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土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 測量 ラーニング集 ―目 次― 測量試験内容 [NO.01] 誤 差論 [NO.02] 測 量機器 ① [NO.03] 基 準点測 量 [NO.04] G NSS (G PS) 測量 [NO.05] 多 角測量 [NO.06] 測 量機器 ② レ ベル (水準 儀 ) [NO.07] 水 準測量 [NO.08] 用 地測量 [NO.09] 面 積計算 付 録 A 座標 変換 1 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 測量 ラーニング集 [NO.01] = 誤差論 最確値(平均値)の標準偏差 ⇒統計学では標 準誤差と呼ぶ。 誤 差 01 算 術平均 値 n 観測値: ₁, 観測値の個数 残差 ₁ ₁ 平方残差 ₁ ₁ ₁ ² ² 平方残差の総和 Σ =Σ - 最小 ∂ ∂ = より Σ n = また誤差、あるいは残差の総和はゼロであ るから これを①に代入してnで割ると ε² ²+ ² ② ここで ²は 近 似 的 に 平 均 値 の 分 散 な の で ² ²= Σ x-2x Σ n ²→ ③ ③を②に代入すると 算 術平均 の 標 準偏差 残差 同一精度で観測した個々の観測値の標準偏 差 m 、 の 式の 証明 残差 誤差ε 真値 ε ε 平方すると ε² ² n個の観測値に関して ε ² ² ε ² ² ² ² ² ε ² ² ² これらを合計すると ε² ²+2 ² ① 分散 標準偏差 の定義は ² ε² nであり、 それぞれの測定値 の分散は とすると、平均値は であり、その分散は = 通常、 とおけるから 2 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 誤 差 11 測定距離 の最確値 : の測定距離 : の重み 測 量 ラ ーニ ング 集 [NO.02] 測 量機器 ① ( セオド ライ ト) →正反観測で消去 ③ 鉛直軸 誤差 (v):視準線⊥水平軸 ,水平軸 ⊥鉛直軸の場合に,鉛直軸が鉛直方向か らvだけ傾いている場合を考える。セオ ドライトの最大傾斜方向に視準線が傾い たときには,その方向では誤差が生じな い が , 最 大 傾 斜 の 方 向 か ら 90度 方 向 に は 最大の誤差が起こる。鉛直軸が鉛直方向 から傾いているために水平角読定値に影 響する誤差をいう。 v: 鉛直軸の鉛直線からの傾き u:鉛直軸の最大傾斜方向からの角度 h:目標の高度角 → 望遠鏡 正反 の観測 では 消去で きな い。 ④ 外心誤 差:視準線が,回転軸の鉛直 軸の中 心 ( O) か ら r だ け 外 れ て い る 場 合 に は , 目標A,Bに対して外心誤差 , が起こる。 = = セ オドラ イト 01 ① セ オ ド ラ イ ト ( TS) の 構 造 は , 鉛 直 軸 、 水平軸,視準軸から成り 、これをセオド ライトの3軸という。 ②セオドライトの主要部分には ,水平角や 鉛直角を測る水平目盛盤や鉛直目盛盤, さらに鉛直軸を鉛直にするためのプレ ートレベル(上盤気泡菅)がついている。 セ オドラ イト 02 ① 視準軸 誤差( c):視準軸は,対物レンズ 中心を通り水平軸に直交する軸。視準線 とは対物レンズ中心と十字線とを結んだ 線。視準軸誤差は視準軸と視準線との違 い。 c:視準線の傾き h:高度 →正反観測で消去 ② 水平軸 誤差( i):視準線と水平軸が直交 し,鉛直軸と水平軸 の直交からiだけ傾い ている場合を考える。これを水平軸誤差 という。 →正反観測で消去 ⑤ 偏心誤 差:目盛盤の中心( O)からはずれ た位置に鉛直軸(回転軸)の中心がある場 合には,水平角測定値に誤差が生じる。し かし,対称位置に A,Bの対向測微装置(読 定装置)があり ,180度対称位置が読定さ れれば,夾角には偏心誤差は含まれない。 → 測微装 置が 1つ でも正 反観測 で消 去 鉛直角観測では望遠鏡正,反における望遠 鏡の回転角はθであり ,180度の回転は行わ な い か ら 測 微 装 置 の 位 置 は 1 8 0度 の 対 向 位 置には来ない。したがって ,鉛直角観測では 測 微 装 置 1個 の 場 合 に は 偏 心 誤 差 は 消 去 さ れない。 ⑥目盛誤差:目盛盤の目盛間隔が不等のた めに,使用する目盛の位置によって測定 値が変わる。これを目盛誤差という。最近 は写真技術を用いる目盛技術が発達し, 大きな目盛誤差はなくなった。 目盛の製作技術の観点から周期性がアト ランダムであると考え,目盛誤差を消去す るため目盛の全部を等分した位置で観測す るし,これらの平均値で ,目盛誤差を近似的 に減らす手法を使用する。n対回観測の場 合,180°/nずつずらして観測する。 5 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 セ オドラ イト 03 ○ 正反観 測の 平均値 で消 去でき る誤 差 水平軸誤差: 水平軸と鉛直軸が直交していない 視準軸誤差: 視準軸と視準線が一致していない 目盛盤の偏心誤差: 目盛盤の中心が鉛直軸の中心と一 致していない 望遠鏡の偏心誤差: 望遠鏡の視準線が鉛直軸の中心か ら外れている ○ 正反観 測の 平均値 で消 去でき ない 誤差 鉛直軸誤差: 鉛直軸の方向が鉛直線の方向に一致してい ない 目盛誤差:目盛盤の目盛間隔が均一でな い ゆらぎによる誤差: 空気密度の不均一さによる目標像のゆ らぎ セ オドラ イト 07 ○ 視差の 消去 十字線を見て合焦(焦準)ネジで調整す る 視度調整1回、平均距離の方向を零方向 とし,視度調整を行い ,全方向を観測す る ( 光波測 距儀 ) 光 波測距 儀 01 ○ 機能点 検 光学求心装置にフラツキがなく正常で あること デジタル表示ランプが正常であること モニタメーターの表示が正常範囲内で あ ること 光 波測距 儀 02 ○ 測定距 離 セ オドラ イト 04 ○ 機能点 検 光学求心装置にふらつきが無く正常な こと 各軸の回転が円滑であること 気泡管の調整機構が正常で ,気泡の移動 が滑かなこと 望遠鏡の視度調整機構が円滑で、測量中 に視度の変化がないこと 水平鉛直角の読取装置が正常なこと 光波測距儀固有の標準屈折率 n:測定時の光路の屈折率 :見かけの測定距離 :光 波 測 距 儀 が 採 用 す る 標 準 屈折率 :気象観測から得られた屈折率 セ オドラ イト 05 ○水平角の検定 3方向に0゚,60゚,120゚,及び30゚,90゚,15 0゚の 3 対 回 を 1 セ ッ ト の 観 測 を 2 セ ッ ト 行 い, 各セットの 倍角差 ,観 測差,中数 値 (T 1 -T 2 )を検定する λ λ セ オドラ イト 06 ○鉛直角の検定 3個の目標を1対回観測し , 高度定数の較差を検定する 気象補正済みの距離(m) 気象補正していない距離 光波測距儀が基準としている気圧 6 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平成 27年 両端点の平均気圧 光波測距儀が基準としている温度( ℃) t:両端点の平均温度 光波測距儀が基準としている水蒸気圧 両端点の平均水蒸気圧( ) 湿度項 群速度に対する屈折率( ℃, の空気) :光波の実効波長( ) 光 波測距 儀 03 ○ 測定距 離 :測定値 :気象補正値 :器械定数 :反射鏡 (ミラー) 定数 ○ 変調周 波数 の影響 f:測定時の周波数 :器械の基準周波数 → fが f o よ り 低 い と き は f o -f>0,dD<0と な っ て 測定長 は短 くなる 。 