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Gymnase
Auguste Piccard
TRAVAIL DE MATURITE
Les Fractions Continuées
Suite de Fibonacci
Romain Gilliéron 3MS3
Travail supervisé par
Bernard Verrey
12 novembre 2007
Résumé
Ce travail présente quelques possibilités d’utilisation des fractions continuées.
La première partie introduit les notions de base, mêlant appellations, notations et histoire. Il y est présenté un exemple d’utilisation concrète de
ces fractions : l’horlogerie, et en particulier l’horloge astronomique de Strasbourg, dont le créateur avait utilisé les fractions continuées pour trouver
la meilleure approximation des rapports de temps de révolution entre les
planètes, afin d’obtenir des fractions raisonnables pour la fabrication des
engrenages. Dans ce travail est détaillé le rapport entre Jupiter et la Terre.
La deuxième partie présente la suite de Fibonacci et la démonstration d’une
de ses propriétés, soit que la division d’un terme de la suite par son précédent
tend vers le nombre d’or lorsque les termes croissent. Il y est démontré au
passage quelques théorèmes utiles sur le sujet. Cette partie présente donc
l’une des applications de ces fractions sur un plan purement théorique.
A l’image des mathématiciens du XVIe siècle Bombelli et Cataldi, la troisième
partie présente deux méthodes d’extraction de racines carrées par les fractions continuées.
Table des matières
1 Introduction
1.1 Présentation du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2 Les fractions continuées
2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Horloges astronomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
5
3 La suite de Fibonacci
3.1 Biographie de Fibonacci . . . . .
3.2 Fractions continuées et Fibonacci
3.2.1 Présentation de la suite .
3.2.2 Fraction d’or . . . . . . .
3.3 Convergence vers le nombre d’or
.
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7
7
7
7
8
10
4 Extraction de racines carrées (par les fractions continuées)
4.1 Méthode 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Méthode 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Calcul de fractions correspondantes . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
17
18
5 Conclusion
21
Bibliographie
23
A Annexe : Développement de la
1
√
.
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13 par la méthode 2
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24
Chapitre 1
Introduction
1.1
Présentation du travail
J’ai toujours été attiré par les mathématiques. Démontrer des théorèmes,
pouvoir être sûr à 100% de mes réponses... il n’y avait aucun autre domaine
étudié en cours dans lequel je puisse avoir dès le début des certitudes, non
pas parce que je les avais apprises, mais parce que je les avais vérifiées ou
trouvées par moi-même. C’est pourquoi je n’ai pas hésité à prendre l’option
math-physique au début du gymnase et maintenant à prendre un travail de
maturité sur les mathématiques.
Au début de ce travail, j’avais l’intention d’écrire un texte regroupant plusieurs théorèmes démontrés sur le sujet de Fibonacci et de sa célèbre suite de
nombres. J’avais entendu parler de cette suite et je désirais découvrir comment celle-ci pouvait apparaı̂tre dans tant de domaines différents, trouver
une utilisation dans des domaines qui a priori n’avaient aucun point commun.
Pendant que j’étudiais la première démonstration, j’ai découvert que l’on
utilisait des fractions continuées pour la démontrer. Je n’avais encore jamais
entendu parler de telles fractions, et j’ai eu envie de me pencher sur ces fractions particulières, pour en découvrir certaines propriétés et comprendre leur
utilité sur un plan pratique. J’ai vite remarqué que ces fractions pouvaient
être utiles dans bon nombre de domaines, et ai été surpris par la quantité
de théorèmes que l’on pouvait trouver contenant ces fractions, et le nombre
de matières tournant autour d’elles.
Dans ce travail, je vais expliquer ce que sont ces fractions continuées, présenter
quelques théorèmes en rapport avec la suite de Fibonacci ainsi que sur ces
fractions, et présenter l’un des domaines pratiques dans lequel elles peuvent
être utilisées, les horloges astronomiques. Je conclurai avec un ”bilan” de
l’expérience qu’a été ce travail et de ce qu’elle m’a apporté.
2
Chapitre 2
Les fractions continuées
2.1
Présentation
Une fraction continuée est une fraction du type
ω = a0 +
1
a1 +
1
a2 +
1
1
a3 + ...
On remarque que cette fraction consiste en plusieurs étages de fractions,
c’est pourquoi on les appelles parfois ”fractions à étages”. Dans mon travail,
j’ai choisi d’utiliser le terme de fractions continuées, traduction du terme
Anglais ”continued fractions”, inventé au XVIIe siècle par John Wallis. Il
existe encore un troisième terme pour désigner les mêmes fractions, qui est
”fraction continue”. Ce dernier est le plus utilisé dans la langue française.
Bien que la différence entre les termes ”continuée” et ”continue” ne soit pas
grande, ce dernier peut porter à confusion, car le mot ”continu” peut en
maths désigner quelque-chose qui s’étend à l’infini, et il faut savoir que les
fractions continuées peuvent être infinies, mais aussi finies, et ne comporter
que peu d’étages de fractions. L’anglais évite cette confusion en utilisant
”continued” et non ”continuous”. Il en résulte que les deux appellations
désignent la même chose et sont toutes deux tolérées.
