
{r
{. * * {€ * {€* * * * * * * * * * X.* {Ê* t * * :F:t€* * * * Xt* {. * * * * * * * * t€ * d€* {' :l' * * {€{€* * * * * * * {c d' * *
*
Epaisseur de peau ô(z) donnee par la formule:
*
*
ôi(z) = O1g,û + kiz
:l' * * {Ê{' :l€
tÊ* * * * * :& {€ {€ àl€* * * * * * * * * * * {. * * :'f * * * * tt * ,1.{€ * * {' * {€ * * :l' :l' * :l€* * * d€* {€ * * * * *
*
:F
. FUNC Delta(Z)
{€
*
* r N {€€ { € { € { € :*F* * * * r l . { € * * *
( S Q R T ( ( R h o / P i * M u 0 * F r e q") ( 1 + k * Z ) ) )
***{€**:fi***
tF****:F*:r*c*
**rc*{€x.*:N.*:F****:S*****{€*{€{€
37
Cellule
la
de
{c
Totale
Inductance
*Inductance de CouPlage ComPrise
Elementaire,
********it***{.:****Xx{f.*X*****{'*4€:t'{'****{'*{€*{€***{€{Ê{€***{€***d<d'{'**{c
*€
*
. FUNC L(Z)
(L T ot aI erc,xt(z +D eltaz) -LTot aI eE x t (Z)+LT ot aI ec ent (z +D eltaz)'
*
i , T ot " t . C e n t ( Z ) +( M u 0I 2 * Pi ) D eI t a Z * L og ( R2/ R1) )
d.
:F
****t€
*******
*
*{€***{'*àk**<
***d€*€ *{€{.*É*******{€***
**{'{'*€ **{'**
Definition de la procedure subcircuit
*{€ **{€**
d.***{.
*****
***€*{.
*{.**{€
{.{.***
*{€{c*****.*{.
*
********
*********{'*****
{'***
tc
dc
1
. SUBCKT CELL
2
Rl l,
tR(z))
3
2
Ll
{L(z)}
CO
3
0
cl
. ENDS
3
PARAMSzZ=50
*
{€
***{.{€{€{€**d.***:F*{.**{r****c****{.**{r{.**{€{€d.*€{.*{€******{'*{€d':f{'****tl€**{€
Appels de la procedure pour le reste des quadripoles
{€*:1.**{€*{€*{<{.d€:l€*****{'{€***{'{€*{'****{'{€**{'*{<{'{€**{€***:S{'**:l'**{€**{€****
*
{.
X q u a dH F 1
XquadHF2
X q u a dH F 3
X q u a dH F 4
X q u a d HF 5
X q u ad H F 6
XquadHFT
X q u a dH F 8
X q u a dH F 9
XquadHFl0
CELL
CELL
CELL
CELL
CELL
CELL
CELL
CELL
CELL
CELL
1.
3
5
7
9
11
13
15
17
19
3
5
7
9
11
13
15
L7
19
2I
0
1.0G
'ARAMS: Z={S0}
PARAMS: 2={100}
pARAMS: l'={150}
pARAMSI Z={200!'
p A R A M SI Z = { 2 5 0 }
PARAMS: Z=t300)
P A R A M Sz Z = { 3 5 0 }
P A R A M Sz 2 = { 4 0 0 1
p A R A M SI Z = { 4 5 0 1
PARAMS: 2={500}
:l€
*
Rentree I
*
*
**:l€****,s***:Ë{.:F**!s:F*:s*****{.{€*{€*{<**tr**************âls**{€*:F***d€{<**
*
Impedance de Charge ZL=509-
*:N€*{€*rr***{.{€**{.***{€i€**{'***{€{€***{'N€:F*{€**{':N€{€{€*{€*:fi***:N€*:Flc:tc**rt{'*{'**
{.
38
*
Rcharge 2L
0
50
:1.
{.
{.**{Ê:l€*:s*:l€**{€**{.*{€*****{.{.{€*{€****{€{€*t€***{€********{€*(**{€**{'*€*d(*'**
*
Source de Tension
{.**{.{.{€r.{.*****t(*{.*rÉ****:tc********t€*i€{.**{€****{€****d€{'*****{€t'**{'*{'
C.
*
Ventree 1
. END
0
AC
l0Volt
Le fichier texte ou source du programme de simulation de la
propagation des ondes électromagnétiques pour les hautes
i r é q u en ce s e sr a i n si d é fi ni. Ceci étant donné à titr e explicatif d u
- o à è l e d e s h a u te s fré q uences puisque la subdivision que nou s
avons utilisé dans cet exemple n'est pas assez fine pour représenter,
d a n s ce d o ma i n e d e fré quences,les tensions et cour ants que nou s
cherchons.
Nous donnerons en annexes le fichier texte détaillé concernant
le câble coaxial du type RG58U de différentes longueurs utilisant le
programme de génération automatique de fichiers textes à partir
à.r- données préalablement énumérées lors de la description
détailtée du modèle en basses fréquences.
Les résultatsdes simulationsPSpice pour ce cas précis sont
d o n n é s e n f i g u r e s l 6 e t 1 7 o ù n o u s a v o n s r e p r é s e n t é ,p o u r
différentes longueurs de câble, les attenuationset les phases en
fonction de la fréquenceen rassemblantles résultats de chaque
point de "fréquence"; nous entendons par point de fréquence
i'attenuationou la phase calculés par la simulation PSpice autour
d ' u n e f r é q u e n c e d o n n é e ( à c a us e d u p r o b l è m e d e d i s p e r s i o n
fréquentielie dû à I'effet de peau affectant l'inductance et la
r é s is t a n c e ) .
36
*
La fonction F(Z) donnee par:
*
F(z)= (1 - li-G)"
).t,r{r- Ofl
*****X(****
**********{.*
*{<**{< ***{€*
*****
***{.{.
* **:l€* ***{<*
**
**
* ***{€
{€
{.
((1-Delta(Z)lRl)*Los(1-D etta(Z)/R1))
. FUNC F(z)
*
tJÊ
*****
{.* ***{.****{€{€******{€***
*
Fonction
* central:
Inductance
*****
* *{€**
interne
*****
*{c*{€*
total
*€d€{€:l€*{€***€*
du
{<{<* i<
Conducteur
Liu)=ffr#"r*;(F(z)-F(o)))
* * * * * * * d. {. * {€ * t€ * {. !t€{€ * * * :t * * {€ :lt * * {. * * * * * * * * * {€ * * * {. t€ * * {€ d€* * *
* * t€ * {€ * * * * * :Nc
*
*
. F U N C L T o t a l e C e n t ( Z ) ( ( M u 0 / a * P i * R 1 ; *( Z - 2 *p 1 r ' 1 F ( Z ) '
F ( 0 ) ) / k* s Q R ( D e l t a ( 0 ) ) )
{€
t€
X(* âf* * * {€{. * * d€* * * * * * * * * * * * * {. d(* t€* * * {. {. * * * * *€* * * * * {€* * * {. {€t * :1.* {€* * * *. * {€{<
dÉ
*bb
Fonction G(z) definie par:
ô o ( z ) r . l n ( l+ o o - ( z ) )
G ( z )= ( 1 +
{< * * * * * * * * {. * * * * * :t *. * * d. * {€ {€ * {. * * tl€{. * * * * d. d. {€ * t€ * * {. {€ * * * * * * * * i€ tc * {€ * {€ * * * {< {<
*.
{.
. FUNC
((1+Detta(Z)lRz)nLog(1+Delta(Z)lRz))
G(Z)
*
*
**
***{€**d.***
!t€****
*
Fonction
Externe:
*****X€*{Ê*****{.*****{€
Inductance Interne
***{.*
**********
Total
du
***{<*****
Conducteur
*
:Ë{€****€*!È{€{€*{€:N€**{c**{€t€****tÊ**{€*r€**:1.***{.***:ls{<****{.{.**{€:l€!N€***{€**{<{€
{.
{€
. F U N C L T o t a l e E x t ( Z ) ( ( M u O / a * P i * R 2 )(*Z - z * p 2 ' t 1 G ( Z ) G ( 0 ) ) / k* s Q R ( D e l t a( 0 ) ) ))
*
:s
tl€!Ë * :N€
X€* :t !S * {. * t& * tS * :F *s * * * * * {. {. {. * * * * {. {€ :$ * * * * {c {€ {. {< tl. {€ {€ * *€* rF * * * * * * {€ :È {€ {. {' * * *
39
E30
#
HF-GT
1500m PSPice
4r-
1000m PSpiceHF-GT
+
frf-GT
500m PSPice
o
cg
=20
q)
Fréquence (MHz)
(n
\Qr)
l-
êt)
q)
-400
I
.t)
cg
T
.+r-
500m PSpiceup-GT
#
1000m PSPiceHF-GT
*
l5OOmPSPiceHF-GT
-600
Fréquence (MHz)
"discret"
La résistanced e l a cellule élémentaireà un point
en
quelconque Pour le modèle des hautes fréquencesest donnée
figure 18.
40
'+
R(n.DeltaZ)
ê)
\q)
L
N
q,)
É
Coordonnée discrete n
La fréquenceétant fixée, seule la variation selon z est prise en
qui
compte pour connaître I'aspect de la courbe résistance-distance
peau
n'erf pus (cf figure 18) tout à fait linéaire à causede I'effet de
qui fâit introduireune variationen racine carré de la résistivité.
La variation des paramètres primaires (résistance et
inductance)en fonction de la distanceest non linéaire ce qui se
traduit par des écarts, entre les attenuationspour les différentes
longueursde câble, qui ne sont pas régulièrementespacés(cf figure
l6).
Il est important de souligner,comme l'étude qui a été
développéeen t10l nous I'indique, qu'un câble entièrementplongé
dans un milieu à températureuniforme présente une variation
linéaire de I'attenuation en fonction de la température;dans notre
cas cette linéarité n'est pas observéemalgré la faible non linéarité
de la résistance(cf figure l8) (généralementles variations de
I'inductanceen fonction de la températureinfluent très peu Sur
I'attenuation et la phase). Ceci veut tout simplement dire que
I'attenuationest très sensibleà la moindre variation de résistance.
Notons aussi que le problèmede la dispersionfréquentielleest
à résoudre parce qu'il peut, pour des applicationsdemandantplus
de précisions,engendrerdes erreurs beaucoupplus importantes.
Nous verrons plus loin que le modèle de simulation PSpice
s'avère tout à fait cohérent avec le modèle numérique des
4l
dans les pr ochain s
différences finies que n o us allons développer
paragraPhes.
temnérature
2-2-l-
Introduction
Les problèmes de la physique, d'un9 manière générale, font
s o u v e n t a p p e l à d e s c a l c u l s m a t h é m a t i q u e sp a r f o i s f a s t i d i e u x
Il est
difficiles à résoudrepar les méthodesde calcul symbolique.
aux
alors nécessairede iolutionner ces problèmesen faisant appel
techniquesde calculs numériques'
La méthode des différences finies est classée parmi les
en
méthodesles plus efficaces en raison de sa facilité de mise
et
oeuvre (équation décrivant ainsi un modèle équivalent
appro*imatif d'un systèmeréel quelconquerégis par des équations
différentielles ou autres difficilement résolvablesanalytiquement),
ainsi que de sa relative faible dimensionmémoire.
Nous entendonSpar relative faible dimension mémoire, etr
que: la
comparaison avec d'autres méthodes numériques telles
en
mèthode de éléments finis tzll,l22l (beaucoup appliquée
des
dynamique des Structures,la théorie des coques, en mécanique
sols, en tectoniquedes -plaques, la modélisationdes phénomènes
quand il
vibratoires aléatoirestels quê les seismes,les antennes
en
s'agit de calculer une distiibution de champ électromagnétique
géiéral pour une structuregéometriquecomplexe,etc...), la méthode
etc...
du moment t20l (antennes),
Le cas du câble coaxial plongé dans un gradient de
qui font
température fait partie de cette catégorie de problèmes
nous le
uppêt à un calcul analytiquetrès fastidieux car, comme
uliron, plus en détail, tÈquation des télégraphistest9l s'avère
variation
d i f f i c i l e à i n t e g r e r a n a l y t i q u e m e n tà c a u s e d e l a
longitudinalede la résistance.
dans le cas où la
La résolutionde l'équationdes télégraphistes
températureest uniformèment répartie le long du câble,-s'effectue
du
sans aucune difficulté particulièie; en revanche, I'introduction
câble coaxial dans un milieu où la températurecroît linéairement
G
avec la distance,fait varier les valeurs des paramètresR, L, C'
usuellementdits répartis et par conséquent,pour la résolution des
équationsdifférentiellesdes courantset/ou tensionsÎl2l' des termes
42
G ainsi que leurs dérivées
contenantsdésormaisles fonctionsR, L, c,
p r e m i è r e S S o n t à S u p e r p o s e r a u x é q u a t i o n s g é n é r a l e s d enécessite
le problème et
propagation;ce qui .olnitiqu. évidemment
représentantle modèle le
l,utilisation o'unô méthôde numérique
plut approximatifque possibleau cas réel'
la
L'étude que nous avons menée concerne essentiellement
en
et
fréquences
réponse fréquentielle du câble coaxial en basses
précis, la réponse
hautes fréquences.cependant,dans notre cas
vue non pas de sa
temporelleest couteuseet compliquéedu point de
programme de
mise en équation mais du i.*pt d'execution du
la tension ou du
calcul, à chaque échantillon de it*pt donné, de
courant de réponse.
il est
Notons que pour une éventuelle étude temporelle,
(
d
i
s
p
ersion
n é c e s s a i r ed ' i n t r o d u i r e l e s d e u x v a r i a b l e s d ' e s p a c e
le domaine
spatiale longitudinale) et de temps; alors que dans
ce qli réduit
fréquentiel, seule est considéréela variable espace
'
m
émoire vive
énormémentle temps de calcul ainsi que la
nécessaire.
une
La méthode des différences finies permet de remplacer
analytique fait
équation différentielle "continue", dont la résolution
fastidieux,par son modèle "discret"
appel à des calculs généralement
. La résolution devient alors numérique et nécessite
ou récurrent
I'utilisation de I'ordinateur'
de
Puisque le but est d'effectuer une étude fréquentielle
d9 câble' la
I'attenuationet de la phase pour différenteslongueurs
pas les
méthode des différenôes finies ainsi appliquée n'étudie
harmonique
,àgires transitoires.Dans tout ce qui suivra, le terme
esi omis et on supposele régime permanentétabli.
du câbte coaxial ont été élaborés:
Deux modèles représentatifs
fréquences(effet
modèle en bassesfréquences,modèlesen hautes
de peau).
de peau
1o) Dans le modèle des bassesfréquences(i.e: l'effet
qui dépendde fa température
n,esr pas considéré),seul le paramètre.
discret' par
est la résistance.Celle-ci est remplacée'pour le modèle
continûment
une fonction en escalier au lieu d'une fonction affine
de pouvoir
croissante avec la distance. Le but est évidemment
de températurepar
remplacer le câble réel dans le gradient linéaire
en cascadeoù la valeur de la
son modèle équivalentde quadrip-ôles
localement
résistancede chaque cellule éiémentaireest constante
préalablement
mais qui augment; suivant la fonction en escalier
43
et de la
décrite. Les coefficients de tempér atur e de I' inductance
de la conductanc e
capacité sont en effet très faibles. Bien que celui
négligé car son terme
ou perditancesoit élevé, il peut cependantêtre
n'intervient que Pour une très faible part dans I'affaiblissement'
peau
2o) Dans le modèle des hautes fréquences,I'effet de
à celui du gradient de températurepar le
combiné analytiquement
-conductivité
à son tour dépend de la variation de
fait que la
I'inductance
tempâature, permet de calculer la résistanceet
tineiques en fonction de la distance'
prend en
Ce modèle différe évidemment du précédent puisqu'il
* n 1 p , " l a d i s p e r s i o n s p a t i a l e d e I ' i n d u c t a n c e .L a d i s p e r s i o n
des
irequentiette dt la résistance et de I'inductance découlent
qui
fonôtions de Bessel t23l pour les conducteurscylindriques
paramètres
forment le câble coaxial. Ainsi, sont définis deux
La
distance'
primaires dependantchacun de la fréquenceet de la
de la
rért oO" des différencesfinies tient compte de ces fonctions
ainsi que des phasespour
distancepour le calcul des attenuations
différentes longueursde câble'
La méthode des différences finies ainsi appliquée nous a
permis de deteminer la températured'un défaut thermique localisé
ir long du câble coaxial en résolvantdes équationsde récurrence
cité'
pour les courantset tensionsdu modèle discret préalablement
En effet, une simple mesurede I'attenuationdu signal propagé
du
le long du câble coaxlal a permis de mesurer la température
accessible'
défaut thermique présent dans un milieu difficilement
sont en
Les résultatspréditi et ceux donnéspar une mesuredirecte
bonne cohérence.
Notons que pour des raisonsde précisionde mesure'le modèle
de
concerne les baïses fréquencesparce que le coefficient
fait de la
tempéraure en hautes fréquencesest plus faible du
variàtion inverse de l'effet de peau avec la conductivité l'121.
de
La variation de la tempéraureprédeterminéeà partir
pour
I'attenuation du signal est linéaire. Une propriété commode
l'étalonnagede la sonde de mesurede température.
Nousproposonsdoncunnouveautypedecapteursde
ondes
température utiiisant la mesure de l'affaiblissement des
de
é l e c t r o m a g n é t i q u e sc o m m e m é t h o d e d e m e s u r e i n d i r e c t e
i.rnfetu,uté; I'utilisation s'avère à la fois simple et économique'
-
Matériel et environnement informatique
44
citées
N o u s a v o n s u ti l i sé les deux méthodes pr éalablem ent
de la
et
I'attenuation
comme moyen de calcul et de comparaison de
gr adient linéaire
phase dans le cas d u câ b te coaxial plongé dans un
d e t e m P é ra tu re .
Le langagede programmationutilisé: Langage c de Microsoft
AIX, compatibleUNIX V'
sous environnement
Pour la modèlisationpar DifférencesFinies ainsi que pour les
simulationsPspice,le micro ordinateurutilisé est un IBM PS2 ayant
suivantes:
les caractéristiques
- Microprocesseur
80386.
- Fréquenced'horlogede 25 MHz,
- Mémoire vive 8 Méga Octets,
- Disquedur de 120 Méga Octets.
Le systèmed'exploitationutilisé est I'AIX'
Fin i es
P a r s a r e l a t i v e s i m p l i c i t é d ' a p p l i c a t i o n ,l a m é t h o d e d e s
différences finies offre une grande facilité de mise en équations
connaissantles conditionsinitiales ou les conditionsaux limites.
E n c e q u i c o n c e r n e l e c â b l e c o a x i a l , l a c o n n a i s s a n c ed e
I'impédanced; charge permet, par des équations de récurrences
tenant compte de l; variation de la résistanceselon un schéma
en
simple des différences finies, similaire aux schémas donnés
de la phase et de I'atténuationle
référence t24t 1251,la connaissance
long de la "ligne fictive" t26l équivalenteau câble'
ainsi
Comme on le verra, la méthodedes Différences-Finies
f
a
ible
d
e
appliquée, s'est avérée très rapide et surtout
immobilisation mémoire.
