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Capitolo 3
Evidenziando le matrici ridotte di massa, rigidezza e smorzamento e il vettore ridotto
delle sollecitazioni, si può riscrivere
[m]⎧⎨q ⎫⎬ + [s]⎧⎨q ⎫⎬ + [k ]⎧⎨q ⎫⎬ = ⎧⎨ f ⎫⎬
••
•
⎩ ⎭
⎩ ⎭
⎩ ⎭
(3.4)
⎩ ⎭
Si intuisce come il tratto caratterizzante della riduzione risieda nella matrice [Ψ]. Essa
assume forme diverse a seconda della tecnica di riduzione che si sceglie di adottare.
Il software da noi utilizzato, ovvero I-Deas versione 7, dispone di tre alternative:
-
il metodo di Guyan [28],[29]
-
il metodo modale
-
il metodo di Craig-Bampton [24],[25],[26],[27] [30],[31], implementato sotto il
termine di Constraint Dynamics Solution.
In questo lavoro si è deciso di utilizzare il metodo di Craig-Bampton, in quanto
giudicato sufficientemente rigoroso (introduce un errore di approssimazione minore di
quello comportato da altre tecniche quali, ad esempio, il metodo di Guyan) e preferibile
ad altri poiché il relativo algoritmo presenta peculiarità vantaggiose in vista della
successiva integrazione con Simulink. Inoltre, il metodo in parola è il medesimo
adottato in alcuni articoli scientifici che sono stati presi a riferimento per il presente
lavoro ([14],[18],[19],[22]).
La scelta dei gradi di libertà del modello così ridotto aveva però bisogno di una
validazione, che confermasse che il comportamento dinamico della struttura venisse
ben simulato. Si è confrontata allora la risposta del modello ottenuto con il metodo di
Craig-Bampton con quella di un modello ridotto secondo la tecnica modale, la quale era
meglio conosciuta dal punto di vista teorico.
Nel suddetto metodo modale la matrice [Ψ] è derivata della matrice dei modi propri del
sistema, [Φ], mediante l’opportuna eliminazione di una parte delle colonne. Queste
colonne sono gli autovettori del problema dinamico (3.1), cioè definiscono, a meno di
una costante moltiplicativa determinata dalle condizioni iniziali, le ampiezze degli
spostamenti ad ogni grado di libertà per ciascuno degli n modi propri del sistema
discreto. Tali vettori hanno l’importante proprietà dell’ortogonalità rispetto alle matrici
di massa e di rigidezza del sistema (perlomeno i vettori che rappresentano modi di
vibrare a frequenze diverse da zero: il discorso cambia leggermente in presenza di moti
rigidi), da cui discende, in caso di smorzamento trascurabile o proporzionale, il
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