Revenons sur certains termes bons à savoir lorsque l’on parle de fractions
continuées. Tout d’abord, les grandeurs {a0 ; a1 ; a2 ; a3 ; . . .} sont appelés ”quotients partiels”. Il faut préciser que les quotients partiels sont des entiers
positifs (excepté pour a0 qui peut être négatif). Lorsqu’on parle de fraction
continuée, les numérateurs sont égaux à 1. Si ce n’est pas le cas, cette fraction est appelée ”fraction continuée généralisée”, auquel cas tout numérateur
est autorisé. Exemple de fraction continuée généralisée [réf. (7)] :
4
=1+
π
2+
3
1
32
2+
52
72
2+ 2+...
Cette fraction est l’une des premières fractions continuées trouvées dans
l’histoire. Elle a été découverte au XVIIe siècle par le mathématicien irlandais William Brouncker, qui est l’un des nombreux mathématiciens à avoir
travaillé sur les fractions continuées.
Mais revenons à cette fraction. Il faut savoir que les fractions continuées
généralisées étaient en réalité les premières fractions continuées découvertes.
C’est uniquement par la suite que ces fractions ont été classées comme
généralisées avec l’approfondissement des études sur le sujet.
Bien que certains historiens affirment que les fractions continuées aient
existé dès le début des mathématiques, et il existe la preuve que certains
mathématiciens les aient déjà utilisées avant 1500 (par exemple le célèbre
Fibonacci), on associe souvent le début de celles-ci avec deux mathématiciens
italiens du XVIe siècle, Rafael Bombelli, celui-là même qui inventa les nombres
complexes, et Pietro Antonio Cataldi, qui vécut jusqu’au début du XVIIe .
Ces deux mathématiciens ont travaillé sur une nouvelle méthode d’extraction
des racines carrées à l’aide des fractions√continuées. Par exemple, Bombelli
trouva un algorithme pour extraire la 13 et découvrit la fraction exacte
suivante
√
4
13 = 3 +
4
6 + 6+...
Par√la suite, Cataldi utilisa une méthode similaire pour approcher la valeur
de 18 et trouva les 15 premiers convergents de cette racine, notant que
chaque résultat était alternativement plus grand ou plus petit que la valeur
réelle (voir chapitre 4 pour les méthodes d’extraction de racines carrées par
les fractions continuées). C’est aussi lui qui donna naissance à la notation
actuelle des fractions continuées.
En parlant de notations, il en existe plusieurs pour désigner des fractions
continuées.
La première notation consiste en l’écriture des quotients partiels uniquement. C’est la notation la plus utilisée.
ω = [a0 ; a1 , a2 , a3 , . . .]
Contrairement à la première notation, la seconde contient les quotients
partiels mais aussi les numérateurs des fractions. Dans le cas de fractions
continuées ”de base”, elle n’est pas utile puisque le numérateur est toujours
unitaire. Mais dans le cas de fractions continuées généralisées, il est plus aisé
de travailler avec cette deuxième notation.
1|
1|
1|
ω = a0 +
+
+
+ ...
|a1 |a2 |a3
Quant à la troisième notation, elle est approximativement la même que la
deuxième, et est également utilisée pour les fractions généralisées.
ω = a0 +
1 1 1
...
a1 + a2 + a3 +
4
Il est finalement possible, pour les fractions continuées infinies, de les écrire
sous forme de limites.
[a0 ; a1 , a2 , a3 , . . .] = lim [a0 , a1 , a2 , a3 , . . . , an ]
n→∞
Les fractions continuées contiennent plusieurs propriétés très intéressantes.
Je vais tout d’abord présenter la propriété la plus utilisée. Il s’agit d’approximations. En général, lorsque l’on veut trouver l’approximation d’une
fraction, on arrondit son numérateur et dénominateur (dans le même sens
pour être le mieux arrondi). Si maintenant on s’intéresse à la même fraction, écrite cette fois sous forme de fraction continuée, et que l’on arrondit
cette fraction, l’approximation sera bien plus précise. Je vais éclaircir cette
propriété à l’aide d’un exemple.
ω=
2183
= 2, 756313131 . . .
792
Voici les premiers termes de celle-ci en fraction continuée :
[2, 1, 3, 9, 1, 1, 1, 6, . . .]
en arrondissant la première fraction pour obtenir des dizaines, on obtient :
2180
218
=
= 2,759493671
790
79
On remarque que l’approximation trouvée est bonne jusqu’au 2e chiffre après
la virgule. Donnons maintenant l’approximation de la fraction continuée :
[2, 1, 3, 9] =
102
= 2.7567567 . . .
37
On remarque qu’avec uniquement les 4 premiers quotients partiels de la
fraction continuée, la fraction est plus précise que la fraction arrondie plus
haut ! Cette propriété a été grandement utilisée par les mathématiciens afin
d’arriver à d’excellentes approximations à l’aide d’une méthode très simple.
Ils ont également remarqué que ces approximations sont systématiquement
plus grandes puis plus petites que la valeur réelle.
2.2
Horloges astronomiques
La méthode pour obtenir des arrondis par les fractions continuées a été très
utilisée par le passé. Pour prendre un exemple pratique, Christian Huygens,
mathématicien, astronome et physicien du XVIIe , fut le premier à utiliser
les fractions continuées pour obtenir le nombre de dents d’un rouage afin
d’approcher au mieux le rapport de vitesse des planètes dans la construction des horloges astronomiques.