T é l é gr a P h i s t e s
Rappelons d'abord les équations de couplage cour ant- tensr on
équations dont découle l'équation des
pour une ligne quelconque,_
Nous avons alors:
7étégrapt'ristes.
(2e)
45
+ ç!YG'O
-èl(z't)= G.v(2,t1
(30)
ât
àz
représentéPar le
où les paramètresprimaires R, L, C et G sont
schéma ci-dessous:
Ldz
Rdz
z*dz
T
L'équation des télégraphistesd'une manière générale,Pour un
forme
milieu diélectrique h o m o g è n e e t isotrope, s'écrit de la
suivante:
a2v=+++
à22
(LG
+RC).#+RG.V
(31)
\2 at2
ou alors Pour le courant,
a}t=L4+GG
+nc)$ + RG.I
(32)
à22 u2 atZ
de
avec u le module de la vitesse de propagation
électromagnétique dans le m ilieu donnée Par :
u-1
^,1rc
I'onde
(33)
Dans le cas le plus général (i.e: toutes les pertes sont
dans le
considérées),la solution de l;équation (29), par exemple,
domaine temPorelleest donnéePar:
46
V(z,t) = e-æ.g(z-ut) + e+@'h(z+ut)
(34)
par les
o ù l e s fo n cti o n s g e t h sont entièrementdéterminées
conditions aux limites et la constantecr est donnéePar:
"=nf
(3s)
représentant ainsi I'attenuation de l'onde en Népers.
La résolution de l'équation des télégraphistesdans le domaine
phase
fréquentiel aboutit à la détermination de I'attenuation et de la
en ?onction de la fréquence et pour une longueur quelconque.
Il e st a i n si i n u ti l e de r entr er dans les détails en ce qui
es t
c o n c e rn e ce tte se cti o n d e r appel car le pr oblèm e pr incipal
la
beaucoup plus complexe. Nous développerons par la suite
(30).
méthode de résolution des équations du type (29) et
Le modèle des différencesfinies, d'une manière générale est
(30) avec'
basé sur la discretisationdes équationsdu type (29) et
pour paramètresvariablesen fonction de la distancez' la résistance
ir(r), qui, du fait de la variation (en bassesfréquences)de la
résistivité des conducteursinterne et externe du câble coaxial en
fonction de la températureà croissancelinéaire, varie elle aussi en
fonction de la distancelongitudinalez'
La méthode est donc basée sur le remplacementdes deux
équations (29) et (30) qui gouvernentla propagationdu courant et
d; la rension (équation de couplage électromanétique)par un
modèle discret, donc approximatifau câble réel équivalent'
Il existe plusieursschémasde discretisation;avant d'en choisir
plus
un parmi ceux-ci, il est commode d'en énumerer les
courammentutilisés 125i,1271,t281.
Ainsi, pour approcherune dérivée partielle du premier ordre,
par exemple,du tYPe:
R*,v)
dx
(36)
47
nous pouvonsutiliser trois approchesdifférentes:
(37)
St*,v)=W
ou
R*,v)
dx
f(x,y)-f(x-Âx,y)
Âx
(38)
ou alors,
=
${*,v)
dx
f(x+&,y)-f(x-l,y)
(3e)
Âx
Notons que la précisionde I'approximationdépend du type du
schéma utilisé. Ainsi, le schémade l'équation(39) présentele plus
. Le seul inconvénientqu'il pourrait présenterest le
de précision
t.rnir de calcul qui dépend,bien évidemment,du type de fonctions
à tàiter ainsi que le nombre d'opérationsà executert161.
L'incertitudepour les équations(37) et (38) est en O(^x) tandis
que I'incertitudepour (39) est en O(lx2;. On préféreradonc, en
génêral,I'expressionsymétrique(39).
Comme nous le verrons plus loin, la résolution concerne des
équations aux dérivées partielles du type (29) et (30)' et par
conséquentles rappels sur les schémasnumériquespour le premier
ordre Sont amplement suffisants.Il eSt évident, pour une étude
temporelle dés équations générales (31) et (32), qu'un
dévéloppementdes schémasnumériquesdes équations aux dérivées
partielles du second ordre s'imposerait.
Les équations(29) et (30) dans le cas de notre câble coaxial
plongé dans un gradient linéaire de températures'écrivent |l7l, en
se plaçantdans le cas du régime harmonique,de la forme:
dV(z) = -(R(z)+jL<o).I(z)
dz
dI(z) - -(G+jCco).V(z)
dz
(40)
(41)
48
du
ces équationstiennent compte de la conductivitétransverse
G
milieu diélectrique,paramètregénéralementnégligé' La constante
un
r r , p a r f o i s i n t e n t i o n n e l l e m e l t a u g m e n t é e ,e n c h o i s i s s a n t
à i e t " Ë t t i q u " l é g è r e m e n tc o n d u c t e u r ,p o u r d i m i n u e r l a d i a p h o n i e
1291,t301. Dans toute
entre conducteuisdes câbles multiconducteurs
l'étude que nous faisons, seules sont considéréesla résistance,
I'inductanceet la capacité,paramètresélectriquesdont dépendent
I'attenuationet la phaseque nous avons étudiées.
pour ce modèle des bassesfréquences,la fonction résistance
R(z) qui intervient dans l'équation (40), est celle représentéeen
figure la pour le modèledu câble réel qui sera, d'ailleurs,remplacée
par celle de la figure lb.
Nous avons choisi le schémade la forme (37) (semblableà
celui de (38)) car la résistanceR(z) a été discretisée,pour le modèle
PSpice, selon ce schémaqui représentemoins de temps de calcul
pout PSpice pour pouvoir comparer les temps de calcul des deux
t n e t n o O r i . N é a n m o i n s ,I ' u t i l i s a t i o n d u s c h é m a ( 3 9 ) o u d ' a u t r e s
schémasest égalementfaisable si les moyens de calcul étaient plus
performants.
La résistanceR(z) est la seule fonction, excéptéesV(z) et I(z),
existantdans (40) et (41). La droite qui régit sa croissanceest de la
f orme:
R(z)= A+B'z
(42)
pour le modèle discret des différences finies selon le schéma (37)' sa
v a l e u r ré cu rre n te e st:
R(n.Az)= A+B.n.Âz
(43)
où les constantesréellesA=Ramb et B=Ramb*aR*k comme elles sont
définies dans l'équation(2).
Les équations générales (29\ et (30) s'écrivent, pour un
schémade li forme (37) par exemple,de la forme suivante:
Vn+t -Vn = - Â2.(Rn+jl-ol)'In
In+t - In = - Az.(G+jCco)'Vn
(44)
(4s)
49
cour ants
o ù r e sp e cti ve me n t l e s te nsions discr etes Vn ainsi que les
discrets In sont exprimés par leurs relations de récurrences
s ui v a n t e s :
Vn = V(n.Âz)
(46)
et
(47)
In = I(n.Âz)
avec la variable discrete 0 < n < N-l (cf figure 2).
Les équations du modèle des différences finies ainsi obtenues
c o r r e sp o n d e n t a u x sch é mas des figur es 2 et 3. La conductanc e
G s e r a , d a n s t o u t e l ' é t u d e, n é g l i g é e p u i s q u ' e l l e
trunruirr"
n ' i n t e rvi e n t p re sq u e j a ma i s du fait de sa faible valeur et de s a
relative faible variation en fonction de la température t13l.La
r é s o l u ti o n d e s é q u a ti o n s ( 44) et ( 45) s' effectue en utilisant la
condition limite en bout de ligne (liant courant, tension et
a d m i t ta n ce d e ch a rg e ) car I' adm ittance de char ge est connue au
préalable par la relation:
c'=*
(48)
avec, pour les tensions Vp et courantsIN en bout de ligne, les
valeurs théoriquesdéduites de l'équation(a8):
IN = I(N.Az)
(49)
et
VN = V(N.^z)
(50)
Le gain complexeen tensionen fonction de la fréquencepeut
être écrit de la forme d'un produit de rapports de tensions:
VN = VN *I*r{,...CL
Vo
VN-t VN-z
(51)
Vo
pour que ces conditionssoient utilisables,il est convenablede
réecrire les équationsgénérales(44) et (45) en remplaçant n=N-l '
Par conséquent,nous obtiendronsle systèmed'équationssuivant:
VN -VN-r= - Â2.(RN-r+jLco).IN-r
62)
50
et
(s3)
IN - IN-r = - Lz.(G+jCco).VN-r
Le systèmed'équationsainsi obtenu se résoud en divisant (52)
et (53) pui Vp- 1, puis en substituantI'admittancede charge donnée
par la ielation (48). Nous obtenonsdonc le rapport des tensions
suivant:
VN - 1+LCctl2Â22-jRN-rC<oAz2
1+RN-rGyLz+jLaGrLz
VN-r
(s4)
Le calcul des rapportsde tensionsdonnéspar l'équation(51)
s'effectue par décrémentationde N dans l'équation (54)' puis
substitutiondans l'équationmère (51).
Cependant,nous écrivons respectivementpour le module et
I'argumentde (51) les équationssuivantes:
(ss)
g(dB) = 20Lo
ou encore sous forme de sommationfinie (Décibels):
N-1
--20>
s(dB)
(56)
i=0
N-(i+1
la phaseest donnée,d'aPrès(51), par la somm ation finie égalem en t:
N
= I
<D(radians)
qt
(s7)
i=l
où I'argumentdu terme généralde l'équation(57) est donné par:
9i= -Arcr*ttr.ni-rclarl.ni-
(58)
l+LCro2.nz2+R1-1G1Âz
Le déphasageest ainsi connu et sa valeur, expriméeen radian
(cf équation (58)), dépendde la longueurtotale du câble comme le
,nonttè égalementl'équation (57). Notons aussi que (58) exprime
5l
que le
u n e p h a se n é g a ti ve , ce qui cor r espond bien aux valeur s
ptogtâ*.e PSpice prédit (cf figure 7)'
Les équations qui régissent le modèle sont ainsi définies, nous
le
d o n n o n s l e J ré su l ta ts d e s calculs num ér iques ( cf annexes pour
p r o g r a mme d e ca l cu t) sous AIX en figur e 19 et 20 pour une
àistiibution linéaire de la température en fonction de la distance
longitudinale z.
N o to n s q u e l e s a br éviations faites en figures 19 et 20
d é c o u l e n t d e : MD F 'GT = M éthod e des Différences Finies avec
Gradient de TemPérature'
50
Ë
v40
.+
I500mMDF-GT
+
1000mMDF-GT
-+
5OOmMDF-GT
.- 30
cÉ
620
10
0
1o
100
Fréquence (kHz)
L=500. 1000 et 1500 m.
Figure 19: Atten.=f(Fréquence).
en BF avec Gradient de Température
52
-200
.t)
\q)
L
è0
c)
Q -+oo
q)
çt)
cÉ
E -600
+
50OmMDF-GT
#
1000m MDF-GT
#
1500m MDF-GT
Fréquence (kHz)
100
en BF avec Gradient de Température.
Les résultatsainsi obtenus,pour les attenuationset les phases,
sont relatifs à une variation linéaire de la résistanceen fonction de
la distance longitudinale.Nous avons aussi étudié le cas d'une
variation quadratiquede la résistanceen fonction de la distance,où
nous avons simplement ajouté un terme quadratiquecomme nous
I'avonsfait avec le modèlede simulationPSpice(cf Chapitre2).
N o to n s q u e d u p o int de vue for m ulation mathém atique, l a
résistance R(z)=a162+cz^2 pour le modèle continu ou " réel " sera
remplacée, pour le modèle discret des Différences Finies ainsi décrit,
par sa formule récurrente donnée par:
(n. Lr)z
Rn=R(n. Lz)-aa1o.n.Âz+c.
(se)
La variation linéaire de la résistance en fonction de la
température n'est que I'approximation au premier ordre du caS
quadratique, car, en gén&al, on considère une température assez
faible et un coefficient de proportionnalitéct constantpour pouvoir
approximer, pour des raisons de simplicité ou de commodité, la
vâriation quadratiquede la résistanceen fonction de la température
du milieu dans lequel les conducteurssont plongés.Les résultatsdes
calculs, pour ce cas précis, sont donnésen figure (21) et (22) pour
les attenuationset les phases.Nous donneronsplus ultérieurement
53
l e s t e mp s d e ca l cu l s a i n si que les r appor ts de tem ps d' executio n
relatifs à la méthode de simulation PSpice.
#
1500mMDF
4
l000mMDF
#t-
500 m MDF
x
tt
\/
60
o
Ë40
q)
ri20
€.
Fréquence (kHz)
2t:
=ï( lfeoUefl
R(z)=a+bz+cz^2. Gradient non Linéaire.
0
-100
-200
(t)
\O)
tr
-300
èo
(D
-
-400
q)
t)
cl -500
T
-600
.+
500mMDF
.+
1000mMDF
*
l500mMDF
-700
Fréquence (kHz)
R(z)=a+bz+cz^2.Gradientnon Linéaire
54
Nous constatons,à partir des résultatsdonnéspar les figures
(19), (21), une croissancebeaucoupplus rapide de I'attenuationen
fonction de la distance z dans le cas quadratiqueque dans le cas
linéaire ce qui s'expliquefort simplementpar I'ajout d'un terme
quadratiqueà la résistanceet qui, dans I'expressiongénéraledonnée
put l'équation (54), joue un rôle très important dans la variation de
cette attenuationen fonction du nombre de cellules N.
L'attenuation, dépendantdirectement de l'équation (54)'
présente une variation dans le numérateuret le dénominateurde
cette équation en carré de R(z), mais I'existencede la racine carté
remet les degrés des numérateurset dénominateurs à un ce qui
justifie bien I'influencedirecte de I'ajout du terme quadratiquedans
la résistanceR(z) sur les attenuations.
Néanmoins,les courbesde variation de la phase des figures
(20) et (21) montrent une parfaite conservationde la phase pour
une longueur donnée. Nous pouvons interpretercela par la non
influence de I'introduction d'un terme à la résistance R(z),
faiblement variable en fonction de z, dans I'expressiondu terme
généralde la phasedonné en équation(58). La justification de cette
interprétation se base sur le fait que le numérateurde l'équation
(58) présente une équation du second degré en R(z) et par
conséquentI'introductiondans R(z) un terme quadratiqueen z nous
amène à le négliger lors du produit de R(z) par elle-mêmece qui
implique une très faible influence sur le terme général (58) et par
récurrencesur tous les autres termes constituantle déphasagetotal
donné par (57).
Le calcul des paramètresprimairesR et L a êté développéau
chapitre 2 pour le câble coaxial en hautesfréquencesoù nous avons
établi les relations de récurrencesqui lient ces deux paramètres
primaires et la coordonnéelongitudinalediscreten.L,zIl e st a i n si u ti l e d e substituer , dans les équations génér al es
donnant le rapport des tensions (54) et le terme général de la phase
( 5 8 ) , l e s v a l e u r s , f o n c t i o n s d e n , de la r ésistance Rn et de
I'inductance Ln.
La substitution de ces valeurs récurrentesde Rn et Ln dans
respectivement(54) et (58) donne:
55
VN - 1+LN-rCco2Â22-jRN-rCtoÂ22
1+RN-rG1Âz+jLp-tcoGlAz
VN-r
(60)
et
(61)
9i= -Arctgf
I +Li-1Cco2.g2+Rit Gl-M
sont données par les expressions
où les valeurs de Rn et Ln
suivantes:
(62)
Rn={=iln+4
et
Ln= Lh = I-l + Ll + nz.I0.tnh
(63)
2na
Dans ces équations(62) et (63), la dispersionfréquentielleest
implicite puisqu'au préalable, il a étê démontré qu'en Plus de la
dispersion spaciale, le modèle des hautes fréquencestient comPte de
l a f r éq u e n ce co mme l e s fonctions de B e s s e l I ' i l l u s t r e n t P o u r
I'inductance et la résistance lineïques que nous écrivons, a
température ambiante, de la forme:
Blf =u tber(u).bei'(u)
R62.,
u).ber'(u)1
(64)
et
Lrr = 4.tber(u).ber'(u)+bei(u).bei'(u)'t
h-u
avec
3-
ber(u)=ftetJo(i?4ô
)l
et
(66)
(6s)
56
3
bei(u)=lmtJo(4q)l
o
(677
où a représentele rayon arbitraire d'un conducteur cYlindr ique
q u e l c o n q u e e t ô l ' é p a i s s e u rd e p e a u à u n e f r é q u e n c e ( h a u t e
fréquence) donnée.
La variable u est une grandeur sans dimension introduite Par
simple commodité et est donnéepar:
u=f
(68)
La résistance RO est la résistance de référence ou en courant
c o n t i nu e u su e l l e me n t d o n née Par :
Ro=-+
,TEA.6
(6e)
Ainsi les valeurs, à températureuniforme et ambiante,de ces
paramètresprimaires aux hautes fréquencessont tabulés [31]'[32]'
des fonctionsde Bessel et de leurs
Le développementassymptotique
dérivéesdônnéesen (64) et (65) nous mènent à considererquatre
principaux et surtout usuellement utilisables sous-domaines
iréquentiels où inductance et résistance lineique peuvent être,
parfïis pour des raisons de simplicité, approliméesde telle manière
à c e q u ' e l l e s o i e n t f a c i l e m e n t m a n i p u l a b l e sd a n s l e s c a l c u l s
intermediaires.Les quatre domainesfréquentielssont ésumé comme
suit:
F r é q u e n c e s B a s s e s ( w = u l 2 ' 1 24 )
RHF =
Rs
- 4w8
45
3
t +rd
(70)
et
Lsr-1_\l|1__13w8
Lo
270
(71)
- FréquencesMoYennes(w= u lflT>2)
Rttr=!+w+
Rs 4
3
64w
(7z',)
57
et
3
Lsr'= 1 -3
Low
64w3 l28wa
(73)
Fréquencesélevées(w= u I z'[1>zo)
RrF=l+*
(74)
R6
et
LHr= I
Ls
(7s)
Fréquences très élevées (w = u t 2'['>2 0 0)
Rrr-w
Ro
(76)
LHr= 1
(77)
et
Lo
Dans toute l'étude en hautes fréquencesque nous effectuons
est assez
[18], seul est considéréle dernier cas où la fréquence
du chapitre 2 soient valables.A
èlevée pour que les approximations
-la
résistancecroît en racine cartée de la
tempéraiure àmbiante,
f r é q u e n c e e t I ' i n d u c t a n c ed é c r o î t s u i v a n t u n e l o i i n v e r s e m e n t
proiortionnelle à cette même racine carrée comme le montrent les
équations(76) et (77).
Ainsi, le PrinciPede subdivisionest similaire à celui du modèle
de simulationPSPiceque nous avons égalementutilisé et détaillé au
chapitre 2.
