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Où se trouve le sommet ?
Voici la courbe représentative de la fonction f polynôme de degré 2 définie sur ⺢
par f x x 2 - 3 x - 2.
y
Déterminer les coordonnées
du sommet de la parabole
à partir de son équation.
1. Résoudre l’équation f x = - 2.
2. En déduire une équation de l’axe de symétrie de cette
parabole, puis les coordonnées du sommet S de la parabole.
3. En reprenant la même démarche, déterminer l’abscisse xS
du sommet S de la parabole d’équation y ax 2 bx c
avec a 0.
2
1
-1 0
-1
1
2
3
4
5 x
-2
-3
-4
Pour aller plus loin
Montrer que, pour toute fonction dont l’expression est f x ax 2 bx c avec a 0,
b2
.
f 0 = f xS 4a
En déduire, selon le signe de a, si f admet un maximum ou un minimum en xS.
Forme canonique et équation f x = 0
Faire le lien entre la forme
canonique et le sommet
de la parabole et résoudre
une équation de degré 2.
Pour un trinôme du second
degré, l’écriture
« ax - a2 b » est
dite forme canonique.
A. Aspect graphique
1. Soit g la fonction définie sur ⺢ par g x x - 12 - 4 .
a. Justifier que g admet un minimum en 1.
b. Donner les coordonnées du sommet S de la courbe g représentant g.
2. On considère la fonction f définie sur ⺢ dont l’expression est f x 2 x 2 - 6 x 4
et on note f sa courbe représentative.
a. Déterminer les coordonnées xS et yS du sommet S de f .
b. Conjecturer les valeurs des réels a et b tels que f x 2 x - a2 b .
Prouver votre conjecture.
c. Résoudre l’équation f x = 0.
B. Aspect algébrique
1. On considère la fonction h : x 4 x 2 - 24 x 27 définie sur ⺢.
a. Donner une autre écriture de hx sous la forme 4… + 27.
b. Recopier et compléter : x 2 – 6 x º x – º 2 d’ où x 2 – 6 x º .
c. En remplaçant x 2 - 6 x par l’expression trouvée à la question précédente,
déterminer une écriture de hx sous la forme 4 x - º2 º.
d. Résoudre l’équation hx = 0.
2. En suivant la même démarche, mettre kx sous forme canonique,
puis résoudre l’équation kx = 0 :
a. kx 2 x 2 4 x – 4
b. kx = x2 + 5x + 5
c. kx = 4x2 - 4x + 1
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