5
Le cas suivant est tiré d’un texte sur l’horloge astronomique de Strasbourg
[réf. (3)]. Le réalisateur de cette horloge n’est pas Huygens, mais JeanBaptiste Schwilgué (fin XVIIe , début XVIIIe ). Je ne prendrai pas pour
exemple une horloge d’Huygens, car ce dernier est plus connu pour avoir
découvert le balancier à l’arrière des pendules, qui donne une meilleure
régularité à l’horloge, que pour ses calculs de fractions continuées. De plus,
mes recherches infructueuses semblent montrer qu’il n’existe plus d’horloge
créée de sa main.
A l’époque de la construction de l’horloge de Strasbourg, une roue dentée
ne pouvait pas contenir plus de 500 ou moins de 20 dents, pour une raison
de grosseur de roues et de technique de fabrication.
Cette horloge astronomique, qui existe encore aujourd’hui, représente l’heure,
mais indique également le mouvement du soleil, de la lune et des planètes.
Pour comprendre l’utilisation de ces fractions par Schwilgué, je vais prendre
comme exemple l’un des rapports que contient cette horloge, celui de Jupiter
en rapport à la Terre.
La période de révolution de Jupiter est de 4330 jours, 14 heures, 14 minutes
et 10 secondes, ou 374 163 250 secondes, et celle de la terre de 365 jours, 5
heures, 48 minutes et 48 secondes, ou 31 556 928 secondes. On sait que ”par
un engrenage constitué de deux roues dentées, on peut relier deux axes parallèles de manière que les vitesses de rotation de ces deux axes soient dans
un rapport donné, rapport représenté par une fraction dont les termes sont
les nombres de dents des deux roues” [réf. (3)]. Il fallait donc que Schwilgué
31556928
réalise le rapport 374163250
.
Comme je l’ai dit plus haut, il ne pouvait produire des roues avec plus de
500 dents. Il développa donc sa fraction sous forme de fraction continuée et
il obtint [0; 11, 1, 5, 1, 53, 1, 15, 26, 2, 1]. Il décida de simplifier cette fraction
384
de la manière suivante [0; 11, 1, 5, 1, 53, 1] = 4553
et il réalisa ce rapport à
96
32
l’aide de deux engrenages, 157 et 232 . Ainsi, il entrait dans des proportions
réalisables.
Calculons maintenant l’erreur que provoque cet arrondi sur la précision de
l’horloge sur une année.
384
· 374163250 ' 31556927
4553
Il y a donc environ une seconde en moins par année, et seulement 1 minute
et 54 secondes de décalage par siècle ! On remarque donc à quel point l’approximation est précise.
Schwilgué a reproduit ces calculs pour tous les autres rapports de temps
de révolution des planètes. Cet exemple est un cas concret de l’utilité des
fractions continuées.
Je vais dans le chapitre qui suit présenter un cas abstrait dans lequel les fractions continuées peuvent également être utiles, il s’agit de la démonstration
d’un théorème sur la suite de Fibonacci.
6
Chapitre 3
La suite de Fibonacci
3.1
Biographie de Fibonacci
Le mathématicien Leonardo de Pisa est né à Pise vers 1175 après J.C. Cet
Italien est plus connu sous le nom de Fibonacci, qui est un diminutif de Filius
Bonaccio (fils de Bonaccio). Son Père, Bonaccio, travaillait à la colonie de
Bujania en Algérie, où il était responsable du bureau des douanes. Fibonacci
le rejoignit très jeune, et selon la volonté de son père, qui espérait faire de lui
un marchand, fut initié aux calculs indo-arabes et apprit lors de ses voyages
les savoirs et algorithmes orientaux.
Dans les environs de 1200, il retourna en Italie, où il travailla pendant 25
ans à rassembler, mettre à jour et développer toutes les connaissances qu’il
avait acquises. En 1202, il publia son premier livre, le Liber Abaci. Ce livre
est connu pour avoir introduit la numération arabe en Europe et est l’une
des oeuvres qui donnèrent à Fibonacci la réputation d’être le plus accompli
des mathématiciens du Moyen-Age.
3.2
3.2.1
Fractions continuées et Fibonacci
Présentation de la suite
La suite de Fibonacci est introduite pour la première fois dans le Liber
Abaci. Plusieurs problèmes sont exposés dans ce livre, dont un problème sur
le développement d’une famille de lapins. En voici l’énoncé :
« Une paire de lapins adultes donne naissance à une paire de bébés lapins
chaque mois. Chaque paire de bébés lapins met un mois pour devenir adulte,
puis donne naissance, chaque mois, à une paire de bébés lapins. Déterminer
le nombre de paires de lapins après un certain nombre de mois. Il est aussi
signalé que les lapins restent en vie indéfiniment.» [réf. (4)]
Voici les résultats de ce problème pour les 16 premiers mois :
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, . . .
7
Cette suite de nombres est la célèbre suite de Fibonacci. Chaque terme est
formé de la somme des deux termes précédents. En réalité, il existe une
quantité de ”suites de Fibonacci”, étant donné qu’on appelle par ce nom
toute suite du type un = un−1 + un−2 , quels que soient les deux premiers
termes. Exemple :
3, 1, 4, 5, 9, 14, 23, . . .
ou
− 22, 10, −12, −2, −14, −16, . . .
Néanmoins, la suite la plus célèbre reste celle dont les deux premiers termes
sont égaux à 1.
3.2.2
Fraction d’or
De nombreux mathématiciens se sont intéressés à cette suite, et y ont trouvé
plusieurs propriétés. L’une de ces propriétés est que la division
√ d’un terme
par son précédent tend vers le célèbre nombre d’or (ϕ = 1+2 5 ' 1.618).
