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Mathématiques ENSM O11 2013-2014 Trigonométrie sphérique. Le mode d’emploi. Les triangles sphériques : S désigne une sphère de centre O et de rayon 1. A b  b c Ĉ O B̂ B b a C b • Les grands cercles : Ce sont les cercles de centre O et de rayon 1. • Les triangles sphériques : Ils sont formés par des arcs de grands cercles se coupant aux sommets A, B et C. La longueur d’un côté d’un triangle sphérique est égal à la mesure en radians de son angle (géométrique) au centre O. On les note généralement a, b et c en correspondance avec les sommets opposés. • Les angles sphériques : Ce sont les angles géométriques des vecteurs tangents aux côtés d’un triangle sphérique (voir figure). On les note Â, B̂ et Ĉ en correspondance avec les sommets du triangle. 1 Mathématiques ENSM O11 2013-2014 Les formules fondamentales : On ne considère ici que des triangles sphériques dont les longueurs des côtés appartiennent à l’intervalle ]0, π[. • La somme des angles : 0 < a + b + c < 2π et π <  + B̂ + Ĉ < 3π. Le nombre σ = π − ( + B̂ + Ĉ) est appelé l’excès sphérique. • Les formules des cosinus : b cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A b – cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C b b = − cos B b cos C b + sin B b sin C b cos a cos A b = − cos A b cos C b + sin A b sin C b cos b – cos B cos C b = − cos A b cos B b + sin A b sin B b cos c On les appelle aussi formule de Gauss. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) était un mathématicien allemand. • La formule b = cos A b = cos B cos C b = d’analogie des sinus : b cos C b + sin B b sin C b cos a − cos B b cos C b + sin A b sin C b cos b − cos A b cos B b + sin A b sin B b cos c − cos A Cette formule ne permet pas de préciser si les angles sont aigus ou obtus. Les autres formules : • Les formules des 4 éléments consécutifs : b + sin C b cot A b cot a sin b = cos b cos C b + sin A b cot B b cot b sin c = cos c cos A cot c sin a = cos a cos B b + sin B b cot C b La cotangente est définie par cot x = 1 . tan x • Les formules de Delambre : b+B b b A c a+b C cos cos = cos sin 2 2 2 2 b−B b b A c a + b C cos sin = sin sin 2 2 2 2 b b b A + B c a − b C sin cos = cos cos 2 2 2 2 b−B b b A c a − b C sin sin = sin cos 2 2 2 2 Jean-Baptiste Delambre (1749-1822) était un astronome. 2 Mathématiques ENSM O11 2013-2014 • Les formules de Neper : b b cos A−2 B a+b c tan tan = b b 2 2 cos A+2 B b B b A− sin 2 a−b c = tan tan b b A+ B 2 2 sin 2 a−b b+B b b cos 2 A C tan = cot a+b 2 2 cos 2 a−b b−B b b sin 2 A C cot = tan 2 2 sin a+b 2 John Neper (1550-1617) était un mathématicien écossais, inventeur des logarithmes. • La formule de Girard : Si R désigne le rayon de la sphère, l’aire du triangle sphérique ABC est b+B b+C b − π) = R2 σ A = R 2 (A où σ est l’excès sphérique du triangle. Albert Girard (1595-1632) était ingénieur. 3