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Mathématiques ENSM O11
2013-2014
Intégrales simples.
Mode d’emploi.
Les intégrales simples :
L’intégrale définie :
• L’intégrale de Riemann : Si f est une fonction continue sur un intervalle [a, b], l’intégrale
Z b
k=n
X
b−a
de f sur [a, b] est
f (x)dx = lim
hf (a + kh) où h =
.
n→+∞
n
a
k=0
L’existence de la limite est assurée par la continuité de f .
La dénomination de la variable d’intégration x, t ou autre n’a aucune influence sur la valeur de l’intégrale.
Bernhard Riemann (1826-1866) était un mathématicien allemand.
• Quelques propriétés :
Z b
Z c
Z c
◦
f (x)dx +
f (x)dx =
f (x)dx
a
◦
◦
◦
◦
Z
b
b
f (x)dx = −
a
Z
a
a
Z
a
f (x)dx
b
f (x)dx = 0
a
Z
b
λf (x)dx = λ
a
Z
Z
b
f (x)dx pour toute constante λ
a
b
(f (x) + g(x)) dx =
a
Z
b
f (x)dx +
a
Z
◦ Si pour tout x ∈ [a, b], f (x) > 0 alors
b
g(x)dx
a
Z
b
f (x)dx > 0 (Attention à la condition a 6 b)
a
◦ Si pour tout x ∈ [a, b], f (x) 6 g(x) alors
a 6 b)
Z
b
f (x)dx 6
a
Z
b
g(x)dx (Attention à la condition
a
Le calcul d’intégrales définies :
Les primitives :
• Lien avec l’intégrale :
Si F est une primitive de f sur [a, b] alors
Z
b
a
f (x)dx = [F (x)]x=b
x=a = F (b) − F (a)
• Fonction définie par une intégrale : La fonction x 7−→
de f qui s’annule
Z en a.
On note souvent
f (x)dx une primitive quelconque de f .
1
Z
a
x
f (t)dt est l’unique primitive
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• Primitives usuelles :
f
F
n+1
xn , (n constant, n 6= −1)
1
x
cos x
sin x
1
= 1 + tan2 x
cos2 x
tan x
ex
1
1 + x2
1
√
1 − x2
x
n+1
ln x
sin x
− cos x
tan x
1 ln cos x ex
arctan x
arcsin x
• Formules classiques d’intégration :
◦ Une primitive de f = u′ un (n constant, n 6= −1) est F =
un+1
n+1
u′
est F = ln |u|
u
◦ Une primitive de f = u′ eu est F = eu
◦ Une primitive de f =
◦ Une primitive de f = u′ v(u) est F = V (u) où V désigne une primitive de v.
L’intégration par parties :
Z b
Z b
b
′
u(x)v ′(x)dx
• La formule :
u (x)v(x)dx = [u(x)v(x)]a −
a
a
• Le choix de la fonction v à dériver :
◦ certaines fonctions ”disparaissent” par dérivation : ln, arctan, arcsin, . . . , etc
◦ les puissances diminuent par dérivation
◦ une ”double” dérivation des fonctions circulaires permet de retrouver celles-ci
Le changement de variable :
• La formule : Si x = ϕ(t) où ϕ est une fonction bijective sur [a, b], c’est à dire telle que
Z b
Z ϕ−1 (b)
−1
x = ϕ(t) ⇔ t = ϕ (x), alors
f (x)dx =
f (ϕ(t)) ϕ′ (t)dt
a
ϕ−1 (a)
• La pratique :
◦ Une fois choisie la fonction ϕ, on calcule dx = ϕ′ (t)dt
x = a ⇒ t = ϕ−1 (a)
◦ On déterminer les nouvelle bornes :
x = b ⇒ t = ϕ−1 (b)
◦ On remplace alors dans l’intégrale x par ϕ(t), a et b par les nouvelles bornes et dx par
ϕ′ (t)dt
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• Le choix du changement :
◦ La règle générale est intuitive : on pose x = la partie ”gênante”
√
◦ Pour les intégrales en 1 − x2 , on peut poser x = sin t
√
◦ Pour les intégrales en 1 + x2 , on peut poser x = sinh t
◦ Pour les intégrales formées à partir de fonctions circulaires, on peut poser t = tan
x
2
2t
1 − t2
et cos x =
L’intérêt de ce changement est donnée par les formules sin x =
1 + t2
1 + t2
.
Quelques cas particuliers :
• Les intégrales de fractions rationnelles : Il est nécessaire de les décomposer en éléments
simples.
• Les intégrales de fonctions circulaires : Il peut être nécessaire de linéariser certaines
expressions trigonométriques.
Applications du calcul intégral :
La valeur moyenne d’une fonction :
1
La valeur moyenne de f sur [a, b] est égale à
b−a
Z
b
f (t)dt
a
La valeur efficace :
La valeur efficace de f sur [a, b] est égale à
s
1
b−a
Z
b
(f (t))2 dt
a
Le calcul d’aire :
L’aire de la partie du plan délimitée
Z par les courbes de deux fonctions f et g et les droites d’équation
b
x = a et x = b (a 6 b) est égale à
a
|f (t) − g(t)| dt
Le calcul de volume :
• Solide engendré par rotation autour de l’axe des abscisses x :
Le volume du solide engendré par rotation autour de l’axe des abscisses de la partie du plan
délimité par la courbe d’une fonction f et les droites x = a et x = b (a 6 b) est donné par
Z b
π (f (t))2 dt
a
• Solide engendré par rotation autour de l’axe des ordonnées y :
Le volume du solide engendré par rotation autour de l’axe des ordonnées de la partie du plan
délimité par la courbe d’une fonction f , l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b (a 6 b)
Z b
est donné par
πtf (t)dt
a
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