Plus les termes choisis sont grands, plus le résultat sera proche du nombre
d’or.
Exemples :
1
= 1,
1
2
= 2,
1
...
5
' 1.666,
3
...
987
' 1.6180327,
610
...
Ces fractions, comme toute autre fraction, je l’ai expliqué plus haut, peuvent
être écrites sous formes de fractions continuées. En voici la forme et la fraction continuée :
[0; 1]
0+
[1; 1]
1+
[1; 1, 1, 1]
[1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
1+
1+
1
1
1
1
1
1+
1
1+ 1
1
1
1+
1
1+
1
1+
1+
1+
1+
1+
1+
1
1+
1
1
1+
1
1
1
1+
1
1
1+
1
1
1
1+ 1
On remarque que cette forme est très particulière. Voici un théorème intéressant
sur le sujet :
Si une fraction continuée possède n quotients incomplets dont chacun est
égal à 1, cette fraction est égale à unu+1
[réf. (1)].
n
Comme vous pouvez le remarquer, ce théorème utilise la fraction continuée
pour obtenir la fraction de base, tandis que notre approche est inverse.
8
Pour démontrer ce théorème, j’ai besoin d’un Lemme, que j’admettrai sans
démonstration (cf. Vorobiev pages 160-162 pour la démonstration) :
Pk
, où Pk et Qk sont les numérateur et
Soit une fraction continuée ωk = Q
k
dénominateur de la fraction irréductible d’ωk et ak les quotients partiels de
la fraction continuée, les relations suivantes sont toujours vérifiées [réf. (1)]
Pk+1 = Pk ak+1 + Pk−1
(3.1)
Qk+1 = Qk ak+1 + Qk−1
(3.2)
Pk+1 Qk − Pk Qk+1 = (−1)k
(3.3)
Etudions maintenant la fraction continuée suivante, dont les quotients incomplets sont égaux à 1 :
Pk
ωk =
Qk
1
=1
1
1
2
ω2 = 1 + =
1
1
On remarque que P1 = 1, P2 = 2, Q1 = 1 et que Q2 = 1. Maintenant,
calculons ωn+1 en utilisant le lemme présenté ci-dessus.
ω1 =
ωn+1 =
Pn+1
Pn an+1 + Pn−1
=
Qn+1
Qn an+1 + Qn−1
Etant donné que tous les quotients partiels sont égaux à 1, on peut en déduire
les relations suivantes :
Pn + Pn−1
Pn an+1 + Pn−1 = Pn + Pn−1
⇒ ωn+1 =
Qn an+1 + Qn−1 = Qn + Qn−1
Qn + Qn−1
Dans la suite qui nous intéresse, on a
u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5 . . .
Donc P1 = u2 , P2 = u3 , Q1 = u1 et Q2 = u2 . On obtient ainsi les relations
suivantes Pn = un+1 et Qn = un . Et pour finir,
ωn =
un+1
un
Notre fraction uun+1
est donc la fraction continuée dont tous les numérateurs
n
et quotients incomplets sont égaux à 1.
9
3.3
Convergence vers le nombre d’or
Je vais maintenant m’intéresser à la propriété citée en (3.2), soit que
lim
n→∞
un+1
=ϕ
un
Je vais démontrer cette propriété dans les lignes qui suivent.
Soit
1
ωn = a0 +
a1 + a +...+1 1
2
an +...
une fraction continuée infinie et
Pn
P0 P1
,
, ...,
, ...
Q0 Q1
Qn
une suite de fractions correspondantes. La limite de cette suite, si elle existe,
est égale à la valeur de la fraction continuée infinie. Tout d’abord, démontrons
que cette suite a une limite.
Etudions les deux suites suivantes :
et
P0 P2
P2n
,
, ...,
, ...
Q0 Q2
Q2n
(3.4)
P1 P3
P2n+1
,
, ...,
,...
Q1 Q3
Q2n+1
(3.5)
La relation suivante découle directement de l’équation (3.3)
Pk
(−1)k
Pk+1
−
=
Qk+1 Qk
Qk Qk+1
(3.6)
et selon les équations (3.1) et (3.2)
P0 < P1 < P2 < . . . ,
Q0 < Q1 < Q2 < . . .
(3.7)
Utilisons-les tout d’abord pour la première suite.
P2n+2 P2n
P2n+2 P2n+1 P2n+1 P2n
−1
1
−
=
−
+
−
=
+
Q2n+2 Q2n
Q2n+2 Q2n+1 Q2n+1 Q2n
Q2n+2 Q2n+1 Q2n+1 Q2n
Etant donné que Q2n+2 > Q2n+1 > Q2n , le 1er terme de cette somme est
plus petit que le 2e. Il en découle que cette somme est toujours positive. Vu
qu’un terme moins son précédent est positif, la suite (3.4) est croissante.
Passons à la deuxième suite. Selon le même procédé, on obtient
P2n+3
P2n+1
1
−1
−
=
+
< 0.
Q2n+3 Q2n+1
Q2n+3 Q2n+2 Q2n+2 Q2n+1
10
Cela implique que la suite (3.5) est décroissante.
Utilisons pour la prochaine étape un terme de chaque suite :
P2n
Q2n
et
P2m+1
Q2m+1
et soit k un nombre impair supérieur à 2n et à 2m + 1. Prenons la relation
k
P
Pk
< 0. Donc, Qk+1
−Q
<0
(3.6). Si k est impair, (−1)k est négatif et Q(−1)
k Qk+1
k+1
k
et finalement,
Pk+1
Qk+1
Pk
Qk .