It est ainsi très importantde soulignerque, du fait des hautes
fréquences introduites, la subdivision doit tenir compte de la
et par conséquentun
longueur d'ondes qui se trouve très diminuée'en
basses fréquences
noÀbrt de cellules beaucoup plus élevé' qu
pour une descriptiond'une même longueurde câble.
II est fort évident que pour le modèle des différences-finies,
est faible et plus le résultats'améliore'
plus le pas de discretisation
58
plus élevé'
Néanmoins,la précisionnécessiteun coût beaucoup
des paramètresque
Le temps de calcul tf tu mémoirevive utile sont
à optimiser voire à
nous avons, Iors de notre étude, cherchés
économiser.
En figures 23 et 24 sont représentées,pour différentes
que le modè}e
longueurs de- câble, les attenuationset les déphasages
purement
des différences-finiesdonne utilisant, pour des raisons
mêmes
les
comparatives avec le modèle de simulation PSpice,
(capacité
fonctions (résistanceet inductance),paramètresprimaires
en I'occurence),et constantes(impédancede charge).
-
gso
#
ISOOmMDFHF-GT
+
1@0mMDFI{F-GT
.+
SO0mMDFHF-GT
ct
b20
Fréquence (MHz)
59
-zoo
G
\C)
tr
è0
q)
H
-4oo
q)
(t)
c!
È
-Â^ô
4-
5OOM FDM HF-GT
#
1OO0mFDMHF-GT
#
l5O0mFDMrf-GT
Fréquence (MHz)
Les résultatsdes simulationsPSpiceet la méthodedes
pour mettre
Différences- Finies Sont alors regroupéset superposés,
en évidencela cohérencedes deux méthodes'
plus commode
Pour pouvoir comparerces deux modèles,il est
phases Sur un
de représenterles résultats des attenuationset des
la superposition
même repère pour des différenteslongueurs.Ainsi,
aux figures 25'
des résultas pour les bassesfréquencesnous mène
phases'
iO- 27 poui les attenuationset 28, 29 et 30 pour les
",
exactes'
Nous donnerons par la suite les valeurs numériques
entre
pour chaque fréquence,correspondantaux- différencesexistant
numérique des
les résultats aes simulationsPSpice et le modèle
précedemment,la
Différences Finies. comme noùr l'avons dit
dont les
difficulté de création en laboratoire d'un milieu
au gradient
caractéristiquesthermiques sont linéaire ou similaires
il nous est
de tempérâture existint dans la croûte terrestre,
que chaque modèle
impossible de connaître la précision absolue
les écarts et
upiort". Nous nous sommes contentés de comparer
surtout les temps de calcul pour chaqueméthode'
60
16
Êe 1 4
4
500 m PSPice-GT
4
5OOmMDF-GT
12
E
o
10
G'
c)
I
6
4
Fréquence (kHz)
avec Gradient de Température
40
#
1000m PSPice4T
4ts
1000m MDF-GT
ro
v30
É
o
cÉ
Ezo
100
Fréquence (kHz)
Gradient
Temoérature
6l
-
#
1500m PSPice-GT
-....ff
I500mMDF-GT
950
o
Ë40
q)
20
100
10
Fréquence (kHz)
.t)
\q)
b" -1oo
o)
E
(D
ct)
|tt
È
-200
x
*
50OmMDF-GT
+
500m PSPice-GT
-300
10
100
Fréquence (kHz)
62
0
-100
0
\€)
tr
ê0
c)
q)
o
cg
-200
-300
H
-400
4ts
1000mMDF
#
1000m PSPice
100
Fréquence (kHz)
0
-100
(t)
\c)
-200
L
è0
q)
-300
I
€) -400
tt)
cg
-500
t
-600
#
1500m MDF-GT
*
lSOOmPSPice-GT
-700
100
Fréquence (kHz)
Les résultats des s i m u l a t i o n sP S P i c e e t c e u x d u m o d è l e
cohérence
numérique sont, d'aPrèsles figures 25 et 26, en bonne
63
les |égèresdéviationsqui
d'une manière génétale.Il reste à discuter
dans le cas des
,*iri"n, pour i" déphasageet pour I'attenu.ation
Rappellonsque ces
relativementpetites iongueuts de câble coaxial'
sur toute la
différences .ori"rpond.it à des erreurs accumulées
quasidu câble et que ces différencessont moindres ou
i;;;";t
négligeablespour I'unité de longueur'
(Tableau I )
N o u s d o n n o n s to u t d'abord,au tableauci-dessous
et de déphasage
les rapPorts des temPS de calcul d'attenuation
porté dans un même
simultanément; cela veut dire que nous avons
où nous avons
programme le calcul de I'attenuationet du déphasage
une instruction
é c r i t , p o u r l e mo d è l e des différences finies,
que nous
comptabilisant le temPS total d'executiondu programme
de sortie
avons comParé avec celui donné dans le fichier
BASSES.OUT.
LongueurTotal(m)
t(PSpice)/t(MDF)
loi de
Remarquonsen Tableau I la non linéarité de la
le Phénomène
croissancedes rapPortsdes temps de calcul qui régit
régulier de
de propagationde l'onde Pour un incrémentde longueur
500 m.
Ainsi, l'écart relatif entre 500 et 1000 m est plus significatif
ce qui
que celui correspondantà lu transition 1000 à 1500 m;
et de la
slexplique par la non linéarité des équationsde l'attenuation
que le nombre
ptrase en fonction de la longueur L total ainsi
et que le
d'opération mathématique que le programme demande
des temps
coÂpitateur C et le simulateurPSpice gèrent.Le rapport
64
pour des longueursplus
de calcul est, néanmoins,toujours croissant
grandes.
interne,
Le programmePSpice,dans sa structurealgorithmlql"ou matricielles très
gère lt man'ipute des équations algébriques
et tensions dans un
Sornpr"*rs -[8] où il calcul tous les courants
Circuit en I'occurencequand il s'agit de connaître
[""ii""tue
d'entrée ou de
l'attenuation,la phase ou les différentesimpédances
séparèment)'
sortie (il traite iarties réelles et parties imaginaires
point pour
Le programme en C que nous avons mis au
n" tient compte que des rapports de
modéliser cette propagation
guère les courants'
tensions seuleme^nt;ii ne calcul et ne traite
au
- éliminés
puisque d'emblée, ceux-ci ont été mathématiquement
par
rapport
preatàUteet par conséquentun temps de calcul optimisé
de propagation
au programme PSpice utilisé dans ce nouveau type
des ondes électromagnétiques'
les
It est certes difficile voire quasi-impossiblede connaître
avec la
impédancesd'entrée et de sortie en fonction de la fréquence
par contre,
méthode des différences-finies.Le programme PSpice,
n'est pas le but
l,effectue sans aucune difficulté particulière;mais tel
en vue de
principal de cette étude des atienuationset des phases
ses limites
spécifier le câble coaxial RG58U et d'en énumerer
que profondeur
d'utilisation d'un point de vue tant fréquentiel
maximale à laquelle il pourrait être immérgé'
Dupointdevuequantitatif,nousavonsnoté,pourles
attenuations
différentes fréquenceS,les écarts entre les valeurs des
reportés aux
et des phasespour les deux modèlesque nous avons
longueur de
tableaux z et i. Ces valeurs sont donnèespour chaque
câbte coaxial étudié.
65
Fréquence
(kHz)
^A(dB)
L=500m
^A(dB)
l;1000 nt
^A(dB)
L=1500m
10
0.403
0.245
0.080
20
0.411
0.253
0.088
30
0.4r7
0.259
0.094
40
0.424
0.266
0.101
50
0.43r
0.27r
0.107
60
0.439
0.279
0.115
70
0.447
0.287
0.r23
80
0.452
0.292
0.128
90
0.458
0.298
0.134
100
0.468
0.308
O.TM
Fréquence.
66
LAIA(Vo)
L=I5@ m
tÀlA(Vo)
L=500m
LAIA(Vo)
I;1000 m
10
6.83
1.60
0.285
20
6.66
1.59
0.304
30
6.27
1.54
0.309
40
5.79
t.47
0.3r2
50
5.27
1.36
0.306
60
4.75
r.27
0.301
70
4.27
t.r7
0.294
80
3.79
r.07
0.277
90
3.40
0.97
0.263
100
3.0s
0.90
Fréquence
(kHz)
0.255
Tableau3 : Ecarts Relatifs  A/A (a ) pour Différentes
Longueursde CâbleCoaxial.Modèle BassesFréquences'
67
Fréquence
(kHz)
^o f)
L=500m
AO C)
m
L=1000
^o c)
L=1500nr
r0
2.912
1.850
0.93s
20
3.112
2.050
r.135
30
3.3r2
2.250
1.335
40
3.5r2
2.450
1.535
s0
3.712
2.650
r.735
60
39r2
2.850
r.935
70
4.r12
3.050
2.035
80
4.5r2
3.450
2.435
90
4.9t2
3.850
2.835
100
5.3r2
4.250
Tableau4'Différencesdes Phasespour les Deux
Modèl", à Différrnt.r Lon*ututt tn Fonttiondt lu
Fréquence.
3.235
68
attenuations,entre les
Les variations des écarts, pour les
finies sont quasis i m u l a t i o n s e t l a m é t h o d e d e s d i f f é r e n c e sà noter aussi' d'après
Il est
régulièrescomme le montre le tableau2.
écarts sont inversement
i " i - r i g u r " , 2 5 , 2 6 e t 2 7, q u e t : !
total du câble étudié' Ainsi, la figure 25
;;;p"fi;nnets à ta longueur
prévue, puisque
présente le plus d'ècart, chose normalement
plus les approximations
d,emblée,plus la longueur est faible et
en fonction de la
préalablementutilisées concernantle choix de Lz
du modèle comme il
iréquence deviennent moins représentatives
de plus en plus
est réellement défini. Les tnoàèl.t deviennent
rapprochésdés que la longueur augmente'
subdiviser la
Nous aurions PU, pour améliorer les résultats,
m au lieu de sa
totalité du câble poui le cas L=500 m avec L,z=0.5
précisionnécessiteun
valeur préalablementutilisée Lz-l m; mais la
plus grands'
temps a" calcul et une mémoirevive beaucoup
les différences
Les tableaux2 et 3 montrentque les écarts ou
et dépendent
des valeurs numériquescroient uuè. la fréquence
même valeur de Lz '
évidemmentde la longueur du câble pour une
probablementdûe
Cette croissanceen fonction de la fréquenceest
la loi qui le lie à la
au choix de l'incrément Lz qui, du fait de
câble et de la logueur
fréquence,doit tenir compte de la longueurdu
d'ondes.
( m oyenne
Ainsi le tableau 2 pr ésente des écar ts m oyens
arithmétique)de:
- ÂA = 0.4350dB
- ÂA = 0.2758dB
- Â A = 0 . 1 1 1 4d B
Le tableau 4
arithmétique)de:
- Âô = 3.4408o
- Âô = 2.8710o
- Â ô = 1 . 9 1 5 0o
pour
pour
pour
L=500 m;
L=1000m;
L = 1 5 0 0m .
présente des écarts moyens (moYenne
po u r
po u r
pour
L=500m;
L=1000m;
L = 1 5 0 0m .
des deux
Le tableau I montre les temps de calculs relatifs
la méthode des
méthodes illustrant ainsi le net auàntagt d'utiliser
de la phase'
différencesfinies poul le calcul de I'attenuationet
69
la non-linéaritéde la loi de croissance
Ainsi, remarquons-nous
des -incrémentsréguliers de
des ,uppori, des i.tp. de calcul pour
bien évidemmentdes
500 m de la iongurut totale. Ceia dépend
et en qualité (i'e: type
opàru,ionsalgébriqies de calc.ulen quantité
extraction des
àlpàtutions à executer, additions, multiplication,
racines carrées,etc...).
donnons en
Pour la méthode des différences finies, nous
instructions pour le
annexes le fichier texte contenant toutes les
des attenuationset
calcul, tenant compte du modèle discret du câble,
des phases aux différentesbassesfréquencesétudiées.
la résistance
Concernantle cas de la variation quadratiquede
car le cas du
en fonction de la températureest d'un interêt moindre
par conséquent
gradient linéaire est l; plus réellementrencontré,et
Les résultats
nous ne nous interesseronspas à son étude détaillé.
finies sont en
des simulationset de la méthode des différences
gradient linéaire du
bonne cohérence.Nous axerons l'étude sur le
pour des
fait de son importance et son utilisation pratique
éventuellesétudes sismique ou autres'
Examinonsà présentle cas des hautesfréquences,attenuations
500,1000 et
e t d é p h a s a g e sp, o u t l e s d i f f é r e n t e sl o n g u e u r sd e
1500m.
il est
De la même manière concernantles bassesfréquences,
câble, les
plus clair de représenter,pour chaque longueur de
àttenuationset phases séparément'
différences
Les résultatsdes simulationset de la méthodedes
et en
finies sont donnésen figures 31, 32, 33 pour les attenuations
figures 34, 35, 36 Pour les Phases'
70
24
22
4r-
500m MDFHF-GT
I
500m PSPiceHF-GT
E
20
o
18
c!
É
€)
16
14
12
10
Fréquence (MHz)
7l
4I_l00OmMDFur.GT
Êa 30
€
#
lOO0mPSPiceHF-GT
28
o
Ë26
0ê.)24
22
Fréquence (dB)
34
-
#
I5O0mMDFIf-GT
-+
1500m PSPiceHF-GT
!
32
o
530
ct
g2s
Fréquence (MHz)
72
tt)
\q)
F
o'roo
e)
q)
(t)
g -2oo
T
4
500m PSPiceIIF-GT
#
50OmFDMHF-GT
Fréquence (MHz)
0
tt)
\q)
tr
-100
è0
ê)
-200
q)
tâ
ctt
-300
Êr
-400 +
-#
1000m PSPiceHr-GT
IO0OmFDMHF-GT
10
Fréquence(MHz)
73
.3
-2oo
L
èD
.l
-
€oo
-400
€)
tt
cg
-500
É
È
-+r-
1500m PSpiceHF-GT
4
1500mFDMgf-GT
Fréquence (MHz)
L= 1500 m' en HF
Figure 36: Phase=f(Fréquence)'
L'étudecomparativedanscettegammedefréquences
calcul' Ainsi, nous
concernentégalementles rapports des temps de
compte du temps
illustrant ces ,upport, au tuùÈuo 5 où il est tenu
et phase)'
(
total de calcul iôu, un. longueurdonnée Attenuation
LongueurTotal (m)
t(PSpice)/t(MDF)
Deux MéthodespourDifférentesLongueursde
74
au modèle des
Ces écarts sont plus significatifs par rapport
des o p é r a t i o n s d e c a l c u l s
basses fréquences; PSpice effectue
( cf tableau 5) que la
algébriquesplus complexeset plus longues
méthodè des différencesfinies'
R(Z) et L(Z)
Notons égalementque I'introductiondes fonction
opérations'
dans le progru-ro" PSpice, tui fait effectuer d'énormes finies' par
En revanche,pour le modèle numériquedes différences
qui se traduit tout
une bonne écriture du programmede calcul
nous avons pu
simplementpar I'optimisationde I'algorithmesource'
font consommerdu
diminuer les appets de fonctions complexesqui
pour PSpice est
temps et surtoui de la mémoire vive. La situation
toutes les
incontournable;il est indispensablede définir et déclarer
fonctions.
lors des
Il est aussi très important de rappeler que PSpice,
tensionsdans les
simulations,calcule tous les courantset toutes les
nécessitealors un
différents noeudsdu circuits, et par conséquent,il
du tableau 5
temps relativement long; comme les résultats
I'illustrent et quantitativementle confirment.
les deux
Les résultats des attenuationset des phases poul
donnons les
modèles en hautes fréquencessont ainsi connues'Nous
entre les deux
écarts, en fonction d; la fréquence,des résultats
et 8 pour'
méthodes; résultats illustrés aux tableaux 6, 7,
et les
respectivementet pour différenteslongueurs,les attenuations
phases.
75
Fréquence
(MHz)
^A (dB)
L=500m
AA (dB)
L=1000m
^A (dB)
L=1500m
I
0.294
0.182
0.087
2
0.304
0.r92
0.097
3
0.3r4
0.202
0.107
4
0.323
0.2rr
0.rl6
5
0.333
0.22r
o.126
6
0.345
0.233
0.138
7
0.3s2
0.240
0.r45
8
0.3s9
0.247
0.r52
9
0.365
0.2s3
0.158
10
0.370
0.258
0.163
76
Fréquence
(MHz)
MA(q")
L=500m
LelNq")
b1000 m
Laleigo\
L=I500m
1
2.69
0.963
0.349
2
2.72
1.000
0.38s
3
2.69
r.020
0.4r7
4
2.62
1.038
0.440
5
2.52
1.043
0.463
6
2.42
1.048
0.488
7
2.27
r.022
0.492
8
2.12
0.991
0.49r
9
1,.96
09s3
0.517
10
r.73
0.879
0.461
Tableau7: EcartsRelatifs A/A (7o) pour Différentes
ion*ueuts de Câble. Modèle des Hautes Fréquentes.
77
Fréquence
(MHz)
Âo(')
I;500 m
aQ (")
L=1000m
Âo(")
L=1500m
I
r.852
0.824
0.511
2
2.252
r.024
0.611
3
2.652
1.224
0.711
4
2.952
1.424
0.811
0.911
5
3.352
1.624
6
3.752
2.024
7
4.052
2.224
1.111
8
4.452
2.424
t.2ll
9
4.852
2.624
1 . 3 1I
10
5.r52
2.824
1.011
t.4tr
78
dans ce cas
Les valeurs moyennes( moyenne arithmétique)
même principe dans le
des hautesfréquencessont calculéei selon le
d'estimer les écarts
caS des bassesfréquences.Cela nous permettra
donner une interprétationphysique à ces
-Ày.n, et éventueliement
avec la longueur
valéurs qui, nous le verrons plus loin, décroîent
totale du câble.
(moyenne
Ainsi le tableau 6 présente des écarts moyens
arithmétique) de:
- ^A = 0.3359dB
- ^A = 0.2239dB
- ^ A = 0 . 1 2 8 9d B
Le tableau
arithmétique) de:
- Âô = 3.532"
- Â(b= 1.824"
- Â(D= 0.961 o
pour
pour
pour
pour
pour
pour
L=500 m;
L=1000m;
L = 1 5 0 0m .
présente des écarts moyens (moYenne
L=500 m;
L=1000 m;
L = 1 5 0 0m .
avec
Remarquonsaussi,pour ce cas, que les écartsdiminuenf
Il est fort évident que
la longueur totale (phaseset attenuations).
des pas de
plus l; fréquences-élèueet plus on aura -. utiliser
deux modèles
subdivision beaucoup plus p.iitt pour rendre les
approximatifs suffisamment représentatifs'
Comme nous utilisons une gamme de fréquencerelativement
- 100 kHzl dans laquelle
rrès élevéepar rapport à la bande tto t H"
a été en
nous avons testé l; cohérencedes résultats,la subdivision
pour que soient
conséquenceétablie dans I'echelle centimétrique
finies
valables les appro*imationsdu modèle discret des différences
de problème
et du modèle àr simulation PSpice adaptéà ce type
inhérent à la transmissionpar câble coaxial'
cm pour
Nous avons choisi un pas de discrétisationaz=10
utilisées' Ceci
l'ensembledes trois longueursde câble préalablement
de calcul et la
était donc pour augmeiter la précisionf le -temps
fait de la
mémoire vive, par contre, s'avèreront altérés du
introduisantdes fonctionsR(Z) et L(Z) qui,
complexitédes'op'érations
la gamme de
a priori, ne ,ont pu, forcémentlinéaires,et surtoutde
nécessiteune
iréqurn., diminuani la longueur d'ondeset de ce fait
plus hautes
subdivision la plus affinée que possible. Pour de
puisque la
iiéqorn.rr, il 6t plus utile d;utiliier le système VMS
79
de
gestion de la mémoire v i v e e s t p l u s adaptée quand le nombre
cellules augmente; nous nous trouvolls ainsi lim ité en fr équences.
