Download Année scolaire 2014/2015 PCSI ds6 Le 7 février 2015 Devoir

Année scolaire 2014/2015
PCSI
ds6
Le 7 février 2015
◦
Devoir surveillé n 5
Durée 4 heures
Calculatrice interdite.
Quelques recommandations:
• Attention la présentation des calculs et à la rédaction..
Les exercices sont de niveaux différents
• ∗: exercice classique et considéré comme facile
• ∗∗: plus difficile
• ∗ ∗ ∗: difficile
Les exercices sont eux-mêmes gradués
Mode d’emploi
1. les étudiants qui ont moins de 9 de moyenne traitent le cours, et les exercices 1, 2, 3 et 4.
2. Ceux qui ont entre 9 et 15, traitent le cours, et les exercice 3, 4 et 5.
3. Ceux qui ont plus de 15 de moyenne font les exercices 3, 4, 5 et 6
Cours:
1. Soit f une fonction continue sur [0, 1], strictement positive sur [0, 1],
montrer qu’il existe A > 0 tel que ∀x ∈ [0, 1], f (x) ≥ A
2. Calculer un équivalent pour x tendant vers +∞ de ln
x2 + 2x + 4
x2
3. Calculer un équivalent pour x tendant vers +∞ de e1/x − e1/(1+x)
4. Énoncer la formule de Leibnitz hypothèses comprises.
5. Énoncer le théorème de Rolle
6. Énoncer le théorème des accroissements finis
Exercice 1: *
x
Z
On considère h définie par h(x) =
0
dt
dt
t2 + e−t + 1
1. Justifier l’existence de h(x) pour x ∈ R
2. Quel est le sens de variation de h?
3. Montrer que ∀x ∈ R+ , h(x) ≤
π
2
4. Conclure sur la limite de h(x) en +∞ en prenant soin d’énoncer précisément le théorème utilisé.
1
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Exercice 2* On se propose d’étudier la suite (un ) définie par
Soit f l’application de [0, 1] dans R définie par f (x) =


u0 = 0
 un+1 =
ex
.
x+3
eun
un + 3
1. Étude de la fonction f
(a) Calculer f 0 (x), f 00 (x).
On vérifiera que: f 00 (x) =
(x2 + 4x + 5)ex
(x + 3)3
(b) Étudier le sens de variation de f , quelle est l’image du segment [0, 1]. Énoncer le théorème employé
9
(c) Montrer que ∀x ∈ [0, 1], |f 0 (x)| ≤
16
(d) Établir que l’équation f (x) = x admet une solution unique dans l’intervalle [0, 1], on note ` cette
solution.
2. Convergence de la suite
(a) Montrer que ∀n ∈ N, un existe et un ∈ [0, 1]
(b) Étude de la convergence de (un ): Première méthode
i. Quel est le sens de variation de cette suite?
ii. Conclure sur sa convergence et donner la limite.
(c) Étude de la convergence de (un ): Deuxième méthode
9
|un − `|
i. Montrer que l’on a: ∀n ∈ N, |un+1 − `| ≤
16
n
9
ii. En déduire que ∀n ∈ N, |un − `| ≤
.
16
iii. Conclure sur la convergence de (un ).
iv. Soit p > 0 fixé, trouver, en fonction de p, n pour lequel un est valeur approchée de ` à la précision
p près.
Exercice 3: * puis **
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, on note fn la fonction définie par ∀x ∈ R+∗ , fn (x) = x − n ln x.
1. (a) Étudier cette fonction et dresser son tableau de variations.
(b) En déduire que l’équation fn (x) = 0 a dans R+∗ deux solutions distinctes, on les note un et vn avec
un < vn ; montrer que 0 < un < n < vn .
2. Étude de la suite (un ).
(a) Montrer que ∀n ≥ 3, 1 < un < e.
(b) Montrer que fn (un+1 ) = ln (un+1 ), puis en conclure que (un ) est décroissante.
(c) Montrer que (un ) converge et montrer, en utilisant ln un que lim un = 1.
n→+∞
(d) En déduire, en utilisant un équivalent du cours, que ln (un )
3. étude de la suite (vn ).
(a) Calculer lim vn .
n→+∞
(b) Calculer fn (n ln n) puis montrer que ∀n ≥ 3,
2
n ln n < vn .
∼
n→+∞
un − 1, puis que un − 1
∼
n→+∞
1
.
n
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(c) Soit la fonction g définie sur R
que ∀n ∈ N∗ , n > 2 ln n.
+∗
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par g(x) = x − 2 ln x, étudier g et donner son signe. En déduire
(d) En déduire le signe de fn (2n ln n), puis établir que n ln n < vn < 2n ln n.
(e) Montrer en utilisant l’encadrement précédent que vn
∼
n→+∞
n ln n.
Exercice 4* puis ** On considère la fonction f : x 7→ ln(1 + x) définie sur ] − 1, +∞[.