On obtient la relation suivante :
Pk
Pk+1
>
Qk
Qk+1
(3.8)
doit être inférieur à
Etant donné que k > 2n (et donc que k + 1 > 2n), que la suite (3.4) est
P
P2n
se trouve après la Q
, nous obtenons la
croissante et que la fraction Qk+1
2n
k+1
relation suivante :
Pk+1
P2n
>
(3.9)
Qk+1
Q2n
et puisque la suite (3.5) est décroissante, que k > 2m + 1 et donc que la
P2m+1
Pk
se trouve après la fraction Q
dans la suite, cela nous amène
fraction Q
2m+1
k
à
Pk
P2m+1
<
(3.10)
Qk
Q2m+1
En rassemblant ces trois inéquations on obtient
Pk+1
P2n
Pk
P2m+1
>
>
>
Q2m+1
Qk
Qk+1
Q2n
⇒
P2m+1
P2n
>
Q2m+1
Q2n
(3.11)
Ce résultat nous prouve que tout terme impair de la suite est supérieur à
tout terme pair. On pourrait le figurer comme si tous les termes de rang pair
se trouvaient en dessous d’une droite, qui serait notre limite, et que tous les
nombres de rang impair seraient en dessus. Mais rien ne nous prouve encore
que cette suite tend vers cette limite. Voici donc la démonstration de la
convergence : En reprennant (3.6), on peut écrire
Pn+1
1
Pn Qn+1 − Qn = Qn+1 Qn .
Vu que tout Qn est un nombre entier, et que chaque Qn+1 > Qn (cf.(3.7)),
Qn est forcément plus grand ou égal à n. Il est donc évident que Qn+1 Qn ≥
(n + 1)n et donc que Qn+1 Qn > n2 . On obtient donc
1
1
< 2
Qn+1 Qn
n
11
Pour n → ∞, la différence de la (n + 1)e et de la ne fraction tend en valeur
absolue vers zéro. Ce qui veut dire que la suite tend, lorsque n → ∞, vers
une limite encore inconnue. Cette limite est la valeur de la fraction continuée
infinie.
Jusqu’ici, nous avons travaillé sur une fraction continuée générale. Maintenant, nous allons travailler sur la fraction qui nous intéresse, c’est-à-dire
1+
1
1+
(3.12)
1
1+...
Cherchons maintenant la valeur de cette fraction, c’est-à-dire la lim ωn , où
n→∞
ωn = uun+1
. Calculons cette limite.
n
Pour cela j’ai besoin de la formule de Binet, que j’admettrai sans démonstration.
La voici.
√
√
( 1+2 5 )n − ( 1−2 5 )n
√
un =
(3.13)
5
Par la suite, j’utiliserai α et β pour simplifier les équations. Les voici :
√
1+ 5
α=
2
√
1− 5
β=
2
Et voici un théorème utile.
Théorème : Le terme un de la suite de Fibonacci est l’entier le plus proche
αn
du nombre √
, c’est-à-dire du ne terme an de la progression géométrique
5
dont le premier terme est √α5 et la raison est égale à α. [réf. (1)]
Petit rappel : Une suite géométrique est une suite du type an = an−1 · r, r
étant un nombre donné, appelé la raison. Dans notre cas, la raison est α.
Pour démontrer ce théorème, il faut prouver que un −an est toujours inférieur
à 21 en valeur absolue, car si cette différence était plus grande, un autre entier
serait plus proche. En remplaçant un par la formule de Binet et an par son
équivalent dans le théorème, on obtient
n
α − βn
αn αn − αn − β n |β|n
√
|un − an | = √
−√ =
= √5
5
5
5
√
β = 1−2 5 = −0.618 . . .. Sa valeur absolue est donc plus petite que 1, et |β n |
√
n
√ < 1.
est lui aussi plus petit que 1, quel que soit n. 5 > 2, donc, |β|
2
5
Le théorème est démontré.
αn
Nous avons maintenant un le nombre entier le plus proche de √
. Donc,
2
αn
un = √ + θn
5
12
et |θ| est inférieure à 12 pour tout n.
Reprenons le résultat obtenu en fin de chapitre (3.2).
un+1
n→∞ un
lim ωn = lim
n→∞
En remplaçant par un , trouvé plus haut,
n+1
α√
5
lim
αn
n→∞
√
5
et en transformant un peu... les
√
√
αn+1 +θ
√ n+1 5
5
√
lim
αn +θ
n→∞
√n 5
5
Puis,
= lim
n→∞
Et
αn+1
αn
αn+1
+ θn
5 se simplifient.
√
αn+1 + θn+1 5
√
= lim
n→∞
α n + θn 5
√
+ θn+1 5
αn (1
+ θn+1
+
√
θn 5
αn )
= lim
n→∞
αn+1
αn
√
θn+1 5
n
√α
θn 5
αn
+
1+
étant égal à α, on obtient
√
5
α + θn+1
n
α√
lim
n→∞ 1 + θn 5
αn
√
θn+1 5
lim (α +
)
n
α√
= n→∞
θn 5
lim (1 +
)
n→∞
αn
√
Maintenant, θn+1 5 est inférieur à 2 en valeur absolue, et αn croı̂t indéfiniment
lorsque n → ∞ puisqu’α > 1. Donc,
√
θn+1 5
lim
=0
n→∞
αn
et
√
θn 5
=0
lim
n→∞ αn
on a donc
α+0
=α
n→∞ 1 + 0
lim ωn = lim
n→∞
et par définition
√
1+ 5
α=
2
La convergence vers ϕ est démontrée.
