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Année scolaire 2013/2014
PCSI
ds9
Le 24 mai 2014
CALCULATRICES NON AUTORISEES
Les résultats seront encadrés. Mode d’emploi:
• Steve remplace l’exercice 1 par l’exercice 5
• Les autres étudiants traitent les exercices de 1 à 4.
Exercice 1
X est une variable aléatoire finie à valeurs entières {0, · · · , n} de loi (pk )(k∈{0,n} où pk = P (X = k), on considère
k=n
X
la fonction gX définie sur R par gX (x) =
pk xk , gX est appelée fonction caractéristique de X.
k=0
1. Exemples: déterminer la fonction caractéristique
• d’une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p
• d’une variable aléatoire binomiale de paramètres n et p
2. On revient au cas général
00
0
,
et gX
(a) Déterminer les expressions de gX
0
0
00
(b) En déduire que E(X) = gX
(1) et trouver l’expression de V(X) en fonction de gX
(1) et gX
(1).
(c) Retrouver ainsi l’espérance et la variance d’une loi binomiale.
(d) Retrouver ainsi l’espérance et la variance d’une loi uniforme sur [[1, n]].
(e) Montrer, X étant toujours une variable aléatoire finie à valeurs entières, que, pour tout élément s de
]0, 1], gX (s) = E(sX ), Précisez quel théorème vous utilisez.
Exercice 2 Soit n un entier naturel non nul, on considère n boı̂tes numérotées de 1 à n, notées B1 , B2 , . . . , Bn .
Pour tout k ∈ [[1, n]], la boı̂te Bk contient k boules, elles-mêmes numérotées de 1 à k.
L’expérience consiste à choisir une boı̂te au hasard puis à en extraire une boule (toujours au hasard).
On note Xla variable aléatoire égale au numéro de la boı̂te choisie et Y la variable égale au numéro de la boule
tirée.
1. Déterminer la loi conjointe du couple (X, Y ).
2. En déduire la loi de Y (on laissera le résultat sous forme de somme.
3. Calculer, à l’aide d’une interversion de variables, l’espérance de Y .
4. Calculer, à l’aide d’une interversion de variables, la variance de Y .
Exercice 3
Une machine à sous est constituée de 4 roues mobiles. Chacune est partagée en 8 secteurs identiques dont un
seul porte l’inscription ’gagné’. On fait tourner chaque roue derrière un panneau qui est muni d’une fenêtre.
La rotation de chaque roue amène au hasard l’un quelconque de ses secteurs dans la fenêtre de la machine.
Pour une mise de 2euros on a le droit d’immobiliser les roues de son choix et de faire tourner les autres.
Pour gagner à ce jeu, il faut amener tous les secteurs gagnants dans la fenêtre de la machine.
Au départ, aucun secteur gagnant n’est visible.
On a droit à 5 essais. Si on perd, on perd donc 10 euros. Si on gagne en c essais, on gagne une somme égale à
Seuros d’où on décompte 2 ∗ x euros correspondant à la mise totale.
Par exemple Si S = 20
• Si à l’essai 1, les roues 1 et 3 ont affiché leur secteur gagnant et pas les deux autres.
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• On réalise un second essai. On immobilise les roues 1 et 3 et on fait tourner les roues 2 et 4 , si la roue 2
a affiché son secteur gagnant et pas la roue 4.
• On réalise un troisième essai gardant immobiles les roues 1,2,3 et en faisant tourner uniquement la roue
4. Si à ce moment la roue 4 affiche son secteur gagnant, on dit qu’on a gagné à ce jeu.
• Dans ce cas, le gain du joueur est de 20 − 3 × 2 = 14 euros.
• Si le joueur a perdu la partie, son gain est de −10 euros.
1. Lors d’un premier essai, on fait donc tourner les 4 roues. Soit X1 le nombre de secteurs gagnants obtenus.
Quelle est la loi de X1 ? Quelle est la probabilité de gagner à ce premier essai?
2. On suppose que ce premier essai n’est pas concluant et on procède à un deuxième essai, en bloquant les
roues ayant éventuellement, amené le bon secteur.
(a) Sachant que l’événement (X1 = k), avec 0 ≤ k ≤ 3, est réalisé, quelle est la probabilité de gagner à
ce deuxième essai?
(b) A l’aide de la formule des probabilités totales en déduire la probabilité de gagner en exactement deux
essais.
3. On définit la variable Y par:
• Si le joueur a perdu, on pose Y = 0
• Sinon, Y désigne le nombre d’essais effectués pour gagner à ce jeu.
(a) Donner la probabilité qu’une roue donnée n’amène jamais le secteur gagnant au bout de k essais
consécutifs. En déduire la probabilité pour qu’une roue donnée amène le secteur gagnant en au plus
k essais.
(b) En déduire, pour k compris entre 1 et 5,l’expression de P (Y ≤ k) c’est-à-dire la probabilité de gagner
en au plus k essais.
(c)
• Trouver, pour ∈ [[1, 5]], une relation entre P (Y = k), P (Y ≤ k) et P (Y ≤ k − 1)
• En déduire la loi de Y .
(d) On note G le gain du joueur. Donner la loi de G ainsi que l’expression de son gain moyen.
(e) Comment déterminer S pour que le jeu soit considéré comme équitable?
Exercice 4
On considère E un espace vectoriel rapporté à une base B = (e1 , e2 , e3 ).
Dans tout l’exercice on associe à tout nombre réel a l’endomorphisme Φa de R3 défini par les conditions :