1. Dérivées successives de f
(a) Calculer, pour x ∈] − 1, +∞[, les dérivées f 0 (x), f 00 (x), f (3) (x) et f (4) (x)
(b) Etablir une conjecture pour l’expression de f (n) (x) pour x ∈] − 1, +∞[ et démontrer cette conjecture.
2. Rappeler la formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral sans en oublier les hypothèses.
3. Soit n ∈ N∗ , et x ∈] − 1, +∞[, écrire le développement de Taylor-Lagrange de ln (1 + x) à l’ordre n en 0.
4. On pose Sn (x) =
n
X
(−1)k−1
k=1
k
xk et Rn (x) = f (x) − Sn (x); on se propose d’étudier la suite (Sn (x).
(a) Écrire Rn (x) sous forme d’une d’une intégrale.
(b) Soit x ∈ [0, 1] fixé
xn+1
x−t
≤ x − t, montrer que |Rn (x)| ≤
1+t
n+1
ii. En déduire que ∀x ∈ [0, 1], lim Rn (x) = 0 puis conclure sur lim Sn (x).
i. Après avoir montré que ∀t ∈ [0, x] on a 0 ≤
n→+∞
n
X
iii. En particulier, que vaut lim
n→+∞
k=1
n→+∞
(−1)
k
k−1
?
(c) Pour x ∈] − 1, 0].
Montrer de même que la suite (Sn (x)) converge et trouver sa limite.
Exercice 5: Concours Agro 2010 ** puis ***
(
Soit t un réel strictement positif. On définit la suite (xn ) par
1. (a) On pose pour x ∈ R+ , g(x) =
√
x0 = t
xn+1 =
√
xn
x − x, étudier le signe de g(x).
(b) Montrer que, si t ≥ 1, on a ∀n ∈ N,
sa limite.
1 ≤ xn+1 ≤ xn . En déduire que (xn ) converge et déterminer
(c) Etudier (xn ) si t < 1.
2. On considère les deux suites (un ) et (vn ) définies par
∀n ∈ N,
n
n
un = 2 (xn − 1) et vn = 2
1
1−
xn
=
un
xn
(a) Exprimer, pour n ∈ N, un+1 − un en fonction de xn+1 . en déduire le sens de variation de (un ).
(b) Déterminer le sens de variation de (vn ).
(c) Montrer que ∀n ∈ N, un − vn ≥ 0.
(d) Montrer que les suites (un ) et (vn ) sont convergentes et montrer qu’elles convergent vers la même
limite que l’on notera L.
(e) Pour n ∈ N, donner un encadrement de L à l’aide de un et vn . En déduire que
∀t > 0
1−
3
1
≤L≤t−1
t
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+∗
3. Comme L dépend de t, on considère la fonction f définie sur R par f (t) = L.
Pour t > 0 et n ∈ N, on pose xn (t) = xn , un (t) = un , vn (t) = vn pour indiquer que ces réels dépendent
aussi de t.
f (t)
. En déduire que f est dérivable en 1 et donner f 0 (1).
t→1 t − 1
i. Montrer que ∀(t1 , t2 ) ∈ (R+∗ )2 , ∀n ∈ N, xn (t1 ∗ t2 ) = xn (t1 ) ∗ xn (t2 ).
ii. En déduire la valeur de lim (un (t1 ∗ t2 ) − un (t1 ) − un (t2 ))
(a) Déterminer f (1) et calculer lim
(b)
n→+∞
iii. Donner une relation entre f (t1 ∗ t2 ), f (t1 ) et f (t2 ).
(c) Montrer que ∀t ∈ R
+∗
, ∀htel que t + h ∈ R
+∗
,
f (t + h) − f (t) = f
h
1+
.
t
(d) En déduire que f est dérivable sur R+∗ et déterminer f 0 (t) pour toutt ∈ R+∗ .
(e) En justifiant votre réponse, exprimer la fonction f à l’aide des fonctions usuelles.
4. Exprimer, pour tout n ∈ N, xn en fonction de n et de t, Retrouver directement le résultat de la question
précédente.
Exercice 6*** Soit f une fonction continue et dérivable sur un intervalle ouvert I, on veut montrer que la
fonction dérivée f 0 vérifie la propriété des valeurs intermédiaires c’est-à-dire que, si a et b sont deux éléments
de I et m un réel vérifiant f 0 (a) < m < f 0 (b), alors il existe c ∈]a, b[ (ou ]b, a[) tel que f 0 (c) = m;
1. Montrer qu’il existe un réel h tel que a + h et b + h appartenant à I et que
f (b + h) − f (b)
f (a + h) − f (a)
<m<
.
h
h
f (t + h) − f (t)
, montrer que g est définie et continue sur [a, b] (ou
h
[b, a]) et en déduire l’existence d’un réel d de ]a, b[ (ou ]b, a[) tel que m = g(d).
2. Soit g la fonction définie par g(t) =
3. Conclure par le théorème des accroissements finis.
4