13
Il existe une méthode plus élégante pour calculer la valeur de la fraction
continuée infinie donnée en (3.12), qui n’utilise ni la formule de Binet, ni le
passage à la limite.
Je trouvais néanmoins intéressant de donner tout d’abord la méthode n’utilisant que les nombres de la suite de Fibonacci, sans utiliser les fractions
continuées, avant de donner celle-ci. On peut ainsi mesurer l’utilité de ces
fractions dans certaines démonstrations, en comparaison à d’autres méthodes
plus complexes ! La voici :
Prenons
1
1
1+
=1+
1
x
1 + 1+...
x est également une fraction continuée
x=1+
1
x
En multipliant par x, on obtient
x2 − x − 1 = 0
et avec le discriminant
√
1± 5
x=
2
Puisque la valeur de la fraction ne peut pas être négative, on prend la racine
positive, soit
√
1+ 5
=ϕ
x=
2
14
Chapitre 4
Extraction de racines carrées
(par les fractions continuées)
Je vais dans cette partie m’intéresser à des méthodes d’extraction de racines
carrées à l’aide de fractions continuées.
Dans la partie d’introduction du chapitre ”fractions continuées”, j’ai parlé de
deux mathématiciens, Bombelli et Cataldi, qui avaient utilisé des méthodes
pour extraire des racines carrées par les fractions continuées. A l’époque
de ces deux mathématiciens, ces méthodes d’extraction étaient ”rapides” et
plutôt efficaces. On pouvait en effet trouver les valeurs exactes des racines
carrées (sous forme de fractions continuées infinies), puis en les transformant
en écriture décimale, les réduites convergeaient assez rapidement vers la
valeur exacte.
Il est présenté dans ce chapitre deux méthodes d’extraction, illustrées par
deux exemples concrets. On y détermine la valeur exacte de la racine carrée
sous forme de fraction continuée infinie ; dans le premier cas, la méthode
aboutit à une fraction continuée généralisée, tandis que dans le deuxième,
plus compliqué, on obtient une fraction continuée ”de base”, c’est-à-dire
dont tous les numérateurs sont égaux à 1.
4.1
Méthode 1
Voici le raisonnement pour la première méthode, que
√ je présente à l’aide
d’un exemple, celui de Bombelli, qui avait calculé la 13.
Prenons comme point de départ l’équation x2 = 13
x2 − 13 = 0
On remplace par le plus grand carré inférieur à 13 et par le reste
x2 − 9 − 4 = 0
15
puis on additionne le reste
x2 − 9 = 4
on factorise à l’aide des produits remarquables
(x + 3)(x − 3) = 4
on divise par la parenthèse contenant le nombre positif
x−3=
4
x+3
et finalement on obtient
x=3+
4
x+3
ou
x=3+
4
3+x
Pour terminer, on remplace chaque x par la valeur obtenue, à l’inverse du
chapitre 3, et l’on obtient une fraction continuée infinie
⇒
4
x=3+
4
3+...
3+ 3+
⇔
x=3+
4
6+
4
6+
4
4
6+ 6+...
On peut remarquer que cette fraction est une fraction continuée généralisée.
Lagrange a prouvé en 1770 que ”si le nombre considéré est un irrationnel quadratique, c’est-à-dire solution d’une équation du deuxième degré
à coefficients entiers, alors son développement en fraction continuée est
périodique.”[réf. (3)] On peut faire le lien entre ce théorème√et le chapitre 3, dont la solution de l’équation x2 − x − 1 = 0 était ( 1+2 5 ), et que
celle-ci pouvait être écrite sous forme de fraction continuée infinie, qui était
périodique ! Toutes les équations pour calculer les racines carrées de nombres
entiers par ces méthodes remplissent les conditions du théorème, et leurs
développements en fractions continuées sont donc√périodiques.
Pour prendre maintenant l’exemple de Cataldi : 18, on obtient à l’aide de
la même méthode le résultat suivant :
x2 − 18 = 0
...
(x + 4)(x − 4) = 2
...
x=4+
2
8+
16
2
2
8+ 8+...
C’est évidemment encore une fraction continuée généralisée et infinie ! On
peut relever la ressemblance entre les deux fractions, et terminer par la forme
générale suivante :
b
x=a+
2a + 2a+ b b
2a+...
4.2
Méthode 2
Passons maintenant à la deuxième méthode, plus compliquée mais nonmoins intéressante. Elle consiste à chercher étage par étage, et à l’aide de
changement d’inconnues, l’approximation la meilleure et, en se référant au
théorème de Lagrange présenté quelques lignes précédemment, trouver la
périodicité de la fraction.
Pour la présenter, je vais utiliser un exemple qui n’est ni trop court ni √
trop
long, afin que la méthode soit bien comprise. Je vais donc calculer la 18.
