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Université Virtuelle de Tunis
Analyse complexe
b) En
z np = (z p )n on voit que le rayon de convergence de la série
P écrivant
an z np est R1=p .
an
c) Posons bn = 1+ja
et notons R0 le rayon de convergence de la série
nj
P
n
bn z . Comme jbn j
1 et jbn j
jan j, on a nécessairement R0
Max(1; R). Nous allons montrer que R0 = Max(1;
PR). Supposons que
R0 > Max(1; R). En particulier R0 > 1 et donc
bn converge. Par
nj
alors
a
!
0,
d’où jan j jbn j.
suite bn ! 0 et comme jan j = 1 jbjb
n
nj
0
Ceci entraîne que R = R . D’où la contradiction puisque R0 > R.
2.
a) Rappelons que
8 x 2 [ 1=2; 1=2];
b) Fixons un entier n
j sin( x)j
2jxj:
1. Il existe un entier positif m tel que
p
1=2 n 3 m 1=2
Ecrivons alors
j sin(n
p
p
3)j = j sin (n 3
m)j
p
2jn 3
mj = 2
j3n2 m2 j
p
:
n 3+m
Pour conclure il su¢ t de remarquer que
j3n2
m2 j
1
et
m
p
n 3 + 1=2
c) Notons par R le rayon de convergence de la série entière
L’encadrement
1
1
p
sin(n 3)
p
1
n 3+
4
X
zn
p .
sin(n 3)
entraîne que R = 1.
Exercice 3.4
Soit
un réel donné.
1.
2. Quel est le rayon de convergence R de la série entière
+1
X
log n n
z
1
+n
n=1
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Hajer Bahouri, Mohamed Majdoub, Amor Nakour