 Φa (e1 ) = e1 + 2e2 + e3
Φa (e2 ) = −e1 + (a − 3)e2 + (a − 1)e3


Φa (e3 ) = −2e1 − 4e2 + ae3
1. Ecrire la matrice de Φa dans la base (e1 , e2 , e3 ).
2. On considère Φ0 .
(a) Montrer que Φ0 est un automorphisme.
(b) Déterminer la matrice de son automorphisme réciproque, dans la base (e1 , e2 , e3 ).
3. On revient au cas général
(a) Déterminer les valeurs du paramètre a pour lesquelles Φa est de rang 3.
(b) Déterminer, pour chaque valeur du paramètre a, le noyau de Φa , noté Ker(Φa ). et l’image de Φa
notée Im(Φa ) (on demande dans chaque cas une base et la dimension de Ker(Φa ) et Im(Φa )).
(c) Déterminer les valeurs de a pour lesquelles le vecteur e1 − e2 − e3 appartient à l’image de Φa .
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

 f1 = e1 + 3e2 − e3
4. On considère maintenant les trois vecteurs : f2 = 2e1 + 4e2 − e3


f3 = e 3
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(a) Montrer que (f1 , f2 , f3 ) est une base de E, on note B 0 cette base.
(b) Calculer Φ1 (f1 ), Φ1 (f2 ), Φ1 (f3 ), en déduire la matrice de Φ1 dans la base B 0 .
5. On considère l’endomorphisme Φ−2 .
Pour λ ∈ R, on note Eλ l’ensemble défini par u ∈ R3 tels que Φ−2 (u) = λu
(a) Déterminer les valeurs λ telles que Eλ 6= {0} (λ n’est pas forcément un nombre entier ).
(b) Pour chacune des valeurs de λ trouvée à la question précédente, déterminer Eλ (c’est-à-dire donner
une base et la dimension de Eλ .
(c) En déduire une base (v1 , v2 , v3 ) dans laquelle la matrice de Φ−2 est une matrice diagonale que l’on
précisera.
Pour Steve: remplacer l’exercice 1 par l’exercice suivant:
Exercice 5 Un individu gravit un escalier. A chaque fois, avant de faire un pas, il lance une pièce non équilibrée
donnant pile avec la probabilité p (avec 0 < p < 1/2) et progresse d’une marche s’il obtient pile et enjambe
deux marches d’un coup s’il obtient face.
1. Pour n ∈ N∗ , soit Xn le nombre de marches gravies à l’issue des n premiers pas et Xn0 le nombre de fois
où l’individu a progressé par enjambées de 2 marches au cours des n premiers pas.
(a) Déterminer une relation simple liant Xn et Xn0 . En déduire la loi de Xn .
(b) Donner les valeurs de l’espérance et de la variance de Xn .
2. Pour n ∈ N∗ , soit Yn le nombre aléatoire de pas justes nécessaires pour atteindre ou dépasser la nème
marche.
(a) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire Yn ?
(b) Déterminer la loi de Y1 , puis celle de Y2 et préciser l’espérance de ces deux variables aléatoires.
(c) Montrer que ∀k ∈ N,
∀n ≥ 3
P (Yn = k) = pP (Yn−1 = k − 1) + (1 − p)P (Yn−2 = k − 1)
(d) Montrer que pour n ≥ 3, E(Yn ) = p.E(Yn−1 ) + (1 − p)E(Yn−2 ) + 1.
3. On considère l’ensemble E des suites (un )n∈N∗ telles que ∀n ≥ 3,
un = pun−1 + (1 − p)un−2 + 1
(a) Montrer qu’il existe un réel α, que l’on déterminera, tel que la suite (αn) appartient à E.
(b) Montrer que (un ) appartient à E si et seulement si la suite (vn )n∈N∗ où vn = un − αn vérifie la
relation: ∀n ∈ N∗ , vn = pvn−1 + (1 − p)vn−2 .
(c) En déduire la valeur de E(Yn ).
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