On part de la même étape que précédemment, c’est-à-dire
x2 − 18 = 0
(4.1)
On définit f1 (x) = x2 − 18. On entoure la solution de l’équation par les deux
entiers les plus proches, ce qui nous donne les meilleures bornes inférieures
et supérieures entières
f1 (4) < 0 ,
f1 (5) > 0
puis on transforme avec la borne inférieure au 0 de la manière suivante :
x=4+
1
a
On peut le faire, car s’il est le nombre entier le plus proche du zéro, alors en
ajoutant un terme inférieur à 1, on peut obtenir précisément le 0. C’est ce
que l’on fait en ajoutant une fraction a1 . On remplace dans l’équation (4.1)
ce résultat pour x, et on obtient
2a2 − 8a − 1 = 0
(4.2)
De ce point, on recommence le même schéma, avec une nouvelle inconnue à
déterminer
f2 (4) < 0 , f2 (5) > 0
1
b
on remplace dans l’équation précédente, c’est-à-dire la (4.2)
a=4+
b2 − 8b − 2 = 0
17
(4.3)
f3 (8) < 0 ,
f3 (9) > 0
b=8+
1
c
2c2 − 8c − 1 = 0
(4.4)
On remarque que cette équation du 2e degré, excepté l’inconnue, est la même
que l’équation (4.2). Son résultat sera donc le même, et en continuant, on
reformera une boucle. La périodicité de cette fraction est donc démontrée :
x=4+
1
4+
1
8+
1
1
4+ 8+...
x = [4; 4, 8]
√
Pour le développement de la 13 par cette méthode, assez longue, voir les
pages annexes.
Ce raisonnement est très utile pour quiconque travaille avec les fractions
continuées basiques, mais d’après les raisons que l’on a de calculer une racine,
la première méthode est plus rapide et présente la fraction d’un point de vue
plus simple. Par exemple, la période de la fraction que l’on obtient par la
deuxième
méthode est parfois très longue (on peut déjà le remarquer avec
√
la 13, et elle peut être encore bien plus longue dans d’autres cas !), et cela
peut poser plus de problème à l’utilisation que la première méthode !
4.3
Calcul de fractions correspondantes
Vous aurez sûrement remarqué que ces raisonnements, même s’ils permettent
de trouver la valeur sous fraction continuée assez rapidement, sont moins
pratiques lorsqu’il s’agit de les remettre sous forme de fraction irréductible.
Il existe un moyen de contrer le problème, bien que cette méthode ne nous
donne pas directement la valeure exacte. Il s’agit de calculer les valeurs
des fractions correspondantes, ou réduites, c’est-à-dire les fractions
irréductibles du type
ωn =
Pn
b1
= a0 +
Qn
a1 +
b2
a2 +...+ abn
n
puis, en se reportant à chaque fois sur les deux réduites précédentes, de calculer la fraction correspondante suivante.
18
Prenons la fraction continuée quelconque présentée ci-dessus. Pour commencer, on a besoin des deux premières réduites
ω0 =
a0
P0
=
Q0
1
ω1 =
P1
b1
a0 a1 + b1
= a0 +
=
Q1
a1
a1
Suite à cela, on calcule ω2 de la manière suivante
ω2 =
b2 P0 + a2 P1
P2
=
Q2
b2 Q0 + a2 Q1
et de manière générale
Pn
bn Pn−2 + an Pn−1
=
Qn
bn Qn−2 + an Qn−1
√
Eclaircissons cela à l’aide d’un exemple, celui de 18 = [4; 4, 8]
ωn =
ω0 =
4
1
17
1
=
4
4
1 · 4 + 8 · 17
140
ω2 =
=
1·1+8·4
33
577
1 · 17 + 4 · 140
=
ω3 =
1 · 4 + 4 · 33
136
...
ω1 = 4 +
Cette méthode est bien entendu applicable pour n’importe quelle sorte de
fractions continuées, qu’elle soit de base ou généralisée. Voici la démonstration
de cette méthode :
Tout d’abord, définissons deux suites de fonctions récursivement
p0 (x) = x
q0 (x) = 1
p1 (x) = x · p0 (a0 ) + b1
q1 (x) = x
pn (x) = x · pn−1 (an−1 ) + bn · pn−2 (an−2 )
qn (x) = x · qn−1 (an−1 ) + bn · qn−2 (an−2 )
(an )
Pn
= pqnn(a
Prouvons par récurrence que Q
∀n, où
n
n)
correspondante, comme expliqué auparavant.
19
Pn
Qn
est la fraction irréductible
Vérifions :
P0
p0 (a0 )
= a0 =
Q0
q0 (a0 )
ok
b1
a0 a1 + b1
p1 (a1 )
P1
= a0 +
=
=
Q1
a1
a1
q1 (a1 )
ok
Supposons vrai pour n.
Pn
b1
= a0 +
Qn
a1 +
b2
a2 +...+ abn
=
pn (an )
qn (an )
n
La fraction suivante est la même, où le terme an est remplacé par an +
et par hypothèse de récurrence, on peut écrire la deuxième égalité
Pn+1
= a0 +
Qn+1
a1 +
b1
b2
=
bn
a2 +...+
b
an + a n+1
n+1
pn (an +
qn (an +
bn+1
an+1 ,
bn+1
an+1 )
bn+1
an+1 )
b
Mais la fraction
pn (an + an+1 )
n+1
b
qn (an + an+1 )
est égale à
n+1
=
an · pn−1 (an−1 ) +
an · qn−1 (an−1 ) +
bn+1 ·pn−1 (an−1 )
an+1
bn+1 ·qn−1 (an−1 )
an+1
en multipliant cette fraction par
=
an+1
an+1 ,
+ bn · pn−2 (an−2 )
+ bn · qn−2 (an−2 )
=
on obtient
an · an+1 · pn−1 (an−1 ) + bn+1 · pn−1 (an−1 ) + an+1 · bn · pn−2 (an−2 )
=
an · an+1 · qn−1 (an−1 ) + bn+1 · qn−1 (an−1 ) + an+1 · bn · qn−2 (an−2 )
on met an+1 en évidence
=
an+1 [an · pn−1 (an−1 ) + bn · pn−2 (an−2 )] + bn+1 · pn−1 (an−1 )
=
an+1 [an · qn−1 (an−1 ) + bn · qn−2 (an−2 )] + bn+1 · qn−1 (an−1 )
et finalement on obtient
=
pn+1 (an+1 )
Pn+1
pn+1 (an+1 )
an+1 · pn (an ) + bn+1 · pn−1 (an−1 )
=
et donc
=
an+1 · qn (an ) + bn+1 · qn−1 (an−1 )
qn+1 (an+1 )
Qn+1
qn+1 (an+1 )
La méthode est démontrée.
