Download Pascal, Fermat et la g\`eom\`etrie du hasard

– Fermat à Pascal, 25 septembre 1654.
Réponse à la lettre du 24 août. Fermat justifie brillamment sa méthode.
– Pascal à Fermat, 27 octobre 1654.
Pascal reconnaı̂t la justesse de la méthode de Fermat.
– Fermat à Carcavi, juin 1656.
Fermat donne sans justification les réponses à diverses questions, probablement posées par Huygens.
– Huygens à Carcavi, 6 juillet 1656.
Huygens constate que Fermat a trouvé les réponses, et en donne des
démonstrations. Il sollicite l’avis de Pascal et de Fermat à propos de
son traité.
– Carcavi à Huygens, 28 septembre 1656.
Carcavi commente certaines méthodes de Pascal et Fermat.
– Traités, communications diverses, ouvrages :
– Traité du triangle arithmétique 12 , de Pascal.
– Divers usages du triangle arithmétique, de Pascal.
– Combinationes, de Pascal.
– Adresse à l’Académie Parisienne, 1654, de Pascal.
– Du calcul dans les jeux de hasard, 1656 – 1657, de Huygens.
Dans la suite, nous ne parlerons plus des Divers usages du triangle arithmétique,
que nous considèrerons comme une partie du Traité du triangle arithmétique.
Ce qui sera dit
Dans la première partie de ce mémoire, je chercherai à donner une idée aussi
précise que possible des différentes techniques en vigueur en 1654 pour résoudre
le problème des partis. Nous verrons qu’une lecture de la correspondance entre
Pascal et Fermat fait apparaı̂tre dès l’origine au moins deux méthodes concurrentes : la méthode ‘pas à pas’ et la méthode par les combinaisons. Il sera surtout
question de la méthode par les combinaisons, car elle seule pose de véritables
problèmes techniques.
Nous nous intéresserons dans la seconde partie aux fondements de la géométrie
du hasard au XVIIe siècle. Après m’être expliqué sur ce que j’entends par fondement, après une étude du Traité du triangle arithmétique, je tenterai de montrer que les intentions, les limites, l’origine peut-être de la méthode ‘pas à pas’
s’inscrivent dans la longue tradition de ces travaux qui, à l’instar des éléments
d’Euclide, prétendent fonder les mathématiques sur des bases claires et solides.
12. La datation du Traité pose problème. Comme on l’a vu, Pascal le mentionne déjà dans
L’Adresse à l’Académie Parisienne. Fermat en évoque la “onzième conséquence” dans sa lettre
du 29 août 1654. Mais rien n’indique que la partie qui nous importe le plus, Usage du triangle
arithmétique pour determiner les partis qu’on doit faire entre plusieurs joueurs qui jouent en
plusieurs parties, fût déjà rédigée à cette époque. Surtout, on ignore la forme exacte du Traité
en 1654 puisque selon les Œuvres complètes éditées au Seuil, il n’a été publié qu’en 1665 chez
Guillaume Desprez. La même remarque vaut pour Divers usages du triangle arithmétique et
Combinationes.
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