Il est important de pouvoir modéliserla propagationdes ondes
plongé dans
le long d'un câble multi-conducteur
électromagnétiques
un gradient linéaire de température,vu la nécessitéet I'importance
d'exéiter les circuits électriquesconstituant les capteurs de divers
types (ultrasons,rayons X, rayons T, etc"') afin de pouvoir
caractériseret étudier le sol terrestre.
Ainsi, I'approchethéorique,dans ceS conditions,s'avère encore
d e p l u s e n p i u s c o m p l e x e , i n t r o d u i s a n td e s c a l c u l s m a t r i c i e l s
fastidieux, car, chaquebrin conducteurreprésenteun " mode propre
de propagation"; ei, plus on ajoute des brins conducteurset plus la
matrice de l'équation aux vecteurs propres augmente' avec'
naturellemnt, dei dérivées premières par rapport à la variable
longitudinale de la résistanceainsi que les couplagescapacitifs et
mafnétiques.Analytiquementparlant, la résolution du problème fait
certainementappel à des calculs très complexes'
Néanmoins,nous donnons I'idée général de traitementde ce
cas complexe en partant tout d'abord de la modélisation à
températureambiante et en Se basant Sur les travaux antérieurs
inhérents à la transmissionpar câble multi-conducteur.
L'étude effectuéepar J.R.WAIT t331,t341,concerneun calcul
approximatif, après plusieurs calculs analytiquesrigoureux, de la
.à-porunt" axiâle du champ électriqueproduit par un brin isolé et
localisé comme I'indiquela figure 37.
L'auteur utilise une hypothèsetrès simplificative dans laquelle
il supposeque la conductivitéde I'armureest infinie, hypothèsequi,
d'aillèurs, simplifie les calculs et mène à un formalisme fort simple
de la composanteaxiale du champ électrique.Celle-ci permettrapar
la suite, en appliquant les conditions aux limites de la surface du
diélectrique conitituant le brin conducteur(cf figure 37), d'établir la
forme analytique de l'atténuationen fonction de la fréquence'
80
Propagation
m(Ô-Ôo)l
- i,>.ê-n'#rl'
r,*'ffil t'(vp)I'(vp)cos
=-;jffi--,"JKo(vr)
E,(p,0,2)
2do+jeco)
avec
êo=lÊr = 2 Pourm=1,2,3"'
(78)
8l
"--r[æ
,t<
T = {ittoco(o+Jeo)
,=@
géométiques'
après de multiples simplifications(considérations
quasi-statiquese
, tc...),
gamme de fréquence pour les modes
Ï.n.wntr aboutit au résultat suivant:
E,(p,Q,z)=uîff{^+"]Qs)
où les fonctions À et Q sont définiesPar:
n=h(al-r<P.l (80)
et
Ç)=
,j*uL
( 81)
avec
p"=#
et
(o-Ôo)
r" = {pt+P2-2PP.cos
Ilestàprésentclairquel'équation(81)Sesimplifie,e[
la forme:
supposantque le module de |e'a est infini' sous
* t,Ë,(Ë[."'m(o-<Do)]
o=
fitr
(82)
étudié le cas
qui est aisèmentcalculableet exploitable.Nous avons
mais finie' Le calcul
où la conductivitéde I'armure tti très grande
fait appel à un calcul
est déveloPPéen référencet35l où nous âvions
variable complexe'
symbolique rigoureux basé sur la théorie de la
82
I l e s t b i e n é v i d e n t g U g , p o u r u n e r é p a r t i t i o m u l t i - Nous ferons
encoreplus complexe'
conducteurs, fe- froblème devient
généraliséeaux valeurs propres
aDDelà la résolution de l'équation
dànnée en référence l29l'
la notion de
Notons que, pour introduire quantitativement
de I'ensembleimporte
brins multi-conducteurs,le mode d'excitation
de la distribution des champs
beaucoupquant à la connaissance
m a g n é t i q u e s e t é l e c t r i q u e s p r o d u i t s p a r l a s u p e r p o s i tci oonnddeuscftiel su r s '
du nombre de
c o n d u c t e u r s .A i n s i , l a c o n n a i s s a n c e
géométrique
g é n é r a l e m e n tà i s p o s é s s u i v a n t u n e c o n f i g u r a t i o n le schéma
d'établir
symétrique et du mode d'excitation, permet
à une seule'
équivalent de l'ensemblede ligne multi-conducteurs
générale'
simple et uniqueligne R, L, C, G de manière
et mettre en
ce schéma équivalent permet de modéliser
le long de
équations la propagàtion de i'onde électromagnétique
l'Ënsemblede la structureen question'
Lepassagedelalignemulti-brinsàSonéquivalentenmonoen tenant compte de tous _les types de -couplages
s,effectue
brin
par couplages,les
entre conducteurs(diaphonie).Nous entendons
brin'
couplagesinductifs et capacitifsentre chaque
aux couPlages,
A tous ces ProblèmescomPlexesspécifiques
dans lequel
vient se superposerle gradient linéaire de température
la totalité de la structureest plongée'
équivalent est
Le problème Se résout, une fois que le modèle
(i'e: PSpice ou la
établi, par les mêmes proceduresqu'auparavant
MDF).
Dansl,hypothèseducâblecoaxialplongédansunmilieu
o ùla
la
de
fonction
en
linéairement
et
températurevarie progressivement
de transmission peut
distance longitudinuttl la théorie des lignes
mais moyennant
fournir, qorlqu" soit le domaine fréquentiel
sur la loi linèaire de variation de la
certaines approximations
'1",
équations de base qui régissent la propagation'
ir,,,perr,ur",
pioblème nous a' semblé
Néanmoins,la résolution mathématiquédu
donné de
très fastidieuse;un calcul approchéiimple, numérique,
de simulation'
bons résultatsen comparairon-uut.le modèle
83
E n é t u d i a n t , d a n s u n p r e m i e r t e m p s ' l a p r o p a g a t i o n - d coaxial'
esondes
ou du mode TEM
fréquences
bassei
en
électromagnétiques
en imposant à la
nous avons rappelé l'équation Oés télégraphistes distance'linéaire'
de la
résistanceune fôi de c.ôirsun.e,en fonètion
de distribution nonNous avons aussi étudié un cas particulier
la distance' laquelle
linéaire de la température en fonction de
du premier ordre,
distribution, aprèJ une approximation
correspondraau cas linéaire'
seulement'des
une étude, dans le cas du gradient linéaire
pellicula-ire -puisse'
hautes fréquences telles que .l'effet
étê effectuée pour
analytiquement,être indroduit a également
pour les basses
déterminer attenuations et phases comme
fréquences.
Bessel dont
A I'aide des approximationsdes fonctions de
et I'inductancelineiques,nous avons calculé
dépendentla résistancèpour le. cas du
les nouveauxparamètres,usuellementdits répartis,
moyennant des approximations
!àOi"nr linéaire de température, forme et de la structure
ippropriées tenant compte de la
et de sa section droite en I'occurence
!'eà."triqur du câble .oaiiul
Iinsi quj du domaine fréquentielétudié'
appliqué'
Dans les deux domaines fréquentiels,nous avons
tiques
p o u r m o d è l i s e r l a p r o p a g a t i o n â . s o n d e s é l e c t r o m a g n énous
que
méthode
continues, la méthode dès différencesfinies,
qui est celui du
particulier
avons développéeet adaptéeà ce cas
température, et un
câble coaxial' plongé dàns un gradient de
" le câble réel
progrurrn. PSpice permellantdonc de " remplacer
tenant compte de
par une série ïe quadripôlesen cascades,chacun
la disPersionsPaciale.
ainsi que
L'avantage de calculer directementles attenuations
temps de calcul'
l e s p h a s e s , r é d u i t c o n s i d é r a b l e m e n tl e
pu prendre comme
contrairement à ce que le programme aurait
courantset tensions
temps de calcul si I'on avait ïetérmine tous les
du modèle des
utilisant les équations récurrentesqui découlent
gain en mémoire fort
différences finies; cela a été aussl un
important.
une bonne
Les résultats ont montré, de manière globale,
par le programme
cohérenceentre valeur calculée et valeur simulée
que nous avons étudiés'
PSpice pour les deux domainesfréquentiels
84
plus
La méthode des différencesfinies ainsi appliquées'avère
économiqueque ce
rapide, vue les résultats,et par conséquentplus
,oit .n bassesou en hautesfréquences'
Il faut égalementsouligner,vu les résultatsdonnés pour une
loi parabotiqu" d" croissancede la températureen fonction de la
demeure tout a fait
distince, qu;
'à la méthode est aussi valable et
applicabie condition que les fonctions introduites(ex: polynomiale,
etc...) ne présententpas de points singuliers pour
nï-ogtaphique,
^
que
lesquJls tes équations récurrentesdu modèle numérique ainsi
celui de la simulationdivergent'
Il est égalementfort utile de noter que ces deux modèles' vu
les équations de propagationqui le régissent,pourrait aussi se
généraliserpour d'autrestype de ligne'
Ainsi, les lignes microrubanspar exemplepeuvent faire l'objet
d,une étude similaire à celle qui a été effectué à présent pour les
caracteriser dans le gradient de température. Les paramètres
réparties de la ligne microruban, à températureambiante, sont
totalement connus. Il ne restera plus qu'à faire des approximations
analoguesà celles du câble coaxial déjà étudié mais tenant compte
de la différente géometrie de la ligne par rapport au câble coaxial
(notamment la iection droite des conducteurs qui n'est plus
circulaire ou en couronnecirculaire comme pour le câble coaxial).
D ' a u t r e s t y -p e s d e l i g n e s p e u v e n t t r o u v e r d e p a r e i l s
applications;maii les seules paramètresqui doivent être pris en
cônsidérationsont la mémoire vive et surtout le temps de calcul s'il
pour les
s'agit d'utiliser des pas de subdivisionde plus en plus fins,
trèi hautes fréquences(guides d'ondes,lignes microrubans,etc...),
par exemPle.
Certaines applicationspeuvent faire appel à une transmission
nécessitentune étude théorique très
par câble multi-Conducteurs
pareils milieux à gradient de
iourrer de la diaphonie dans de
à
iempérature linéaire ou autres. D'autres type d'équations sont
qui
se
en I'occurence
.onlid.rrr, le couplage électromagnétique
de
traduit par I'introduction,dans les équations des télégraphistes'
de mutuelle inductance et de
fonctions et termes supplémentaires
la
couplages capacitifs eniie les différents conducteursconstituant
lignè Oe transmissionde manière globale'
Ainsi, d'autres nouvelles considérationssont à tenir compte
plus
notamment la complexité du passagedu modèle réel, encore
(matrices'
compliqué et néceisitantun calcul analytique vectoriel
85
d i a g o n a l i s a t i o ne, t c . . . ) t r è s f a s t i d i e u x , â u m o d è l e n u m é r i q u e o u
disJret. Pour PSpice, il conviendraitde remplacerla ligne multiconducteurspar un modèle d'équivalenced'une seule ligne dont les
"paramètresprimaires" ne seraient autres qu'une combinaison des
paramètresde chaquecâbte de la ligne pris séparèment.
La méthode des différencesfinies demeure valable dans ce cas
cOmmenous l'avons mentiOnnéau
préciS; Seulesles "Singularités",
préalable,sont à éviter.
86
Chapitre 3
ApPlication de la Méthode des
Différe-nces Finies à la Détection dtune
Irrégularité Thermique le long dtun
Câble Coaxial
Introd uction
eSt
De toutes les grandeurs physiques, la température
plus fréquente car
certainementI'une de ..il"t dont la mesureest la
la matière, que
elle détermine des variations sur des propriétésde
gaz pa1 exemple)'
ce soit de façon continue(pressionou volume d'un
de phase ou points de Curie
ou de façon discontinue(ôhangements
magnétiquesou ferroélectriques)[36]'
cependant affecter une valeur numérique à une température
grandeurs
pose un problème de fond. En effet, la plupart des
à
physiques peuvent être numériquementdéfinies par leur rapport
grandeurs
irné grandeur de même nature prise poll référence.Ces
aisé' du moins
sont dites extensivescar à partir de la référenceil est
de définir des multiples ou des sous-multiples'
conceptuellement,
grandeurdite
Cela n'est pas l; cas pour la températurequi est une
pas, a priori' de
intensive: multiplier ou dioit.t un. températuren'a
signification physique évidente'
et de
Du nombre important de propriétés de la matière
une
phénomènes physiquËs sensibles à la température résulte
grande diversité de méthodesde mesure:
du
- méthodes optiques basées sur la répartition
_ spectrale
l'effet
par
rayonnementémis ou i'élargissementde raies spectrales
Dôppler dû à I'agitationthermiquet37l;
- méthodesmécaniquesfondées sur la dilatation d'un solide'
la pression d'une
d'un liquide ou d'un gaz à pressionconstante'Sur
vapeur saturanteou sur la cêl&itê du son [38J' t39];
- méthode électrique reposant sur la variation thermique t40l
fond, ou sur la
de la valeur de la résistanceou de son bruit de
d'un quartz,
sensibilité thermique t41l de la fréquenced'oscillation
etc...
87
L e s m é t h o d e s o p t i q u e s o u a c o u s t i q u e sq u i s ' a p p u i e n t s u r
I'observationextérieured'une propriété du milieu dont on mesure
la température n'apportent à celle-ci aucune perturbatioll; leur
domained'emploiest cependantlimité et leur mise en oeuvre d'une
certaine complexité;les méthodesélectriquespar contre,sontd'une
grande généralité,d'une mise en oeuvre relativement simple mais
I'interaction réciproque du capteur et du milieu environnant pose
souvent, lorsque la mesure doit être précise, un délicat problème
d'évaluationet de minimisationde l'écart entre la températureà
mesureret celle effectivementmesuréequi est celle du capteur.
Il existe différents types de capteurs de température;chacun
utilise un principe physiquedonné liant la températureà mesurer
avec précision et la grandeur physique qui, directement ou
indirectement,dépend de cette température.
Ainsi, la grandeurphysique peut être une résistancequi, par
Sa mesure, nous donne un ordre de grandeur Sur la température.
Dans ce cas, on fait généralementusage de thermistancesdont le
principe physique liant résistanceet températurepeut être résumé
par une équationde la forme: R = A*exp(B/T) où A et B sont des
constanteset T la températureen degrés Kelvin l42lt43). Pour que
cette loi soit directementet facilement exploitable, on S'arrangeà
linéariser R(T) car la fonction exp(B/T) est hautementnon linéaire
pour les relativementbassestempératures.
La grandeurphysiquepeut être égalementun signal optique
transmis ou réfléchi d'une fibre optique véhiculantle signal à la
paraffine par exemple [44),145],[46] méthode de mesure dont le
principe physique utilisé est la grande variation du coefficient de
diffusion optique de la lumière par un matériau lorsque celui-ci
change de phase.La grandeurphysiquepeut être tout simplement
un courant ou une tension électriqueutilisant un montage approprié
et adéquat pour " extraire " la température.
Nous étudions dans ce chapitre une méthode de mesure
précise et reproductible de température d'un domaine restreint
appartenantà un milieu où la températureest supposéeconstante.
Nous savonsd'ores et déjà que lorsqu'uneligne homogènen'est
pas terminée sur son impédancecaractéristique,des réflexions se
produisent à I'extremité.
Des réflexions se produisentégalementchaquefois qu'il existe
en ligne des défauts d'uniformité tels que variation de la capacité
lineiQue, défaut d'isolement,changementlocal de I'inductanceet la
88
résistancelineïques.Le défaut se traduit en effet par le fait qu'au
point A de changementde caractéristique(cf figure 38), I'impédance
Z, vue vers la droite d u point A, n' est plus égale à I' impédance
caractéristique Uzl de l a section de câble située à gauche de ce
point.
Al
d'Onde
Propagation
Le paramètre primaire que nous avons jugé utile de
"perturber" est la résistancelineïque, car celle-ci est linéairement
liée à la températuredu défaut thermique(cf équation(1)).
Plusieurs études antérieures[47], [48], t49l se sont penchées
sur le problème de la détection, la localisationet le calcul de
l'impédanceramenéedu défaut; mais nulle étude ne s'est intéressée
à une tetle mesure de température utilisant les propriétés
électriquesintrinsèquesdes lignes de transmission.
La méthodede mesureque nous avons développéese base sur
I'application de la méthode des différences finies préalablement
appliquée au câble coaxial en considérantconstantela température
le long de tout le câble excepté pour une faible portion d'une
longueur déterminée.
Pour ne pas rentrer dans les considérationscomplexes de
I'effet pelliculaire, nous avons exploité simplement le domaine
restreint des bassesfréquences.
Par une mesure directe de I'attenuationou du gain, entre
a u t r e s , n o u s c a l c u l o n s , u t i l i s a n t l e s é q u a t i o n s. r é c u r r e n t e sd e s
89
rapports des tensions le long du câble, le module de la fonction de
f f a n s f e rt d u q u a d ri p ô l e r epr ésentant le défaut ther mique ou d e
manière générale I'irrégularité.
Notons qu'au préalable, la distance du défaut au générateur
ainsi que son extensionsont connues.La résistanceest supposée
constantelocalementet sa variation généralele long de la ligne est
illustrée en figure 38 où elle varie suivant une fonction en échelon
et dont la valeur maximaleest 4 priori inconnue.
Le but est donc de determinersa valeur; valeur à partir de
laquelle, de manière indirecte, nous accédonsà la température.La
méthode de mesure ainsi élaborée fait partie des méthodes
indirectes puisque c'eSt I'attenuationd'abord que nous mesurons;
grandeur dont découlera, suivant un calcul que nous allons
développer,la valeur de la résistancedont dépend linéairementla
température recherchée.
Les équationsde récurrenceliant Ie gain total du câble coaxial
aux modules des rapports des tensions aux interfaces des
quadripôles élémentairespermettent de solutionner le problème
donnant ainsi une très bonne précision quant au calcul de Ia
température t501.
Nous avons utilisé le câble coaxial alimentépar un générateur
de signaux alternatifs de très faible puissanceet par conséquent,
nous n'avonspas étudié le cas de I'onderéfléchie.