Je terminerai la partie concrète de mon travail sur cette démonstration. Il me
semble en effet avoir atteint mes objectifs, c’est-à-dire présenter les fractions
continuées, ainsi que leur utilité dans certaines activités.
20
Chapitre 5
Conclusion
La conclusion qui suit portera non pas sur le contenu, mais sur l’expérience
et l’enrichissement que ce travail m’a apporté.
Je n’avais encore jamais fait de travail si conséquent, non par le nombre de
pages finales, mais par l’importance de la recherche et la connaissance avec
laquelle on en ressort. Premièrement, on m’a conseillé d’apprendre à travailler avec un programme, LATEX, qui est un excellent outil pour la rédaction
de textes comprenant des formules ou des calculs. Au départ, ce programme
semblait être difficile d’accès, et je n’étais pas très enthousiaste. Mais plus le
travail avançait, plus je découvrais l’utilité d’un tel programme. En connaissant les fonctions, cela m’a permis de gagner du temps sur la mise en page.
Par la suite, à l’EPFL, savoir utiliser ce programme me sera précieux.
En ce qui concerne le contenu du travail, j’ai eu réellement beaucoup de plaisir à me plonger comme cela dans un sujet durant plusieurs mois. Comme
je l’ai dit dans mon introduction, je n’avais jamais entendu parler de telles
fractions auparavant, et cela aura été très instructif de découvrir un sujet
inconnu, et d’approfondir mes connaissances, la curiosité prenant le pas sur
l’obligation.
J’avais la crainte au départ de ne pas avoir assez de matière pour faire un bon
travail de maturité. Cette crainte n’était pas fondée, puisque j’ai découvert
une grande quantité de théorèmes à démontrer. J’aurais néanmoins aimé
trouver plus d’informations sur certains thèmes spécifiques dont le contenu
m’intéressait, comme l’utilisation de ces fractions dans les horloges astronomiques ou l’extraction des racines carrées.
Cette expérience aura donc été très enrichissante, non seulement sur le plan
positif exposé ci-dessus mais également sur les points négatifs. En effet,
les difficultés rencontrées m’ont montré que si l’itinéraire choisi au départ
n’aboutit pas toujours, c’est par la recherche d’autres voies que l’on s’enrichit.
”Le but, c’est le chemin.”
(Pensée Zen)
21
Remerciements
A M. Bernard Verrey, mon professeur de TM, qui m’a orienté et aidé durant
ce travail.
A ma soeur Fanny, qui termine son Master en Mathématiques et qui a été
d’une grande aide durant ce travail, ainsi qu’à toutes les personnes de mon
entourage qui m’ont soutenu.
22
Bibliographie
[1] N. VOROBIEV, Caractères de divisibilité, suite de Fibonacci, Editions
de Moscou, Initiations aux mathématiques
[2] M. CLEYET-MICHAUD, Le nombre d’or, Presses universitaires de
France, Que sais-je ?, Vendôme, 1975
[3] G. CHARRIERE, L’algèbre mode d’emploi, Fournitures et éditions scolaires du canton de Vaud, Suisse, 1995
[4] R.A. DUNLAP, The Golden Ratio and Fibonacci Numbers, World
Scientific Publishing Co, Singapour, 1997
[5] Petit Archimède, numéros 64-70, 1980
[6] http ://www.bibmath.net/bios/index.php3 ?action=affiche&quoi=fibonacci
[7] http ://www.ilemaths.net/encyclopedie/Fraction continue.html
[8] http ://www.anemsa.com/fra/index.html
23
Annexe A
Développement de la
√
13 par la méthode de changements de variables.
x2 − 13 = 0
I
f1 (3) < 0 , f1 (4) > 0
1
x=3+
a
4a2 − 6a − 1 = 0
II
f2 (1) < 0 , f2 (2) > 0
1
a=1+
b
3b2 − 2b − 4 = 0
III
f3 (1) < 0 , f3 (2) > 0
1
b=1+
c
3c2 − 4c − 3 = 0
IV
f4 (1) < 0 , f4 (2) > 0
1
c=1+
d
4d2 − 2d − 3 = 0
V
f5 (1) < 0 , f5 (2) > 0
1
d=1+
e
e2 − 6e − 4 = 0
VI
f6 (6) < 0 , f6 (7) > 0
1
e=6+
f
2
4f − 6f − 1 = 0
VII
24
L’équation VII est la même que l’équation II, le cycle est terminé.
x=3+
1
1+
1
1+
1
1+
1+
1
1
1
6+ 1+...
x = [3; 1, 1, 1, 1, 6]
25