光 波測距 儀 08 ○ 距離に 比例 する誤 差 ①気象測定による誤差 ②周波数変動による誤差 ○ 距離に 関係 しない 誤差 ①位相差分解能 ②器械定数誤差 ③器械本体、反射鏡の致心誤差 ④反射鏡の定数 ⑤反射鏡致心誤差 光 波測距 儀 ○ 距離測 定三 点法 :器械定数+反射鏡定数 光 波測距 儀 05 ○ 測定距 離の 比例誤 差:屈折 率(n)の 誤差 (Δ n)が 測定 距離( Ds) に及ぼ す影 響 = , :定数 :気温 :気圧 ト ータル ステ ーショ ン 01 ○ 利点 角度と距離の測定が同時に可能 観測データは自動記録され ,手簿記入が 省略できる (入力 は器 械高と ミラ ー高の み) 転記ミスがなく ,観測時間が短縮 観測データの点検が自動で行える 三次元座標が求まる 一連の自動処理が可能である (トータルステーション) 光 波測距 儀 06 ○ 気象補 正: :゚ : : (水蒸気圧) ○ 気象補 正前 に 気温が低くなると→測定距離が長くな る 気圧が低くなると→測定距離が長くな る 光 波測距 儀 07 ト ータル ステ ーショ ン 02 ○ 短所 重量が重く、価格が高い 取扱が難しい 常識を越えたミスの発見が難しい 人意的なデータ操作ができない ト ータル ステ ーショ ン 03 ○ 発展 角度と距離の同時測定から画的データ が作成され,道路設計システム ,土木施 7 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成工管理等に利用できる 27年 GPSと組合せた測量システム 構造物を定期的に自動測定し ,歪み等の 管理ができる ト ータル ステ ーショ ン 04 ○ 取扱上 の注 意点 取扱説明書を熟読し ,正しい操作 斜距離と水平距離の間違 ,測点番号 ,器 械高,気象データ,反射鏡定数の手入力 ミスを防止する 器械重量が大きいことから ,三脚のねじ れ,器械沈下のための脚杭 ,踏み板の設 置等を検討する バッテリー残量に注意し ,予備電源を用 意す る データコレクタは ,フロッピーディスク の湿気や衝撃に弱いため ,取扱には十分 注意する 収 集観測 デー タは , 速や かに , コピ ー , パソコン等へ転送 記録する モニター,データコレクタに異常が発見 された時は,作業を中止し ,異常原因と 影響範囲を調査する 測 量 ラ ーニ ング集 [NO.03] 基 準点測 量 基 準点測 量 01 基準点測量: 三角測量はなくなり,基準点測量はトー タルステーション( TS)等で角と距離を測り 座標差を求める方法 ,GPS測量機で基線ベク トルを求める方法が 行われる 。 既知点の基準点に基づき,測角測距を行 い新点の基準点の水平位置,標高を定める 作業をいう。 基 準点測 量 03 (1)作業計画 地形図上で新点の概略位置と測量方式 を決定,平均計画図を作成 作業方法,使用機器,要員,日程につい て適切な作業計画書を作成 基 準点測 量 04 (2)選点 平均計画図に基づき ,現地で既知点の現 況調査を行い新点位置選定 地形,植生,他現地状況に応じ作業の実 施方法を検討 選点図の作成と平均図の承認を得る 基 準点測 量 05 ○平均計画図 地形図等(主に空中写真)を用い机上計 画を作成 既知点と新点の予定位置をプロット 新点条件,配点密度を考慮する ○選点図 平均計画図に基づき現地調査を行い ,測 点間の視通を確認し新点を確定 確認された視通線を記入する ○平均図 観測図,選点図に基づき ,作業規程条件に 適合し効率的に作業できる多角網を確定 ○観測平均図 計画機関で承認を得た平均図に基づき作 成す る 基 準点測 量 06 基 準点測 量 02 TSに よる方式 ①測量計画 ②観測 ③計算 GNSS(GPS)に よる方 式 ①測量計画 ②観測 ③計算 ○選点の留意点 既知点の数を多くし均等に配置する 交点の数を多くし各路線が強く結ば れていること 路線は短く,節点の数を少なくする 路線長を均一にする 短かい折線は避ける ○新点の選定条件 視通が良好 8 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成地盤が安定 27年 後続作業の利用 標石の保全等を考慮 最も適切な位置に選定 道路の変更改良 ,新設計画等を関係官公 署に照会し移転のない位置 交通量の多い道路上は避ける 