La puissanceabsorbéepar une charge de 50 ç), lorsque la
tensiond'entréeest de I V (tensionen charge),est de 20 mW. Ce qui
montre effectivementque le niveau de puissanceest trop insuffisant
pour pouvoir établir des mesuresen ondes réfléchies car il existe
une très faible désadaptationdu fait que seulementune partie du
câble est immergéedans de I'eau relativementchaude.
3- 2 - D é t e c t i o n e t
transmission
I o c a l is a t i o n d e s d é f au t s
en
l i e n es
de
Le problèmede la détection, de la mesureet de la localisation
en général,a
d'une imperfectionle long d'une ligne de transrnission,
étê traité par plusieurs méthodesnotammentréflectometriques.
- Méthode de localisation d'un
PINTELON et L. VAN BIESEN I48l
défaut en liene de
R.
90
Dans leur article [48], R. PINTELONet L. VAN BIESEN utilisent
pour détecteret surtout localiser un
une méthode réflectométrique
Le principe est d'utiliser le
défaut dans une ligne de transmission.
pour
calculer avec une grande
calcul opérationnel de Laplace
précisionle signal réfléchi par le câble coaxial présentantun défaut
en ligne. Le schémade principeest illustré ci-dessous:
zr
e(r)
",rrî
) deLongueurz
Le câble coaxial représentant un défaut en ligne est,
idéalement, représenté par un tronçon de ligne homogène
d'impédance caractéristique Zç de longueur z (cf figure II) chargée
quelconque, différ ente de I' impédanc e
p a r u n e i mp é d a n ce Z f
itérative, qui traduit l'irregularité.
Les auteurs écrivent la fonction de transfert entre I'excitation
(impulsionnnelle) x(t) et la première réflexion y(t), observées toutes
les deux à I'entrée de la ligne de transmission.Ils établissentalors la
relation:
T(p) =
- (1+pe
)pytzv
(Eq-xx)
9r
où Y(p) et X(p) sont respectivementles transforméesde Laplace de
y(t) et x(t). Les coefficients de réflexion p g e t p L ( i = g o u L ) s o n t
d o n n ée s p a r:
pi= Zr(p) Zc@)
Zt@)+ Zc(p)
(Eq-XXI)
L'équation de la transforméede Laplace est ainsi exploitable
pour connaître avec une très bonne précision la réponsequi, à partir
de sa dépendancedu temps de propagationou de retard r , nous
permet de remonterà z la coordonnéedu défaut.
Les auteurs soulignent que cette méthode, contrairementà
d ' a u t r e s m é t h o d e s c e p s t r a l e s p a r e x e m p l e [ 51 ] , a u t o r i s e u n e
précision de localisation du défaut en ligne complètement
indépendantede l'impédance du défaut lui même. Cependant,les
a u t e u r s a j o u t e n t q u e l a s i m p l e c o n n a i s s a n c ed e l a v i t e s s e d e
propagation issue de la mesure du temps de retard ou de
propagation r, permetde localiserle défaut en ligne.
Malgré la rigueur et la précision de la méthode,celle-ci ne
permet paS, de façon effective, de mesurer la températured'une
éventuellesingularitéen ligne dûe à un échauffementlocal.
E n r é f é r e n c e 1 . 4 7 1 ,P . F . G A L E u t i l i s e a u s s i u n e m é t h o d e
pas à sa
impulsionnellepour localiser le défaut, mais ne S'interesse
longueur
ou
caractérisation(température,constante diélectrique,
extension,etc...). Il utilise une méthode très similaire à celle citée
précédemment.
3-3- Formulation Mathématique de la
f
d e M e s u r e d e T e m o é r a t ue
Méthode Indirecte
Les équationsaux différencesfinies sont les mêmes utilisées
pour le cas du gradient de température;la seule et principale
différenceest la " fonction résistance" qui, au lieu de varier, pour
les basses fréquencebien évidemment,suivant la loi R(z)-a+b.2,
varie comme une fonction en escaliertelle que:
R(z)=Rur6
pour
0 < z < ( M - l ) . L , 2 o u M . Â z< z < L i
et
R(z)=ft* (inconnue) pour
(M-l).Lz<zSM.Lz
Pour des raisons de simplicité d'utilisation de la méthode des
différencesfinies, nous choisissonsun pas de discrétisationégale à la
92
il
l o n g u eu r d u d é fa u t th e rmique. Pour des défauts a s s e z l o n g s ,
pour que les
. o n - u i " n t d 'u ti l i se r d e s câbles coaxiaux plus longs
a p p r o xi ma ti o n s re ste n t va lables.
(M-1)Âz
de la DistanceZ.
Nous réécrivons les équations récurrentesdes rapports des
tensionsou fonctions de transfert.sde chaque quadripôleconnaissant
tous les paramètresprimaires de chaque quadripôle élémentaire
excéptéc"u* du quadripôlesujet au défaut thermique.Seules sont
connues, pour celui-ci, la capacité et I'inductancesupposéesles
pour le reste du câbte. La conductanceest également
mêmes que
-puisque
nous avons supposéparfait le diélectriquecontenu
négligée
entre les conducteursinterne et externe.
Rappelonsles équations(44) et (45) utilisées au Chapitre 3,
équationsà partir desquellesnous calculonsle module de la fonction
de transfert du quadripôle du défaut thermique'
Ainsi, nous écrivons, tenant compte de I'irrégularité localisée
entre (M-l).Lz et M.Â2, l'équationdu gain total sousla forme :
VN-l
Vo
M+l
TI
i=N *t#t,#.,ffr
(83)
93
Equation contenant, sous forme de rapport' le terme
à I'irrégularité thermique que présente le c â b l e
"orr"rpôndant
coaxial.
Cependant,les deux produits finis de part et d'autre de ce
les
terme d; défaut thermique sont connus puisqu'ils représentent
deux parties restantesd; câble où la températureest uniformément
distribuée.
Ainsi, il est jugé utile de rappelerl'équation gên&ale (54)' car
finis
celle-ci est tupprtei chaque fois que les deux produits
préalablementcités sont à calculer.
Nous écrivons,en revanche,pour les modulesde chaque terme
intervenantdans (83):
(l +LCa2 n zZ)L+ (FqM-lC a n z2)'
(84)
t )2
(l+Ry- lGyLz)2+(LcoG1
Le module de la fonction de transfert du défaut thermique
gain
donné par (84) peut être aisémentcalculé si l'attenuationou le
est
total(e) est connu(e).Remarquonsalors que la résistanceRtvt-I
simplementextraite de cette même équation (84)'
D u p o i n t d e v u e e x p é r i m e n t a l ,I ' a t t e n u a t i o ne S t l e s e u l
paramètret mesurer,ce qui tèstetu par la suite est le calcul, suivant
la
ie modèle des différencèsfinies ainsi élaboré, du module de
fonction de transfertdu défaut suivant l'équation suivante:
lel
(85)
P(I).P(III)
ou le module de g, lgl, représente le gain total mesuré entre I'entrée
et la sortie, aux bornes de I'imPédancede charge:
H=lvÀl
'v'
lvol
(86)
94
Les produitsfinis donnésen (85) ne sont autresque les termes
est
représentant les régions (cf figure 39) où la température
uniformèment réPartie et sont donnés par:
P(III) =
M+l
(87)
,*
et
1
(88)
P(I)= II
i=M-l
Region(I)
tl
lél
r.5
r&l
è0
|
ZL
Region(IID
tl
(M-1).^z
M.Âz
desDifférentesRégions
Figure40: Représentation
du CâbleCoaxialEtudié.
La résistancedu défaut thermique, paramètre recherché, est
(84)'
alnsl totalementconnue; nous écrivons alors sa valeur, d'après
de la forme:
Ru-t
--r?oo
(8e)
^"G?r4;c2a2u2)
95
ou
gM=
k1 = l+LCcoTnzL
(e0)
(e1)
et
kz = LroGYLz
(e2)
La températuredu défaut ou de I'irrégularité thermique que
p o u r a i t p r é s è n t e r u n m i l i e u q u e l c o n q u ee s t a l o r s c o n n u e e n
petites
àppliquant la formule générale pour les relativement
s:
température
R(t"C) = Ramb.[1+ct.(toC-t..uoC)]
(e3)
o c - l p o u r l e c u i v r e ,e t R a m b n ' e s t a u t r e q u e l a
où a=4.166e-3
de
résistance totale des conducteursinterne et externe formés
cuivre à températureambiante. La températureest alors aisèment
determinéeutilisant (93):
= r.nboC.*fffi-tl
roC
(e4)
Les résultatsainsi que la description du dispositif de mesure
expérimentalesont détaillés au prochain paragraphe.
3-4-
Résultats
Le dispositif expérimentalest constituédes élémentssuivants:
- Un câble coaxial du type RG58U de 100 m de longueur,chargé pat
son impédancecaractéristiquede 50 A;
- Un générateurde fonction HP 8116A, synthétisantdes signaux en
ondes continuesou pulséesdont la fréquencepeut atteindre 50 MHz;
- Une résistancepour le chauffagede I'eau (BIOBLOCK SCIENTIFIC'
pOLySTAT II pipCrnONIC) dans laquelleune partie du câble coaxial
est sujette aux variations de température;cette résistance est
de température' La
.o*rnu"ndé" par un Systèmed'asservisSement
96
t e m p é r a t u r e d e l ' e a u p e uoC;
tvarierdel0àl00oC,avecune
1
0'
de
inceititudeabsolue
-UnoscilloscopeéchantillonneurHP5450lA,permettantdes
fréquences'Sa
mesures très préôisesdes attenuationsà différentes
avec' en plus de
fïJàurn.. de balayagepeut atteidre les 100 MHz,
digitale temps réel
l,affichage des tru.tt d.t signaux, un affichage
des tensionsavec une erreur absoluede 0'1 mV;
- un thermomètre numérique à base du circuit intégré LM35
températures'
utilisant la sensibilitéde celui-ci aux variationsde
Lecircuitintégré,alimentéenV+etGND,nouSpermet
la température
d'obtenir en sortie une tension proportionnelleà
avec une dYnamiquede 10 mV/"C'
laboratoire
Le dispositif de mesure précise a été monté en
peut être
pour l'utiliser comme thermomèireétalon. La température
oc.
Le schémade son circuit électriquesimplifié
mesuréede 2 à 150
est donnéen figure 41.
où
Les détails et précisionstechniquessont donnésen annexes
sont illustrés les schémasdes circuits électriques'
Charge
LM35
hauteimpédance
Capacitive
Le câble coaxial de 100 m de long a été PartiellementPlongé
décrite' La
dans I'eau chauffée grâce à la résistancepréalablement
97
partie immergée est de I m d e l o n g . L' oscilloscope per m et de
mesurer les tensions en entr ée et en sor tie avec une excellente
précision.
80
70
U
o60
c.)
L
=50
cg
tr
'9
40
é30
E-
20
I
10
0,0
t
0,2
0,4
E
MDFTemperature
a
MesuréeThermomèlre
0,6
0,8
Atténuation Mesurée (dB)
1,0
98
70
(J
o60
q)
L
=50
L
'9
Er
;.
r.
40
n
30
n
n
n
n
n
n
n
n
O MDFTemffrature
n
20
A
o,o
0,2
0,4
Thermomètre
Mesurée
0,6
0,8
A t t é n u a t i o nM e s u r é e ( d n 1
80
70
(J
o
q)
L
60
50
6l
li
\q)
Ê
€)
F
40
30
20
10
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Atténuation M e s u r é e ( d B )
Ainsi, les résultats des mesureset de la méthode des
différences finies donnent tous les mêmespetits écartscomme il est
illustré en figures 42, 43 et 44 pour différentes positions du défaut
99
t h e r m i q u e p a r r a p p o r t a u g é n é r a t e u r ;i l e s t a l o r s i n u t i l e d e
réeffectuer ces mesures pour des distances intermediaires car les
explications relatives,au fait que la partie à droite du défaut peut
êtie tout simplement remplacée par l'impédance caractéristique
Zc=50 ç2, sont largementsuffisantes.
Une constatation fort importante à souligner est le fait que la
l o i d e va ri a ti o n d e I'a ttenuation m esur ée en fonction de la
température soit linéaire facilitera l'étalonnage du nouveau type de
"capteur" de température ainsi élaboré.
Notons aussi que le modèle concerne des fréquences et des
t e m p é ra tu re s re l a ti ve me n t basses car , expér imentalem ent, nou s
a v o n s p l o n g é l a p a rti e concer née du câble dans de I' eau et par
c o n s é q u e n t l a te mp é ra tu r e ne doit pas dépasser la tem pér ature
d ' é b u l i ti o n d e I'e a u ; q u a nt aux fr équences, elles ne doivent pas
dépasser la limite imposée par les approximations des fonctions de
B e s s el (cf é q u a ti o n (7 0 )). Etant donné que les r ésultats sont le s
m ê m e s p o u r n 'i mp o rte q uelle distance du génér ateur au défaut,
nous avons jugé utile de donner, Sous forme de tableau, et, pour de
plus amples précisions, ces écarts, quoique très faibles, entre valeurs
réellement ou directement mesurées grâce au thermomètre digitale
e t c e ll e s i n d i re cte me n t mesur ées par le biais de I' attenuation en
appliquant la méthode des différences finies.
100
Attén.
[empérature
Mesurée
Mesurée
(dB)
('c)
Température
Calculée
MDF
('c)
Ecarts
de
Température
ATIT(Vo)
('c)
0.915
75.80
76.335
0.535
0.705
0.819
69.25
69.8s5
0.605
0.873
0.724
62.99
63.585
0.595
0.944
0.630
56.98
57.517
0.537
0.942
0.537
51.10
51.624
0.524
L.025
0.445
45.50
45.951
0.451
0.991
0.354
38.80
40.437
0.637
I.641
0.264
34.60
35.092
0.492
L.421
0.175
29.41
29.911
0.441
L.496
0.087
24.30
24.886
0.s86
2.411
0.043
21.90
22.430
0.500
2.283
0.000
19.50
20.014
0.514
2.635
Il est ainsi clair, d'un point de vue quantitatif,que ces
écarts, entre valeur mesurée et valeur calculée selon le modèle
numérique établi, sont effectivementtrès faibles et par conséquent
la méthode des différences finies s'avère efficace et surtout précise
dans ce cas de mesurede température.
3-5- Extension ou limite de fonctionnement
101
Il est bien évident que la sensibilitédes appareilsde mesure
thermomètredigital) joue un rôle très
(oscilloscopeéchantionneur,
important quant à I'appréciation de la température du défaut
thermique.
Ainsi, nous sommes confrontésà deux types de problèmes:
d'une part le modèle des différencesfinies, comme la plupart des
modèles numériques,impose une subdivision la plus affinée que
possible; et d'autre part, les appareilsde mesure, du fait de la
limitation de leur sensibilité, demandent un minimum
d'échauffementde la partie immergée.
D a n s c e p a r a g r a p h e ,n o u s é t u d i o n s , d ' a p r è s l e s r e l e v é s
expérimentauxde mesure de température,les limites de validité de
la méthode des différencesfinies compte tenu des limites extrêmes
de sensibilitédes appareilsde mesure,I'oscilloscopeéchantionneur
en occurence car la mesure au thermomètre digital s'effectue de
façon directe et est considéréecomme mesure de référence.Ainsi,
nous avons effectué des mesuresde températureen utilisant des
longueurs plus petites que I m afin de determiner de façon
expérimentaleles limites de validité de cette mesure.Des longueurs
de 20, 25 et 50 cm ont été priseset les résultatssont donnés,comme
pour le cas de I m, sous forme de courbe Température-Atténuation
ét de tableaux Atténuation mesurée-Ecartde température (La
longueur du générateurà I'irrégularitéest prise égale à L1=90 cm
pour une même longueurde câble de 100 m que nous avons
préalablementutilisé):
r02
80
70
O
o
o)
60
50
L
cÉ
40
li
\q)
30
(u
F
#l-
MDFTempérature(0.5m)
#
MesuréeThermomètre
20
10
0,0
0,1
0,2
0,4
0,3
0,5
Atténuation Mesurée (dB)
Lonsueur de Défaut=50cm
80
70
(j
o
60
q)
L
50
cll
L
40
\€!)
Ê
tr
é)
F
30
20
10
0,0
*
MDFTempérature(0.25m)
-ù
Mesurée
Thermomètre
0,1
0,2
Atténuation Mesurée (dB)
0,3
103
o
940
cÉ
L
\O)
320
q)
F
*
MDFTemPérature(0.2m)
*
Mesurée
Thermomètre
o, 2
0,3
Atténuation Mesurée (dB)
No u s d o n n o n s é g a l em ent les tableaux repésentant les
écarts de températures par les deux méthodes, pour chaque cas.
r04
Attén.
fempérature
Mesurée
Mesurée
(dB)
("c)
Température
Calculée
MDF
("c)
Ecarts
de
Température
LTIT (7o)
('c)
0.451
75.80
77.000
1.200
1.583
0.207
69.25
70.100
0.850
t.227
0.367
62.99
64.300
1.310
2.070
0.315
56.98
58.120
I.140
2.000
0.268
51.10
52.300
1.200
2.348
0.225
45.50
47.000
1.s05
3.307
0.177
38.80
40.500
1.700
4.381
0.135
34.60
36.000
1.400
4.046
0.880
29.16
30.s00
1.335
4.578
0.045
24.30
25.780
1.480
6.090
0.027
21.82
23.510
1.690
7.745
0.000
19.50
21.030
1.530
7.846
Âz = 50cm
105
Attén.
Mesurée
(dB1
lempérature
Mesurée
('c)
Température
Calculée
MDF
(oc)
Ecarts
de
Température
LTIT (7o)
('c)
0.227
75.80
79.000
3.200
4.221
0.110
69.30
72.100
2.800
4.040
0.187
62.99
66.600
3.610
5.731
0.160
s6.98
60.000
3.020
5.300
0.135
51.10
55.100
4.000
7.827
0.114
45.50
49.500
4.000
8.79L
0.090
38.80
43.500
4.700
t2.tt3
0.070
34.60
38.250
3.650
10.549
0.05r
29.16
32.700
3.230
LL.076
0.028
24.30
27.900
3.600
L4.814
0.016
21.93
2s.000
3.070
t3.999
0.000
19.50
24.100
4.600
23.589
Tableau11: Ecarts ente la Mesure Directe de la
Lz = 25cm
106
Attén.
fempérature
Mesurée Mesurée
(dB)
('c)
Température
Calculée
MDF
('c)
Ecarts
de
Température
LTIT (7o)
fc)
0.183
7s.80
79.000
3.200
4.22L
0.164
69.25
72.t00
2.800
4.040
0.145
62.99
66.600
3.610
5.731
0.126
56.90
60.000
3.020
5.307
0.107
51.10
55.100
4.000
7.827
0.089
44.80
49.500
4.000
8.928
0.070
40.00
43.500
4.700
11.750
0.053
34.90
38.250
3.650
10.458
0.035
29.t0
32.700
3.230
11.099
0.018
24.60
27.900
3.600
L4.634
0.009
20.30
25.630
3.070
15.r23
0.000
19.50
24.060
4.600
23.589
M =20cm
Visiblement, ces résultats montrent que plus la
longueur de la cellule élémentairediminue et plus la sensibilité
diminue également.Par contre une subdivision plus fine ne peut
ê t r e q u ' a v a n t a g e u s ep o u r l e s c a l c u l s n u m é r i q u e s . A i n s i u n
compromis doit s'imposer pour qu'une telle méthode puisse être
exploitée correctement Sans pour autant commettre d'énormes
déviations par rapport à la valeur de la températurecomme le
thermomètre donnerait.
r07
D'aprèsles tableauxll, 12 et 13, nous retenonsla valeur de
L,z=50cm car elle présenteI'erreurrelative la plus faible.
