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Mathématiques ENSM O11
2013-2014
Trigonométrie sphérique.
Le mode d’emploi.
Les triangles sphériques :
S désigne une sphère de centre O et de rayon 1.
A
b
Â
b
c
Ĉ
O
B̂
B
b
a
C
b
• Les grands cercles : Ce sont les cercles de centre O et de rayon 1.
• Les triangles sphériques : Ils sont formés par des arcs de grands cercles se coupant aux
sommets A, B et C.
La longueur d’un côté d’un triangle sphérique est égal à la mesure en radians de son angle
(géométrique) au centre O. On les note généralement a, b et c en correspondance avec les
sommets opposés.
• Les angles sphériques : Ce sont les angles géométriques des vecteurs tangents aux côtés d’un
triangle sphérique (voir figure). On les note Â, B̂ et Ĉ en correspondance avec les sommets du
triangle.
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2013-2014
Les formules fondamentales :
On ne considère ici que des triangles sphériques dont les longueurs des côtés appartiennent à l’intervalle
]0, π[.
• La somme des angles : 0 < a + b + c < 2π et π < Â + B̂ + Ĉ < 3π.
Le nombre σ = π − (Â + B̂ + Ĉ) est appelé l’excès sphérique.
• Les formules des cosinus :

b

 cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A
b
–
cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B

 cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C
b

b = − cos B
b cos C
b + sin B
b sin C
b cos a

 cos A
b = − cos A
b cos C
b + sin A
b sin C
b cos b
–
cos B

 cos C
b = − cos A
b cos B
b + sin A
b sin B
b cos c
On les appelle aussi formule de Gauss.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) était un mathématicien allemand.
• La
 formule
b =

 cos A
b =
cos B

 cos C
b =
d’analogie des sinus :
b cos C
b + sin B
b sin C
b cos a
− cos B
b cos C
b + sin A
b sin C
b cos b
− cos A
b cos B
b + sin A
b sin B
b cos c
− cos A
Cette formule ne permet pas de préciser si les angles sont aigus ou obtus.
Les autres formules :
• Les
 formules des 4 éléments consécutifs :
b + sin C
b cot A
b

 cot a sin b = cos b cos C
b + sin A
b cot B
b
cot b sin c = cos c cos A

 cot c sin a = cos a cos B
b + sin B
b cot C
b
La cotangente est définie par cot x =
1
.
tan x
• Les
 formules de Delambre :
b+B
b
b
A
c
a+b
C


cos
cos
=
cos
sin



2
2
2
2


b−B
b
b

A
c
a
+
b
C

 cos
sin
= sin
sin
2
2
2
2
b
b
b

A
+
B
c
a
−
b
C


sin
cos
=
cos
cos


2
2
2
2



b−B
b
b

A
c
a
−
b
C
 sin
sin
= sin
cos
2
2
2
2
Jean-Baptiste Delambre (1749-1822) était un astronome.
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• Les formules de Neper :

b b

cos A−2 B
a+b
c


tan
tan
=

b b

2
2

cos A+2 B



b B
b

A−

sin 2
a−b
c


=
tan
 tan
b
b
A+
B
2
2
sin 2
a−b

b+B
b
b

cos 2
A
C


tan
=
cot

a+b

2
2

cos 2


a−b

b−B
b
b

sin 2
A
C


cot
=
 tan
2
2
sin a+b
2
John Neper (1550-1617) était un mathématicien écossais, inventeur des logarithmes.
• La formule de Girard :
Si R désigne le rayon de la sphère, l’aire du triangle sphérique ABC est
b+B
b+C
b − π) = R2 σ
A = R 2 (A
où σ est l’excès sphérique du triangle.
Albert Girard (1595-1632) était ingénieur.
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