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Chapitre III: Evaluation analytique des capacités parasites dans les structures CMOS.
III.B.2.
La fonction de transformation
La première étape est donc de choisir la fonction de transformation. [Plonsey 61] propose d’utiliser la fonction (F)
cosinus réciproque:
o
Eq. III-5
Eq. III-6
o
Ensuite, il nous faut exprimer les coordonnées du nouveau repère (x’, y’) en fonction de celle de l’ancien (x,y).
Commençons par isoler x et y à partir de l’équation III-6. Par définition du cosinus pour un nombre complexe Z :
o
Eq. III-7
Avec Z=x’+jy’, l’équation III-7 devient :
(
o
)
(
)
Eq. III-8
En développant, on a :
o
Eq. III-9
En égalisant la définition exponentielle et la définition trigonométrique d’un nombre complexe, l’équation III-9
peut être réécrite :
(
o
( )
)
(
(
)
)
Eq. III-10
Sachant que pour un nombre réel a, cos(-a)=cos(a) et sin(-a)=-sin(a), et en factorisant l’équation III-10:
o
o
(
)
(
)
Eq. III-11
En identifiant les définitions des fonctions cosinus et sinus hyperbolique (ch et sh) dans l’équation III-11, on
obtient :
o
o
Eq. III-12
On peut alors réécrire l’équation III-6, et isoler x et y et les exprimer en fonction de (x’, y’) :
o
Eq. III-13
Eq. III-14
Afin de vérifier que la fonction de transformation donne bien un repère elliptique, on élève au carré les équations
III-13 et III-14, puis on les divise respectivement par ch(y’)² et sh(y’)². En sommant les termes obtenus, on a :
Eq. III-15
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