3-6-
Méthode Imoulsionnelle
Le problème de la mesure de températured'un défaut en ligne
peut également être résolu par une méthode réflectométrique.
L'objectif est toujours le calcul de la résistance,paramètrevariant
linéairement en fonction de la température, du quadripôle
élémentaire de longueur L,z donnée, représentantI'irrégularité en
ligne.
Dans un premier temps, nous calculonsl'impédancecomplexe
du quadripôle R, L, C, (G=0) du défaut, puis nous effectuons
I'identificationde la résistancedonnant ainsi la température.
N o u s n o u s r e p o r t e r o n sa u s c h é m a d e l a f i g u r e I I d u
paragrapheIII-2 du chapitre 1, et, pour simplifier, nous utilisons les
mêmes notationsque les auteurst91.
La ligne de transmission,de manière générale,peut être vue
de Son entrée comme une impédanceque I'on notera Ze@); ce qui
nous mène à calculer la tension V(p) en utilisant la formule du
diviseur de tension:
v(p) = z"(p)
E(p)
(95)
Zn@)+Ze
où V(p) et E(p) représententles transforméesde Laplace de v(t) et
e(t) respectivement (cf figure II). L'impédance d'entrée Ze$) de la
ligne homogène (Zc, ^l) est donnée par la relation:
(96)
z"(p)=z.(p).44
r/'gTLr-fg-Tlr
où
f: Coefficient de réflexion complexedonné par:
y _zr@)-Z"(p)
Zt-@)+2"(p)
e7)
Le câble coaxial RG58U possèdeune impédancecaractéristique
Zg=Zç=JQf]z
adéquataux générateurs
Zc=50çt ce qui est généralement
et par conséquent,d'après[9]:
108
V(P) =!.11 +fe-2É')
E(p) 2
(e8)
ce qui donne par conséquent:
f(p) = r',''[rXnf
,]
(ee)
Si e(t) prend la forme telle que: e(t)=629 pour 0 < t < r et nulle
ailleurs, sa transforméede Laplace est alors:
E(P) = 1-'e-tP
p
(100)
La fonction V(p), à chaque fr équence, est évaluée, apr ès la
mesure temporelle de v(t), a I'aide de la FFT puis substituée dans
(99). La déduction de r(P) puis celle de Zy(p) est alors immédiate.
Cette méthode est très délicate vu la grande précison
demandée pour le calcul, grâce à la FFT, de la réponse
impulsionnelle.It est à noter aussi quo, vu la courte longueur du
câble (L=100 m), la durée r de I'impulsione(t) doit être la plus
brève que possible pour éviter le problème d'interférence ou
recouvrement de I'onde incidente et celle réflechie par la
en bout de ligne.
désadaptation
3-7- Simulation du gradient linéaire de
I'aide de Ia méthode des différencesfinies
température
à
Dans cette partie, nous montronsqu'il est possible de calculer
I'atténuation du câbte coaxial plongé dans le gradient de
température en ajoutant les atténuations (en dB) dûes à des
perturbationsthermiqueslocalisées,décaléeset dont la valeur de la
température (ou la résistance) croît linéairement au fure et à
mesure qu'on s'éloignedu générateur.Nous préconisonsde calculer
ces atténuations partielles du câble dûes à une température de
défaut donnée mais exactementconnue au préalabledont la valeur
augmente linéairement(en escalier) en fonction de la distance. Le
schéma de la figure 48 illustre les différentes situations de la ligne,
chacune présentant une perturbation thermique localisée. Le
programme qui effectue ces calculs (atténuations partielles et
atténuation total) est donnée en annexes.
I l0
3-8-
Résultats
Le calcul de I'atténuationdu câble coaxial soumis à des
irrégularitésdécalées(cf figure 48) s'effectueen fixant la position
du défaut thermique puis en incrémentantsa distance,quoique peu
importante, ainsi et surtout la valeur de sa résistancelocale. Les
calculs prouvent que la somme des atténuations(dB) dûes à chaque
perturbation thermique localisée, est égale à I'atténuationtotale dûe
au gradient de températureen bassesfréquences.La fréquence est
de 80 kHz pour toutes les cas de ligne de transmissionsujette à une
perturbation localisée.
l* Atténuationsdûes à chaque perturbation thermique localisée *l
e(dB) = 6.255810e-02
AtténuationPartiell
6.257l99e-02
A tténuationPartielle(dB
)
6.258589e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.259979e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.261368e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.262758e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.264147e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.265537e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.266927e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.2683t6e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.269706e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.271096e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.272485e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.273875e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.275264e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.276654e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.278044e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.279433e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.280823e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.282212e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.283602e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.284992e-02
AtténuationPartielle(dB
)
re-02
6.28638
AtténuationPartielle(dB
)
6.28777le-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.289r60e-02
A tténuationPartielle(dB
)
6.290550e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.291940e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.293329e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.294719e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.296108e-02
AtténuationPartielle(dB
)
6.297498e-02
AtténuationPartielle(dB
)
e-02
6.298887
AtténuationPartielle(dB
)
6.300277e-02
AtténuationPartielle(dB
)
lll
)
AtténuationPartielle(dB
onPartielle(dB
)
Atténuati
AtténuationPartielle(dB)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
ationPartielle(dB
Atténu
)
A tténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
A tténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
elle(dB)
AtténuationParti
A tténuationPartielle(dB
)
A tténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
onPartielle(dB
A tténuati
)
AtténuationPartielle(dB
)
AtténuationPartielle(dB
)
6.301667e-02
6.303056e-02
6.3O4446e-02
6.305835e-02
6.307225e-02
6.3086l4e-02
6.310004e-02
6 . 3 11 3 9 4 e - 0 2
6.312783e-02
6.314r73e-02
6.3r5562e-02
6.3r6952e-02
6 . 3 18 3 4 l e - 0 2
6.3r9731e-02
6.321120e-02
6.322510e-02
6.323899e-02
6.325289e-02
6.326678e-02
6.328068e-02
6.329458e-02
6.330847e-02
6.332237e-02
6.333626e-02
6.335016e-02
6.336405e-02
6.337795e-02
6.339r84e-02
6.340574e-02
6.341963e-02
6.343353e-02
6.344742e-02
6.346132e-02
6.347521e-02
6.348911e-02
6.350300e-02
6.351,690e-02
6.353079e-02
6.354469e-02
6.355858e-02
6.357248e-02
6.358637e-02
6.360027e-02
6.361416e-02
6.362805e-02
6.364195e-02
tL2
6'365584e-02
AtténuationPartielle(dB)=
6'366974e-02
AtténuationPartielle(dB)=
6'368363e-02
AtténuationPartielle(dB)=
=
6'369753e-02
AtténuationPartielle(dB)
=
6'37r142e-02
AtténuationPartielle(dB)
6'372532e-02
AtténuationPartielte(dB)=
6'373921e-02
AtténuationPartielle(dB)=
=
6'3753r1e-02
AtténuationPartielte(dB)
=
6'376700e-02
AtténuationPartielle(dB)
6'378090e-02
AtténuationPartielle(dB)=
=
6'379479e-02
AtténuationPartielle(dB)
=
6'380868e-02
AtténuationPartielle(dB)
6'382258e-02
AtténuationPartielle(dB)=
6'383647e-02
AtténuationPartielle(dB)=
=
6'385037e-02
AtténuationPartielle(dB)
=
6'386426e-02
AtténuationPartielle(dB)
=
6'387816e-02
AtténuationPartielle(dB)
6'389205e-02
AtténuationPartielle(dB)=
=
6'390594e-02
AtténuationPartielle(dB)
=
6'39L984e-02
AtténuationPartielle(dB)
6'393373e-02
AtténuationPartielle(dB)=
*l
l* Atténuation Totale
AtténuationTotale(dB)= 6'324593e+00
La valeur de I'atténuation totale correspond bien à celle
calculée en utilisant la loi de variation R(z) = a+b'z par le programme
principale dêcrtt auParavant.
3-o-
Conclusion
La mesure de la température, grâce à la méthode des
différences finies appliquéeaux équationsde propagationdes ondes
dans le cas du câble coaxial, s'avère tout a fait
électromagnétiques
valable et précise, vu les résultats des comparaisonsavec ceux
observés directement au thermomètre;cependant la fréquence ne
doit pas être trop élevée pour que d'autres effets physiques
viennent se Superposer
-entendonsou imposer, analytiquement,_d'autres
par cela la prise en compte de I'effet de
formalisme. Nous
peau qui pourrait se manifesterdans les conducteursen plus hautes
iréquenceJ modifiant ainsi la résistance, etr grande majorité, et
I'inâuctanceinterne des conducteurs;I'inductancede couplage' nous
I'avons vu, demeureinchangépuisque sa valeur représentela limite
assymptotiquede I'inductancetotale en très bassesfréquences'
L'inconvenient principal que présente cette méthode est la
restriction dans le choix Ou pas de discretisationqui, en principe
rl3
comme nous I'avons pris, doit égaler I'extensionde la région où la
température présente la discontinuité.
un facteur à ne pas négliger égalementest celui des
phénomènestransitoiresde la température lors du changementde
i'étut thermique que nous avions étudié dû à la propagationde la
chaleur car, en Éalitê, celle-ci n'est pas seulementconcentréedans
le milieu que nous avions perturbédu fait de la bonne conductivité
thermique du cuivre formant les conducteursdu câble coaxial.
Néanmôins,le temps de propagationde la chaleur est très bref et le
régime permanentest très rapidementétabli.
Le problème ne se pose point dans le cas où la longueur de
I'imperfectionthermiqueest très faible devant la longueur totale du
câble coaxial. Seulement,dés que cette approximation devient
erronée, la méthode indirecte de mesure de température devient
non représentative.
Néanmoins, la méthode pourrait s'appliquer à d'autres types
de lignes de transmission:lignes microrubanségalement, guides
d'ondes rectangulaires,circulairesou elliptiques.
Grâce à cette nouvelle application de mesure de température,
nous mettons au point, par le biais d'une mesure directe de
I'attenuationque subit le câble coaxial lors de son introduction
partielle dans un milieu ou la températureeSt simplement une
fonction en crénau, un nouveautype de capteur de température.
ll4
Conclusion Générale et Perspectives
L'étude de la propagation d'ondes électromagnétiquesen
milieu thermiquementvariable a conduit à proposer un nouveau
capteur de température. Il est ainsi possible de mesurer la
température ou du moins les fluctuations de température qui
pourraient se manifester dans un quelconque milieu où
I'implantationd'un capteur de températures'avère impossible, alors
q'un-faisceaucoaxial de traitementde signal passedans le milieu.
Ce capteur présente la particularité d'autoriser une mesure
rapide de la températureen raison de la fréquenceporteuse assez
élevée utilisée et de faible inertie thermique du cuivre constituant
I'ensembledes conducteursinterne et externe du câble coaxial. De
en (dB)
plus la linéarite de la courbe température-atténuation
mesuréepermet un étalonnagecommodedu dispositif de mesure.
Cependant,une limitation existe, en terme de sensibilité à
cauSe,d'une part, des appareilsde mesure,et d'autre part, à cause
de la méthodede modélisation.
Notons que la mise en oeuvre informatiqueest beaucoupplus
legère que PSpice.
Au prix de la mise en oeuvfe de moyens informatiques
beaucoup plus lourds, pour une analyse multidimensionnelle,il
semble âué la méthode proposéeautoriseraitune analyse complète
du mode de fonctionnementdes câbles multibrins utilisés dans des
applications de recherche pétrolière, eD milieu à gradient de
température.
115
116
Références
Bib liographiques
Guides
des
VASSALO, Théorie
C.
tll
E l e c t r o m a g n é t i q u e s , t o m e l , E y r o l l e s ,1 9 8 5 .
d'Ondes
l2l Fred E. GARDIOL, Lossy Transmission Lines, Library of
Data, 1987.
CongressCataloging-in-Publication
t3l J. KERGOMARD, " Propagation des ondes dans les Lignes
F i n i e s : D i s c u s s i o n d e s N o t i o n s d ' O n d e s E v a n e s c e n t e se t d e
Fréquence de Coupure", Revue de Physique Appliquée, Vol.17,
fascicule no5, pp. 307-327,mai 1982.
t4l R.L. WIGINGTON and N.S. NAHMAN, " Transient Analysis of
Coaxial Cables Considering Skin Effect", Proc. of the IRE, pp.
166-174,Feb. 1957.
t5l Norris S. NAHMAN and Donald R. HOLT, " Transient Analysis
of Coaxial Cables Using the Skin Effect Approximation
A+B{F ", IEEE Transactionson Circuit Theory, Vol.l9, NO. 5, pp. 443451, Sept. 1972.
t6l v.D. LAPTSEV and Yu. I. CHERNUKHIN," Approximation of the
Frequency Dependence of the Primary Parameters of a
NO. 12, pp. 67-68, 1989.
Coaxial Cable ", Radiotekhnika,
[7] " Pspice Technical Reference ", MicroSim Corporation, 1989.
t8l Paul VY. TUINENGA, " SPICE, A Guide to Circuit Simulation
and Analysis Using PSpice ", MicroSim Corporation,Prentice Hall,
1 9 88 .
t9l C. M. HEBBERT, " The Transmission Characteristics of Toll
Telephone Cabtes at Carrier Frequencies ", Bell System
Technical Journal,pp. 203-212,July 1941.
de
t10l Pierre M. PRACHE, " Influence des variations
de
des Circui ts
I ' A f f a i b l i s s e me n t
sur
Temp érature
"
,
et
C
â
b
l
e
s
Câbles Enterrés
Tétécommunication en
Transmission,pp. 185-204, Octobre 1947.
[11] John D. KRAUS, Electromagnetics,McGraw-Hill,Third Edition,
r973.
I t7
tl2l P.M. PRACI{E,H. JANNES,M. TROUBLEet G. CLAVAUD, Cours de
Lignes à Grande Distance,Edition Eyrolles,1974.
t13l E. J. MURPHY and S. O. MORGAN, " The Dielectric Properties
of Insulating Materials ", Bell SystemTechnicalJournal, pp. 2I4216, October 1937 and October 1938.
C . R . B R E W I T T - T A Y L O Ra n d P . B . J O H N S , " O n t h e
tl4l
Construction and Numerical solution of transmission-Line
and Lumped Networks Models of Maxwell's EquationS ",
InternationalJournal of Numerical Methods Engineering, Vol. I22,
pp. l3-30, 1980.
t15l P. B. JOHNS and R. L. BEURLE, " Numerical solution of Two
Dimensional Scattering Problems Using a Transmission Line
Nov.
Matrix ", Proc. Inst. Elec. Eng.,Vol.ll8, NO. 9, pp. 1203-1208,
r97t.
t16l R. V/. HAMMING, Numerical Methods for Scientists and
Engineers, McGraw-Hill, SecondEdition, 1962.
l,I7l Hatem MOKHTARI, Maher CHARFI, Catherine and André
TOSSER-ROUSSEY," An Analytical Calculation of the Primary
Parameters of the Coaxial Cable in a Linear Temperature
Gradient Using the Skin Effect Approximations ", AMSE Int.
Tunisia,Nov. 1l-13, 1991.
Conf. "Signals,Data & Systems",
t I 8I Hatem MOKHTARI, Maher CHARFI, Catherine and André
T O S S E R - R O U S S E Y ," M o d e l i z a t i o n o f t h e P r o p a g a t i o n o f t h e
TEM Coaxial Mode in a Linear Temperature Gradient Using
the Finite Difference Method and a PSpice Simulation
Program Model Considering the High Frequency Range ",
AEC'91, Dec. 2l-24, l99l (Cairo).
t19l Fred. GARDIOL, Hyperfréquences,Dunod, 1987.
l21l R. PETIT, Ondes Electromagnétiques en Radioélectricité
et en Optique, Edition Masson, 1989.
Iztl M. V. K. CHARI and P. P. SILVESTER,Finite Elements in
Electrical and Magnetic Field Problems, John \Viley & Sons,
19 8 0 .
l22l O. C. ZIENKIEWICZ, R. W. LEWIS and K. G. STAGG, Numerical
Methods in Offshore Engineering,John Wiley & Sons, 1981.
118
I'usage
ï 2 3 1A . A N G O T , " c o m p l é m e n t s d e M a t h é m a t i q u e s à
à." ingénieurs en Télécommunication ", Masson, Sixième
Edition, 1982.
t24l N.R.S. SIMONS and E. BRIDGES," Equivalence of Propagation
ô h a r a c t e r i s t i c s o f t h e T r a n s m i s s i o n - L i n eM a t r i x a n d F i n i t e Difference Time-Domain Methods in Two Dimension ", IEEE
Trans. on MTT, Vol.39, NO.2, pp. 354-357,Feb. 1991.
I25l LLOYD N. TREFETHEN," Group Velocity in Finite Difference
Schemes", SIAM REVIEW, Vol. 24, NO. 2, pp. 113-135,April 1982.
[26] Hatem.MOKHTARI, Alain. NYECK, Catherine.and André.TOSSERROUSSEY, " Finite Difference Method and PSpice Simulation
Applied to the Coaxial Cable in a Linear Temperature
, Nov. L991.
Gradient ", IEE Proceedings
l27l A. BAMBERGER, G. CHAVENT and P. LAILLY, " Etudes de
de
Equations
pour
les
Numériques
schémas
France.
l'élastodynamiquelinéair€ ", Res. Rep. 41, INRIA,
t28l G. BROWNING,H. O. KREISSand J. OLIGER, " Mesh Refinement
", Math. Comp.,27 (1973),PP. 29-39.
l2gl CLAYTON R. PAUL, " computation of crosstalk in a
M u l t i c o n d u c t o r T r a n s m i s s i o n L i n e " , I E E E T r a n s a c t i o n so n
ElectromagneticCompatibility, Vol. EMC-23, NO. 4, pp. 352-358,
November 1981.
l30l CLAYTON R. PAUL, " Solution of the Transmission'Line
E q u a t i o n s f o r T h r e e -C o n du c t o r L i n e s i n H o m o g e n e o us
Uèaia ", IEEE Transactionson ElectromagneticCompatibility, Vol.
EMC-20, pp. 216-222,FebruarY1978.
t31l F. B. LIVINGSTON, Conductance in Telephone Cables, Bell
Laboratories Records, Decembet 1937t32l P. M. PRACHE, Théorie Elementaire de la Propagation
G u i d é e d e s O n d e s E l e c t r o m a g n é t i q u e sG u i d é e s , A n n a l e s d e s
Juillet 1946.
