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09
Fiche 09 :
FONCTIONS DERIVEES
ATTENTION : « Paquet de FORMULES »
On a plein de dérivées usuelles (courantes quoi ! )
Voici les premières :
Rappelle toi la fiche 08
nous savons qu’en général,
chaque fonction « f »
possède
une fonction dérivée « f ’ »
La dérivée de
n’importe quel
nombre est zéro
f(x) = a
a
R
La dérivée de x
f(x) = x
est 1
La dérivée de
f ( x ) = 13 x
13 x est 13
Ect …. Le dérivée de a x est a
Comment défini-t-on
le « mode d’emploi »
De cette fonction
«f’»

f’(x)=0

f’(x)=1

f ’ ( x ) = 13
(avec a un réel)
Cette fois, nous
« rentrons »
dans le taux
d’accroissement
directement
l’expression de f (x)
f (x) = x² - 3
f (x
h)
f (x)
h)² 3] [( x )² 3]
h
[( x
h
BIEN !
Reprenons notre petit périple de la fiche 08
pour calculer le nombre dérivé de 4
f (x
h)
f (x
h
h)
f (x)
f (x)
x²
2xh
h
h ( 2x h )
h
Avec le calcul ci-contre, nous savons que
lim
h
Le nombre dérivé de x² est 2x
0
h² 3
h
f (x h)
h
f (x)
2x
x²
3
2x
h
f ’ (x) = 2x
f ' ( x)
f (x) = x²
A APPRENDRE PAR CŒUR
Reprenons le calcul de la fiche 08
f (x) = x² - 3


f ’ (x) = 2x – 0
Pour avoir l’image de 4 par la dérivée, il suffit maintenant
de calculer avec f ’ ( x ) = 2 x soit :
f’(4)=2(4)=8
Plus cool !
C’est vrai qu’il y a un « paquet » de formules
Nombre
Un nombre
réel
x


Nombre
dérivé
Nombre
0
x²
1
5x

5
-x

-1
3
x
3x
axn
7
Nombre dérivé

2x
1
x


3x²
5
x

6
3(7 x )


a n xn
Il te suffit de reconnaître
la forme de f (x)
Bien !
Mais si f (x)
n’est pas une
dérivée usuelle ?
Comment
fait-on ?
Ici : de la forme
Nombre
u ( x)
v ( x)
f ( x)
2x 1
1 x
x
1
5 x


Nombre
dérivé
Nombre
1
x²
cos(x)

- sin (x)
( 5)
x²
1
2 x
5
7cos(x)

- 7sin (x)
sin(x)

cos (x)
3sin(x)

3cos (x
2
x
Nombre
dérivé
Dans ce cas , tu appliques
()
la formule ci-contre.
Pour avoir u ’ (x) et v ’ (x), tu devras
utiliser les dérivées courantes
au-dessus
f '( x)
(2)(1 x) (2x 1)( 1)
(1 x)²
09
Pour avoir « le mode d’emploi » d’une fonction dérivée f ’
TOUJOURS se demander
FORMULES
Correspondant
aux formes de f (x)
pour avoir f ’ (x)
FORMES
POSSIBLES
pour f (x)
u
v
u'
u
v


uv

u
a
u
a
R
ln(u )
u
n
« QUELLE EST LA FORME DE f (x) ? »



v'
u'v uv'
v²
et
()
u'
2 u
au '
(u)²
x3
f ( x)
5x2
x 123

f ( x) ( x² 3)( x 2)
f ( x)
5 x² 7
f ( x)
2
1 x
u(x) = 1 - x et u’(x) = -1
( x² 4)3
v’
(2)(1 x) (2x 1)( 1)
(1 x)²

f '( x) (2 x)( x 2) ( x² 3)(1)
f '( x )
v
+
u
v’
10 x
2 5x² 7

f '( x )
2( 1)
(1 x)²

f '( x )
2x 1
x² x 4
f '( x) 3(2 x)( x² 4)2
n u’ u3 1

f '( x) 5(2 x)ex²
f ( x) cos(2 x 3)

f '( x)

f '( x) 14 cos(2 x 3)
u(x) = x²-4 et n = 3
f ( x) 5ex²
1
sin(u)

u' cos(u)
f ( x) 7 sin( 2 x 3)

u'
cos ²(u)
f ( x) tan (2 x 3)
(u' o v) v'
Voir Fiche 17

u
-

f ( x)

uov
1
a=2
cos(u)
tan(u)
v
10 x
v²

u(x) = 5x²-7
et u’(x) = 5(2x)

u' sin( u)
f '( x)
u‘
eu
u 'eu
f '( x ) 3 x 2
u(x) = 2x+1 et v(x) = 1-x
u’(x) = 2 et v’(x) = - 1
u (x) = x² + x – 4
et u ‘ (x) = 2x + 1
n 1

u’
2x 1
1 x
f ( x) ln ( x² x 4)
u'
u
« v » pour v (x)
INDISPENSABLE de
tout apprendre par cœur
(Fais les exemples …)
f (x)
u 'v uv'
n u' u
On note « u » pour u (x)

f '( x )
1
2 sin( 2 x 3)
2
cos²(2 x 3)
Facile !
On a juste
à appliquer !