Download MASSENBILANZIERUNG EINER

Integration der Geschwindigkeitsverteilungsgesetze über den
verwendet worden. Hierbei wird ein Volumenstrom von 151,901 m³/h errechnet.
Zum ergänzenden Vergleich wird die Berechnung des Volumenstromes nach
Gleichung 2.32 über das Produkt von Rohrquerschnittsfläche und mittlerer
Strömungsgeschwindigkeit durchgeführt:
V& = πR 2 ⋅ u = π ⋅ (0,035 m) 2 ⋅10,878 m / s
V& = 0,04186 m3 / s
V& = 150,7084 m3 / h
Dieser Wert weicht damit um weniger als 1 % von dem mittels numerischer
Integration bestimmten Wert ab.
Integration des Potenzgesetzes
Das Integral 5.51 kann alternativ berechnet werden, indem die Stammfunktion des Geschwindigkeitsverteilungsgesetzes ermittelt wird. Absicht der folgenden Berechnungen ist es, einen mathematischen Zusammenhang zwischen der maximalen Strömungsgeschwindigkeit in der Rohrmitte und dem
daraus resultierenden Volumenstrom herzuleiten. Durch Kombination der
Gleichungen 5.51 und 5.34 mit:
1
R
V& = 2π ∫ u ⋅ r ⋅ dr
und
0
 R − r n
u = u max ⋅ 

 R 
resultiert durch Einsetzen des Potenzgesetzes in den Integralausdruck:
1
R
 R − r n
V& = 2π ∫ r ⋅umax ⋅ 
 ⋅ dr
 R 
0
R
1
2π ⋅ u max
n ⋅ dr
(
)
V& =
r
R
r
⋅
−
1
∫0
Rn
Durch Anwendung der allgemeinen Integrationsregel208:
n
∫ x(ax + b) dx =
(ax + b) n + 2 b(ax + b) n +1
−
+C
a ²(n + 2)
a ²(n + 1)
(10.1)
lässt sich die Stammfunktion einfach ermitteln:


1
1
+2
+1


n
n
2πu
R( R − r )
(R − r)

V& = n max 
−
R  (−1)² ⋅  1 + 2  (−1)² ⋅  1 + 1 





n

 n  
R
0
241