Télécommunnications,
t33l J. R. IVAIT," Quasi-static Limit for the Propagating Mode
Along a Thin Wire in a Circular Tunnel " , IEEE Transactionson
Vol. AP-25, NO. 3, pp. 441-443,1977.
Antennasand Propagation,
r 19
of Electromagnetic
t34l J. R. WAIT, " Theory of Transmission
the Proximity of
i
n
fu"n., Along Multi-Conductor Lines
Walts of Mine Tunnels ", The Radio and Electronic Engineer,Vol.
45, NO. 5, pp. 229-232,May 1975(London)'
" Computation
HatemMOKHTARI, C. and A. TOSSER-ROUSSEY,
-tn.
[35]
Axial Electric Field for the Propagating Mode Along a
ôf
Thin Wire in a Circular Tunnel Using an Approximate
Sotution for the Derived Bessel Functions in the Case of
", 8t h
and Permeability
Shield Conductivity
Finite
InternationalConferenceon CAD/CAM, August 1992, Metz (France).
t36l A. NIETO , F. PAUL , Mesure des Températures, Paris,
Editions Radio, 1975.
"
l37l L. E. ROEMER,C. S. CHEN, and M. s. HoSTETLER, cepstral
ProcessingUsing Spread Spectra for Cable Diagnostics ", IEEE
Trans. Instrum.Meas.,Vol. IM-30, pp. 3L-37,Mar. 1981'
t38l R. J. MOFFAT, " Gas Temperature Measurements: Direct
, .9L, 1981'
D e s i g n o f R a d i a t i o n S h i e l d i n g" , I . S . A . T r a n s . , 2 0 p
t3gl c. J. BORKOWSKI,T. V. BLALOCK, " A new Method of Johnson
Temperature
Absolute
for
Thermometry
Noise
Vol. 45,
MeaSurementS ", Review of Scienceand Instrumentation,
p.151,1974.
t40l M. DUTT and T. STICKENEY, " conduction Error in
Vol. 9, pp. 81-86,
Temperature Sensors ", I. S. A. Transactions,
r970.
use of the Quartz Crystal
t41l B. BENSON, D. KRAUSE, "
Thermometer for Absolute Temperature Measurements ",
Vol. 45, p. t499, 1974.
Review of Scienceand Instrumentation,
Resistance
of
1 , 4 2 1J . M . D I A M O N D , " L i n e a r i z a t i o n
Thermometers and Other Transducers ", Review of Science and
Vol. 45, p. 151, I974.
Instrumentation,
t43l HAROLD J. HOGE, " Comparison of Circuits for Linearizing
itto Temperature Indications of Thermistors ", Review of
50, NO. 3, pp.3l6'320, March1979.
Science and Instrumentation,Vol.
l44J S. HUARD, " capteur Binaire de Température à Fibre
Optique ", ScienceTechniqueTechnologieNo 16, 1991.
r20
I45] MASANOBU SHIMIZU, MASASHI SHIMOISHIZAKA, SUSUMU
YOSHIDA, " Radiometric Temperature Measurement Using
Infrared Opticat Fibers ",'lth ECOC (1981)16l-164.
t46l G. ASCH, Les Capteurs en Instrumentation Industrielle,
Dunod, 1982.
l47l p.F. GALE, " cable Fault Location by Impulse-Current
Method ", Proc. Inst. Elec. Eng., Vol. 122, NO. 4, pp. 403-408,Apr.
1 9 75 .
t48l R. PINTELON and L. VAN BIESEN, " rdentification of
Transfer Function with Time Delay and Its Application to
Cable Fault Location ", IEEE Transactionson Instrumentationand
Vol. 39, NO. 3, pp. 479-484,June 1990.
Measurement,
t49l L. P. VAN BIESEN,J. RENNEBOOG,and A. R. F. BAREL, " High
Accuracy Location of Faults on Electrical Lines Using Digitat
Processing of Sampled Data Records from a Reflectogram ",
in Conf. Record IEEE Instrumentationand MeasurementTech. Conf.,
V/ashington,DC, Apr. 25-27, pp. 462-466,1989.
"
t50l Hatem MOKHTARI, A. NYECK, C. and A. TOSSER-ROUSSEY,
T h e r m a l F a u l t T e m p e r a t u r e M e a s u r e m e n t sA l o n g a C o a x i a l
Cable Using the Finite Difference Method Applied to the
Electromagnétic Wave Propagation Equation ", soumis à IEEE
Transactionson Instrumentationand Measurement.
r2l
122
ANNEXE. A1
Soit à simuler le circuit RC série dans le domainetemporelleou
fréquenciel. Le circuit de commande que nous appelerons
FILTRE.CIR, par exemple,s'écritde la manièresuivante:
FILTRE PASSE.BAS1OORDRE
VentreeL0ac3.0volt
Rentree I 0 1.0G
Rl t 2 4.7k
Cl 2 0 10nF
. PROBE
. AC 50 DEC l()K 1MEG
. END
Explications:
-La premièreligne contenant" FILTRE PASSE-BASlo ORDRE "
représentele titre ou le nom du circuit.
-La deuxième ligne représente la tension d'entrée,
commençant par la lettre V , entre le noeud fictif 1 et le 0. Ce
dernier est toujours pris comme étant le noeud représentantla
masse du circuit.
La troisième ligne représenteune résistance,commençantpar
la lettre R, entre I et 0 pour que le noeud I ne reste pas flottant.
Cette résistance,de valeur très grande ( I .0 GOhms), est necessaire
pour le simulateurPSpice, et à défaut de l'écriture de la 3o ligne,
t crite dans le fichier
I ' e r r e u r s u i v a n t e e s t a u t o m a t i q u e m e né
FILTRE.OUT :
îinrt.. 10ac3.0volt
$ Floating Node
:.1..:
2 4'7k
La quatrièmeligne représentela descriptionde la resistanceR
(notée Rl dans le texte FILTRE.CIR) du circuit RC branché en filtre
passe bas, celle-ci vient s'entrecaler,dans le circuit fictif, entre les
noeuds I et 2. Sa valeur numérique, ainsi représentéedans le
fichier, est de 4.7 kilo Ohms.
r23
'C
La cinquièmetigne représentetout simplementla capacité (
notée Cl) du circuit RC entre le noeud 2 et la masse,ayant pour
valeur numériquel0 nF comme dans le fichier FILTRE.CIR .
La sixièmeligne contientla " Sonde", c'est une commandequi
doit impérativement commencer par un point (. PROBE). Sans
elle le circuit peut être simulé mais aucune grandeurne peut être
visualisée.
La septièmeligne signifie que l'analyse à effectuer est
fréquentielte et que le domaine exploité, dans cette exemple,
concerne les fréquences.de l0 kHz à 1 MHz en 50 Points par
Décade.
La dernière ligne est la fin du circuit où le point avant
I'instructionEND est aussi impératif à écrire que pour le PROBE.
Le circuit, les analysesainsi que les domainesd'analysessont
définis, la " compilation " ou la simulation s'effectue par la
commande:
PSPICE
FILTRE
( sans pour autant spécifier I'extension
.cIR),
Le simulateur crée alors, comme cité précedemment,le fichier
FILTRE.OUT qui contiendrales élémentssuivant:
FILTRE PASSE-BAS1" ORDRE
{.**
CIRCUIT DESCRIPTION
******{.****d€***{€*€:F*****{€*.**{€{.***d€****{€**{.{€d€***{({€t€{€**:F**{t{€*l'*{€
*{.***:f
Ventreel0ac3.0Volt
Rentree 1 0 1.0G
Rl t 2 4.7k
Cl 2 0 10nF
. PROBE
. AC DEC 50 10k lMeg
. END
r $ r F* * { c * : f
* : Ë ! Ë * : 1 . * * * t È : Ë : F : N € * { € * { . : N € *{ . * * : Ë { € * { .
{.:t *{ê* **
{ € { € * { €* { ' * Ê * * { ' *
{ ' : N ' : Ë{ € * * { € * { €* { '
******
FILTRE PASSE.BAS1" ORDRE
*'r** SMALL SIGNAL BIAS SOLUTION TEMPER4'1gpB=27
DEGC
{€********:S**{.*tl.*{€**tl.**{.{€*.********{€*{.{.**tË{€{€*:F{€*****{'**{€{'*tlê***{€
*:fÊ* *{. *
r24
NODE
(
r)
NODE
VOLTAGE
(
0.0000
2)
VOLTAGE SOURCECURRENTS
CURRENT
NAME
0.000E+00
Ventree
TOTAL POWER DISSIPATION
JOB CONCLTJDED
TOTAL JOB TIME
VOLTAGE
o.0ooo
0.000E+00
WATTS
4.I1
La commande qui permet de visualiser toute grandeur
électrique est tout simPlement:
PROBE
Ainsi, sur l'écran apparaiterale menu contenant,otr XY, le
domaine fréquentieldemandé(i.e: de l0kHz àlMHz) en abscisse,et
la grandeur électrique (tension ou courant ) en ordonnée.
Pour connaître la réponse en fréquence du circuit RC ainsi
défini, par exemple, il suffit de demander le gain V(2)/V(1) en
suivant les instructionsaffiché par le menu une fois la commande
PROBE est executéepar le simulateur.
Le simulateurPSpice,par la commande.PROBE existant dans le
fichier initial FILTRE.CIR, permet de visualiserle gain en fonction de
la fréquence(dans le domaine fréquentiellepréalablementcité).
Le déphasageentre I'entrée et la sortie est obtenu par
VP(2,1)(VoltagePhase.
Telles sont les principalesétapesde création de fichiers de
commandeou FICHIER-CIRCUIT NomFichier.ClR, de fichier de SORTIE
Nomfichier.OUT ainsi que le fichier contenantles données
DONNEES.DAT. Dans tout ce qui suivra,pour les simulationsPSpice,nous
adopteronsdes notations similairesconcernantles fichiers de commande,
de sortie ainsi que les fichiers de données.
/*t
*t ****s*{.*{.{.**t€{.{c:lc*{.**d,*******{€{(*{<****t<***********{<{<***:|<**t
*{<,}****/
*l
l* Programmede GenerationAutomatiquede Fichier Source .CIR
l*
l*
l*
pour une SimulationPSPICEde I'Attenuationde Ia Tension
*l
t25
l*
l*
l*
l*
par un Cable Coaxial Soumisa un Gradientde Temperature *l
Lineair en Fonctionde la Profondeurdu Câble
*|
/****d({<**<***C<{€*****<{.**r(t<{<{<{<{<****t<*****{<**{.{,***t(***r<*{<***********{<**tc/
l*
Le ProgrammeLit la Valeur de la Resistancedans un fichier de
donnees.DAT, cree a partir d un fichier source.C et I introduit dans
un fichier source.CIR
*l
#include "stdio.h"
#define
NbCelMax
100
float rtll000J;
maino
{
l* definition des variables*l
i, j, node, length-fiIe, nb-cell;
int
*headerl="*\AUTOMATICGENERATIONOF SPICE.CIR\*";
char
*header2=".PROBE";
char
*header3=".OPTIONS
ITL5=0 NUMDGT=9";
RELTOL=0.0001
char
Chaf
*çg1n="*".
char
char
char
char
char
char
float
int
*footerl0="VlN I 0 SIN(O";
*footerll="K) AC l0V";
*footer2='RlN
101G";
*footer4=".END";
c, ch, titre[8O];
file-rd[8O], file-wr[8O];
rtini, rout, induct, capa,rp;
flow, fhigh;
FILE
FILE
*infile;
*outfile;
printf('\titre de la courbe I ");
i=0;
while ((c=getchar0)!= \r') titre[i++] = ç;
titrelil = \0';
printf('\valeur Freq basseSPICE (kHz) I ");
scanf("7od",&flow);
printf('\valeur Freq haute SPICE (kHz) I ");
t26
&fhigh);
scanf("%od",
printf('\valeur Rout (kOhm) I ");
scanf("Vof",&rout);
printf('\inPut file name i ");
file-rd);
scanf("7os",
printf('\outPut file name I ");
scanf("7os",file-wr);
infile = fopen(file-rd, "tb" );
j=0;
do
t
fscanf(infile," Vof",&rtli]);
j++;
)
while ( < NbCelMax);
length-file=j;
nb_cell=j;
fclose(infile);
printf('\fini de lire... ");
outfile = fopen(file-wr, "*");
for (i=0; titre[i] != \0'; i++)
fprintf(outfile, "%oc",titre[i]);
fprintf(outfile, "\n7os\r", headerl);
fprintf(outfile, "70s\n", headet?);
fprintf(outfile, "70s\r", header3);
fprintf(outfile, ".AC DEC l0 TodK7odlAn",flow, fltigh);
fprintf(outfile, "70s\dl",com);
cellules\t7os\n", com , nb- cell- 1, com ) ;
fprintf(outfile, " Vos\&Vod
printf("\nfini de ecrire les headers...");
j=1;
printf('\nb-cell = %od",nb-cell-1);
for (i=l; icnb-cell;i++)
t
)
fprintf(outfile, "RTod Vod %od 7o.3f\r",i, j, j+1, rt[i-1]);
fprintf(outfile, "LVod Vod %od 5.6UI{b",i, j+l ,2+i);
fprintf(oufrle, "CVod Vod 0 0.l2NFb", i, j+2);
j +=2;
de ecrire les macros...");
printf('\fini
fprintf(outfile, "7os\n",com);
127
footerlO, (flow+fhi gh)12, footerl 1);
fprintf(outfile, "Vos%od%os\n",
fprintf(outfile, "70sM", footer2);
fprintf(outfile, "ROUT Vod0 7o.4flÔn", 2*i-1, rout);
fprintf(outfile, "7os\n", com);
fprintf(outfile, "Vos", footer4);
fclose(outfile);
r28
ANNEXB. 42.
*d<*t<{<*{<**<{<{.**{<****r<*{<d<**r.**{.r<*{<t<***(*****{<{<{<{<**t(****/
/***r*{<{.**dc{.****{,t
*l
l*
*l
/* Programmede Calcul de la Résistanceen Fonctionde Z pour la *l
l* faire entrer comme Paramètredans le fichier .CIR
jrl
lùc
{.{<**{<{<******{c*{<t
*{.*tl
**{<t<{<t€*{<*{<***t<****t<t<**{<****{<*{<:k{</
/****{<**s*****,**t
#include "stdio.h"
#include "math.h"
1000
/* Longueurde 1000 m *l
#define Maxlength
I
DeltaZ
l* pas de discretisation*l
#define
36e-3
l* Rés. à 20"C ambiante*/
#define A
I.le#define B
/* Coeff. de proportionnalité*/
FILE *fich;
maino
t
int
u
float RnO;
== NULL)
if ((fich=fopen("DATA.C","w"))
{
printf("Ouverturede <DATA.C> impossible\n");
exit(0);
l
for (i=0; i<=Maxlength;++i)
fprintf(fich," 7oeV", Rn(i*DeltaZ));
l
float Rn(int
{
float r;
eA+B*Z;
return(r);
l
D
129
ANNEXE. A3.
Modele PSpice @ 60kHz et 1000m de Longueur
{C
GBNERATION AUTOMATIQUE DU FICHIER BASSES.CIR
*
.PROBE
.OPTIONS RELTOL=0.0001ITL5=0 NUMDGT=9
.Ac DEC 100 10K 100K
*
R 1 1 2 0.036000
L 1 2 3 0.25UH
cL 3 0 0.10NF
R2 3 4 0.036110
L2 4 5 0.25UH
C 2 s 0 0.toNF
R3 5 6 0.036220
L3 6 7 0.25UH
c3 7 0 0.10NF
0.036330
R4 7 I
L4 8 I 0.25UH
C 4 9 0 0.10NF
R5 9 10 0.036440
L5 1 0 11 0.25UH
C 5 1 1 0 0.10NF
R 6 L 1 12 0.036ss0
L6 12 13 0.2sUH
C 6 13 0 0.10NF
R 7 13 t4 0.036660
L7 T4 15 0.25UH
c7 15 0 0.10NF
R 8 15 t6 0.036770
L8 t 6 17 0.25UH
c8 L7 0 0.10NF
R 9 t7 18 0.036880
L9 18 t9 0.25uH
c9 L9 0 0.10NF
R 1 0 L9 20 0.036990
L 1 0 20 2t 0.25UH
c 1 0 2 L 0 0.10NF
R 1 1 2 1 22 0.037100
22 23 0.25UH
Llt
cu 23 0 0.10NF
R 1 2 23 24 0.037210
Ll2 24 25 0.25UH
c 1 2 25 0 0.10NF
R 1 3 25 26 0.037320
130
L13
c13
R14
L14
c14
R15
L15
c15
R16
Lt6
CT6
R17
Ll7
c17
R18
L18
c18
R19
Lt9
c19
R20
L20
26
27
27
28
29
29
30
31
31
32
33
33
34
35
35
36
37
37
38
39
39
40
c20 4 L
R21
Lzl
c2r
R22
L22
c22
R23
L23
c23
R24
L24
c24
R25
L25
c2s
R26
L26
c26
R27
L27
c27
R28
L28
41
42
43
43
44
45
45
46
47
47
48
49
49
50
51
51
52
53
53
54
55
55
56
27 0.25UH
0 0.10NF
28 0.037430
29 0.25UH
0 0.10NF
30 0.037540
31 0.25UH
0 0.10NF
3 2 0.037650
33 0.25UH
0 0.10NF
3 4 0.037760
35 0.25UH
0 0.toNF
36 0.037870
37 0.25UH
0 0.10NF
38 0.037980
3 9 0.25UH
0 0.10NF
40 0.038090
4 l 0.25UH
0 0.10NF
42 0.038200
43 0 . 2 5 U H
0 0.10NF
44 0 . 0 3 8 3 1 0
45 0.25UH
0 0.10NF
46 0.038420
47 0.25UH
0 0.10NF
48 0.038530
49 0.25UH
0 0.10NF
50 0.038640
5t 0.25UH
0 0.10NF
52 0.038750
53 0.25UH
0 0.10NF
54 0.038860
s5 0.25UH
0 0.10NF
56 0.038970
57 0.25UH
r3r
c28
R29
L29
c29
R30
L30
c30
R31
L31
c31
R32
L32
c32
R33
L33
c33
R34
L34
c34
R35
L35
c35
R36
L36
c36
R37
L37
c37
R38
L38
c38
R39
L39
c39
R40
L40
c40
R41
L4t
c4l
R42
L42
c42
R43
L43
c43
57
s7
58
59
59
60
61
6t
62
63
63
64
65
65
66
67
67
68
69
69
70
71
71
72
73
73
74
75
75
76
77
77
78
79
79
80
81
EL
82
83
83
84
85
85
86
87
0 0.10NF
58 0.039080
59 0.25UH
0 0.10NF
60 0.039190
61 0.25UH
0 0.10NF
62 0.039300
63 0.25UH
0 0.10NF
64 0.039410
65 0.25UH
0 0.10NF
66 0.039520
67 0.2sUH
0 0.10NF
68 0.039630
69 0.25UH
0 0.10NF
70 0.039740
7l 0.25uH
0 0.10NF
72 0.039850
73 0.25UH
0 0.10NF
74 0.039960
75 0.25UH
0 0.10NF
76 0.040070
77 0.25UH
0 0.10NF
78 0.040180
79 0.25UH
0 0.10NF
80 0.040290
81 0.2suH
0 0.10NF
82 0.040400
83 0.25UH
0 0.10NF
84 0.040510
85 0.25UH
0 0.10NF
86 0.040620
87 0.25UH
0 0.10NF
r32
R44
L44
c44
R45
L45
c45
R46
L46
c46
R47
L47
c47
R48
L48
c48
R49
L49
c49
R50
Ls0
c50
R51
L5t
c51
R52
L52
c52
R53
L53
cs3
R54
L54
c54
R55
L55
c5s
R56
L56
cs6
R57
L57
c57
R58
L58
cs8
R59
87 88 0.040730
88 89 0.25UH
89 0 0.10NF
89 9 0 0.040840
9 0 9 1 0.25UH
9 L 0 0.10NF
9 L 92 0.040950
92 93 0.25UH
93 0 0.10NF
93 94 0.041060
94 95 0.25UH
95 0 0.10NF
95 9 6 0 . 0 4 1 1 7 0
9 6 97 0.25UH
97 0 0.10NF
97 98 0.041280
98 99 0.25UH
99 0 0.10NF
9 9 100 0.041390
100 101 0.25UH
101 0 0 . 1 0 N F
1 0 1 102 0.041500
r02 103 0.2suH
103 0 0.10NF
L03 104 0.041610
t04 105 0.25UH
105 0 0.10NF
105 106 0.041720
1 0 6 107 0.25uH
t07 0 0.10NF
t07 108 0.041830
108 109 0.25UH
109 0 0.10NF
109 110 0.041940
1 1 0 111 0.25UH
1 1 1 0 0.10NF
1 1 1 Ltz 0.042050
112 113 0.25UH
113 0 0.10NF
0.042160
1 1 3 tr4
0.25UH
115
ll4
115 0 0.10NF
0.042270
1 1 5 tl6
rr7 0.25uH
tt6
0.r0NF
0
1L7
118 0.042380
ll7
r 33
L59
cs9
R60
L60
c60
R61
L6l
c61
R62
L62
c62
R63
L63
c63
R64
L64
c64
R65
L65
c6s
R66
L66
c66
R67
L67
c67
R68
L68
c68
R69
L69
c69
R70
L70
c70
R7L
L7l
C7L
R72
L72
c72
R73
L73
c73
R74
L74
118
119
119
120
L2L
121
122
L23
123
124
125
125
L26
127
127
128
t29
129
130
131
131
132
133
133
t34
135
135
136
137
L37
138
139
139
140
t4L
L4L
L42
143
t43
144
L45
145
146
147
147
148
119 0.25UH
0 0.10NF
120 0.042490
0.25UH
tzl
0 0.10NF
122 0.042600
123 0.25UH
0 0.10NF
L24 0.042710
125 0.25UH
0 0.10NF
126 0.042820
t27 0.25UH
0 0.10NF
L28 0.042930
129 0.25UH
0 0.10NF
130 0.043040
131 0.25UH
0 0.10NF
132 0.043150
133 0.25UH
0 0.10NF
t34 0.043260
135 0.25UH
0 0.10NF
136 0.043370
137 0.25UH
0 0.10NF
138 0.043480
139 0.25UH
0 0.10NF
140 0.043590
L4t 0.25uH
0 0.10NF
t42 0.043700
143 0.25UH
0 0.10NF
144 0.043810
145 0.25UH
0 0.10NF
146 0.043920
147 0.25UH
0 0.10NF
148 0.044030
149 0.25UH
r34
c7 4 I49 0 0 . 1 0 N F
R75 149 150 0.044140
L75 150 151 0.25UH
c75 151 0 0.10NF
R 7 6 1 5 1 I52 0.044250
L76 152 153 0.25UH
c76 153 0 0.10NF
R77 153 154 0.044360
L77 154 1s5 0.25UH
c77 155 0 0.10NF
R78 155 156 0.044470
L78 156 ls7 0.25UH
c78 157 0 0.10NF
R79 157 158 0.044580
L79 158 159 0.25UH
c79 1s9 0 0.10NF
R80
L80
c80
R81
L81
c81
R82
L82
c82
R83
L83
159
160
161
l6L
162
163
163
164
165
165
L66
c83 L67
R84
L84
c84
R85
L85
c85
R86
L86
167
168
169
169
tl0
17L
l7l
172
c86 173
R87 173
L87
c87
R88
L88
174
175
lt'
L76
cE8
R89
L89
c89
177
177
rt&
r79
160
r6t
0.044690
0.25uH
0.L0NF
162 0.044800
L63 0.25UH
0 0.10NF
164 0.044910
165 0.2suH
0 0.10NF
L66 0.04s020
167 0.25UH
0 0.10NF
168 0.045130
t69 0.25UH
0 0.10NF
170 0.045240
t7L 0.25UH
0 0.10NF
L72 0.045350
173 0.25UH
0 0.10NF
t74 0.045460
t75 0.25UH
0 0.10NF
176 0.045570
t77 0.25UH
0 0.10NF
178 0.045680
t79 0.25UH
0 0.10NF
0
.:
-,
:-
r -:ir
..
135
R90
L90
c90
R91
LgL
c91
R92
L92
c92
R93
L93
t79
180
lEl
181
L82
183
183
184
185
185
186
c93 r87
R94
L94
c94
R95
L95
187
188
1E9
1E9
190
c95
LgL
R96
L96
c96
R97
L97
191
L92
193
193
194
c97 195
R98
L98
195
196
c98 r97
R99
L99
c99
197
198
199
180 0.045790
181 0.25UH
0 0.10NF
182 0.045900
183 0.25UH
0 0.10NF
184 0.046010
t 85 0.25UH
0 0.10NF
186 0.046120
187 0.25UH
0 0.10NF
18E 0.046230
189 0.25UH
0 0.10NF
190 0.046340
191 0.25UH
0 0.10NF
192 0.046450
L93 0.25UH
0 0.10NF
t94 0.046560
195 0.25UH
0 0.10NF
t96 0.046670
r97 0.25UH
0 0.10NF
198 0.046780
199 0.25UH
0 0.10NF
*
vrN I 0 SIN(O60K) AC lOv
RINlOlG
ROUT 199 0 0.5000K
*
.END
-
r36
ANNEXE. A4
/*d(*{<**.{.*{<d€*d<r.:k{€*******{r{<:**{<**r.*************tk**i'*{'*t<{'{c**d(***{<t(/
t(
I
tfl
*l
/* Programmede Calcul de la Resistanceet de I'Inductance*l
l*
/* pour les Hautes Fréquencespour le Gradient Linéaire de
l"
l* Température.
l*
*{.*********{<*:k*:f
*l
*l
*l
*l
{<t<**{<{.{<******X<*{€t'/
/r(*{<{<*{.****t<**<***t<*t<*r.{<***<i<*t
#include "stdio.h"
#include "math.h"
100
#define Maxlength
1
DeltaZ
#define
5e - 4
#define a
| . 73 5 e - 3
#define b
l.le-4
#define ki
3.r415927
PI
#define
1.6666e-7
l* Résistivité du Cuivre *l
#define Rho
Pl*4e-7
l* Perméabilité
#define Mu
*l
Magnétiquedu Vide
le6
#define freq
frequency=freq;
double
I,F
Fichiers de Stockageds Valeurs de la Résistanceet de I'Inductance
*l
FILE *fichl, *fich2;
maino
t
int
double
double
i;
R0, RnO; /*valeurs donnéesen double précision*/
L0, LnO; /* Valeurs donnéesen double précision *l
double F0, G0, DeltaiO;
if ((fich1=fopen(" DATA-RESISTANCE-IIF.C","w " )) == NULL)
{
printf("Ouverturede <DATA-RESISTANCE-HF.C>impossiblo\n");
r37
exit(0);
)
"DATA-INDUCTANCE-Ir 'C","w " )) == NULL)
if ((fich2=fopen(
{
impossible\n");
irintf("Ouverturede <DATA-INDUCTANCE-HF.C>
exit(0);
l
do
t
for (i=0; i<=Maxlength-1;++i)
fprintf(fich1,"7oeV", (double)Rn(i*DeltaZ));
*
fprintf(fi c h2,"Voe\n",(double)Ln(i DeltaZ));
frequency+= freq;
)
while( frequencY<= 5e6);
fclose(fichI );
fclose(fich2);
l
Bloc des Déclarationsdes Fonctionsissuesdes Equationsdu
l*
*|
Modèle de Hautes Fréquences
R(float
double
{
double
Z)
r;
*l
l* RésistanceCond. Interne
r
-
(ltQ{<PI*kit<a))*sqrt(Mu*pIs*(double)frequency/PI);
tf
l* Résistances'ajouteà celle du conducteurExterne I
r *= (l/(3*pI*ki*b))*sqrr(Mu*Rho*(double)frequencY/PI);
r *= pow(l+ki*2,312)-li
return(r);
)
double Rn(float Z)
t
)
double P;
;
p=(double)R(Z+DeltaZ)-(double)R(Z)
return(P);
r38
double Deltai(float
{
D
double d;
d = sqrt(Rhol(PI*Mu*frequencY));
return(d);
l
double F(float
{
4
u;
double
-Deltai(Z)la);
-Deltai(Z)la)*log(l
u = (I
return(u);
)
double G(float
{
D
u;
double
u = ( 1+D eltal(Z)h)*log( I +D eltai(Z)h):
return(u);
l
double L(float Z)
t
t;
double
* Deltai(0)));
* p 1* u1)*(Z-(2xaxalkiF'(F(Z)-F(0))/(Deltai(0)
=
(Mu/(4
r
t *= (tvrui(4*p1*[1;*12-(2*b*b/ki)*(c(z)-G(0))/(Deltai(0)*Deltai(0)));
t *= ((DeltaZ*Mu)/2*Pl)*log(b/a);
return(t);
)
double Ln(float Z)
t
)
double P;
p=( doubI e)L(Z+DeltaZ)-(double)L(Z):
return(P);
r39
ANNEXE. A5
/*rl€**{<*d<t
l*
l'l*
*
'l*
It(
tc**{<{<**{<d<*****{.**d.**t
r(*t€***r,t
t<*d,*{.{<t<r<{<*{<*tt<*{<r<{<d't<*i'{<*t'*4'<***/
Programme de calcul de I'Attenuation et de la Phase
jf
I
*l
*l
pour uneLongueurde Câble
en fonctionde la fréquence
*l
*l
Coaxial Donnée.
'Fl
làc
{'*(********t</
il.*xx*x.*x*r<d<***r<****tc{<****{<****{<*****<***{<***{<****<*rc***t
#include "stdio.h"
#include "math.h"
#define
#define
#define
#define
#define
#define
#define
#define
#define
#define
#define
#define
M-2PI
c
6.283185307
56e-7
L
l* 0.56e_7H/m * I
l2e -l I
l* I2e-11 F/m *l
L*C
rc
1e+6
f req
468e-4
l* 468e-4 Ohm/m * I
a
8e-5
/* 8e-5 Ohm/m/oC*/
b
1
deltaX
deltaX*deltaX
deltaXZ
500
Long-Cable
0.02
GI
100e03
Pas
maino
t
double
double
int
double
double
double
FILE
C-deltaX2, Gl-deltax, Gl-L-deltaX;
LC-deltaX2, a-bn-deltaX;
i , j, k, N, NbrElts;
Module,Gain=1,Phase,
Phi, Frequency=freq,Attenuation;
Al, Al-} Bl, Br-2, Cl, Cl-| Dl, Dl-Z;
Omega,Omega2;
*fichl,*fich2;
== NULL)
if ((fichl =fopen("ATTENUATION.C","w"))
{
printf("Ouverturede <ATTENUATION.C>impossiblo\n");
exit(0);
l
== NULL)
if ((fich2=fopen("PHASE.C","w"))
140
printf("Ouverturede <PHASE.C>impossiblê\t");
exit(0);
l
NbrElts = (int)Long-Cable/(double)deltaX;
C_deltaX2= (double)C*deltaX2;
Gl_deltaX = (double)Gl*deltaX;
Gl L-deltaX = (double)L*Gl-deltaX;
LC-deltaX} = (double)LC*deltaX2;
do
Omega = (double)M-2Pl*Frequency;
OmegaZ= Omega*Omega;
Gain= 1.0;
Phase= 0.0;
A1 = 1+LC-deltaX2*Omega2;
Dl = Gl-L-deltaX*Omega;
Al-2 = A1*41;
DI-2 = Dl*Dl;
for (N=NbrElts;N>0; N--)
{
a-bn-deltaX = a+b*(N-1)*deltaX;
Bl = -C-deltaX2*Omega*a-bn-deltaX;
Cl = 1+Gt-deltaX*a-bn-deltaX;
BI-2 = Bl*Bl;
Cl2 = Cl*Cl;
Module = (Al -2+Bl -2)l(Cl -Z+DI -2);
Module = sqrt(Module);
Phi = atan((Bl*Cl-Al*D1y(Al*Cl+Bl*Dl));
Phase+= Phi;
Gain x= Module;
)
Attenuation = -20*log10(Gain);
y/ I 000,Attenuation);
%oa (dB)\r ",Frequenc
fprintf(fichl,"Voe (kHz)
phase *= 360/(double)M_2Pl;
%oe (oln",FrequencY/1000,Phase);
(kHz)
fprintf(fi ch2,"%oe
printf("Freq. = Voe(kHz) Phase= %oe(o) Attenuation= Voe
( O g) V " , F r e q u e n c y /0l 0 0 , P h a s e , A t t e n u a t i o n ) ;
Frequency += Pas;
l
l
while (Frequency<= 3000e3);
fclose(fichl);
fclose(fich2);
t4l
ANNEXE. A6
*4<4.*{.rl€{<**c{<,***{<**:1.{.t<**{<r.t<{<{<{.*r.{.t**{<**{<{<{c**{<**tl€tFt<d<{<:l'***{<{<
/<{€d.{<*{<*r.d<t(*{<:t
Programmede Calcul de la Temperaturedu Defaul en l,igne
Utilisant la Methodedes DifferencesFinies pour une Valeur
d'une AttenuationMesureepour une Longueurde l00m
*d<**d<**d<{.*t(**d({<**d.**t(t
#define
#define
#define
#def ine
#define
#define
#define
#define
#define
#define
#define
#define
#define
#define
#define
#define
#define
**t<*****r.******{<**r<*t<d<{<tc****{<*r<{<**t<***{<{<{<t€**t'/
6 .2831853
M-2PI
0.25e-6 l* 0.25 pH/m *l
L
le_10
/*lOpF/m*/
C
L*C
rc
8 0 e 03
f req
36e-3
7* 36a/km *l
a
l.le-4
b
I e0
deltaX
deltaX*deltaX
deltaX2
100
Long-Cable
M-2PI*freq
Omega
Omega*Omega
Omega}
0.02
Gl
1.0 /* issuede la valeur
GainMes
mesurée * |
90
Longueurl
240.0
coef
20e0
TemPAmb
#include "stdio.h"
#include "math.h"
maino
{
double
double
int
double
double
double
C-deltaX2,Gl-deltaX, Gl L-deltaX;
C2-deltaX2, LC-deltaX2, a-bn-deltaX;
i , j, k, N, NbrM, NbrElts;
xl, x2, x3, x4, Module,Gain=l'O,Phase;
Al, Al-2. Bl, B1-2, Cl, CL-z, Dl, D1-2;
Rx, Delta, TemPerature;
NbrElts = (int)Long-Cabte/(double)deltaX;
NbrM = l+(int)Longueurl/(double)deltaX;
C-deltaX/ = (double)C*deltaX2;
Gl-deltaX = (double)Gl*deltaX;
Gl-L-deltaX = (double)L*Gl-deltaX;
r42
LC-deltaX? = (double)LC*deltaX2;
C}-deltaX2 - (double)C*C-deltaX2;
Al = 1+LC-deltaX2*Omega2;
Dl = Gl L-deltaX*Omega;
AI-2 = A1*A1;
DL-z= Dl*Dl;
for (N=NbrElts;N>0;N--)
{
if (N != NbrM)
{
a_bn_deltaX= (double)a;
Bl = -C-deltaX2*Omega*a-bn-deltaX;
Cl = l+Gl-deltaX*a-bn-deltaX;
BI-2 = Bl*81;
Cl-z = Cl*Cl;
Module - (Ar -2+Bl -z)l(Cl -2+DI -2);
Module = sqrt(Module);
Gain *= Module;
)
l
Gain = (double)GainMes/Gain;
/* printf("Gain= ToeV",Gain);*/
*Gl* Gl) ;
x 1 = deltaX2*(Omega2*C2-deltaX2-Gain* Gain
x2 = Gl-deltaX*Gain*Gain;
x3 = Al-2-l-Dl-2;
Delta = x2*x2-x1*x3;
Rx = (-x2+sqrt(Delta))/xl;
Temperature= TempAmb + ((Rx/(double)a)-1.O)*coef;
printf("Rx = %oe a = 7oeV",Rx,a);
printf("Temperature= Voe RoomTemp=
mb);
7oe\n",TemPerature,TemPA
)
.....'.,'.
r43
ANNEXE. A7
- Particularités:
Le circuit intégré LM35 est d'un emploi facile. AlimenéentreV+
et la masseGND, nous obtenonsdirectementen sortie, une tension en
mV équivalenteau dixième de degré CELSIUS. C'est I'application de
base ta plus courante. Toutefois, dans ces conditions, il ne peut
descendresous 20 rrlV, et se limite donc à une températurede zoc'
Pour obtenir la pleine échelle, il est nécessairede "tirer" vers une
tension plus négative que GND la broche de sortie. Une résistance
reliée à une tension V- correspondbien à ce que nous recherchons
(voir ci-dessous).
150'c
R=V-/50p4
Applicationen PleineEchelle
Il faut toutefois noter que les liaisons de connexion du capteur
vers I'unité d'exploitation doivent être courtes et tenir compte des
charges en préience. Ainsi le montage s'associe à un module
si la
le biais de convertisseurananlogique-numérique
d'affichage par
-référence
Vref est bien ajstée à lV; la lecture de la
tension àe
température s'effectue directement (voir ci'dessous).
rl
Ê,
v)
u2
(D
I
U
c)
z
IFH
lg lE'
l"u l'
lÈ lu
lpr, l(
tste
lsl$
lrllH
15
'-ËlH
f\,,
\)F
X
F
TA
EËH
IA
hJ
a
'-,
u
o
I
F
d'
9R
8E
-
-v
It
ÈÉ
>Ë
t44
HP 54501A
Oscilloscope
Echantillonneur
FF
HP 81164
Générateur
ANNEXE. A8
r45
E()
(Dô'
x' o'
I(Dr
oro
=!1