交差点付近は将来の利用面で良い 泥湿地,軟弱地盤河岸,堤防,盛土等の 局部的に地盤沈下が予想される場所は 避ける 発見の容易な場所 埋設,観測作業の容易な場所 基 準点測 量 10 (5)現地計算(補正計算 ,点検計算) (6)平均計算 新点の水平位置,標高に関する諸要素 を計算し,成果表等を作成する作業 基 準点測 量 07 (3)測量標設置 新点等の位置に永久標識 ,一時標識 を設置する 必要に応じ保護施設を設ける 所定の規格,方法で堅固に埋設する 建標承諾書の取得 測量標設置位置通知書の作成 点の記の作成と写真撮影 基 準点測 量 08 (4)観測 平均図に基づき ,トータルステーション , セオドライト ,光波を用い ,関係点間の 水平角,鉛直角,距離を測定する作業 必要に応じ測標水準測量を行う 基準点が直接観測できない場合は ,偏心 要素を測定 計画機関で承認を得た平均図に基づき 観測図を作成 GPS衛星からの電波を受信し位相デ ータを記録する 基 準点測 量 09 ○点検路線 路線長が短いこと 既知点と既知点を結合すること 全既知点が少なくとも1つの点検路線 で結合されていること 全単位多角形は少なくとも路線の1つ が点検路線と重複すること 9 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 測量 ラーニング集 [NO.04] GNSS(GPS)測量 4)短縮 スタテ ィック 法:衛 星数を増 す代わ り に(5衛 星以 上)観 測時 間を短 縮す る方法 。 ( 20分 程度 ) 5)キネ マティ ック法:基 準とな る固 定点に 1 台の受信機を固定し,もう1台の受信機は複 数の観測点において短時間で次々と移動しな が ら行う 方法 である 。 GNSS01 ○ 汎地球 測位 システ ム 衛 星軌道 半径 : 高度 20,000kmの 6軌 道 地 球1周 :1 2時間 軌 道情報 は放 送暦 2 4個の 人工 衛星発 信電 波の内 , 4 個以上 の衛 星から 同時 受信 水 平 X, Y,高 さ Z,時間T 受 信機の 時計 誤差を 考慮 GNSS04 ○ ネット ワー ク型 法 ( 1台で観測 ) (1) :電 子 基 準 点 の 観 測 値 を 利 用 し , 電 子 基準点内の誤差状況を推定して,エリア内 の 任意指 定位 置(仮 想点 )での 観測 を作成 (2) : 観 測 点での 各種 誤差を 推定 GNSS05 GNSS02 ① 単独測 位 受信機1台で,衛星からの電波に含まれ るコードの情報によりリアルタイムに位 置 決定を 行う 。 航 法分野 :精 度 100m程 度 既 知点は 不要 ② 相対 (干渉)測 位 複数の測点で同時観測を行い,測点間の 相 対 的 位 置 関 係 (距 離 と 方 向 )を 求 め る 方 法 既 知点座 標が 必要 デ ィファ レン シャル 方式:DGPS・差 動 GPS 干 渉測位 方式:ス タティ ック法 ,短 縮スタ テ ィック 法 ,キネ マテッ ク法( 法 、ネ ッ トワー ク型 法) GNSS03 1)DGPS(作動 GPS):単独 測位の よう に ,コード 情 報 で 位 置 を 出 す が , 受 信 を 2箇 所 で 行 い , 一 方 を 基 準 局 (既 知 点 )と し て 相 対 的 な 位 置 決 定を行 う。 (トラ ンス ロケー ショ ン法) 2) 干 渉 測 位 : 2 点 で 搬 送 波 の 位 相 を 受 信 し , その差をとることで電波の行路差を観測量 と して基 線解 析を行 う。行 路差の搬 送波( L 1波 )に 19cm の不確 定が 生じる ので ,次の 方 法で決 定す る。 3)ス タテ ィッ ク法(静的 干渉測 位):観測時 間中、受信機をそれぞれの観測点に固定し て 連 続 的 に デ ー タ を 取 得 す る 。 ( 1-3時 間 ) ○ ジオイ ド補 正: 観測からは 系に準拠する 楕 円体高 hが求 まる ジオイド高 を補正し楕円体高から標高 を 求 める 日 本測地 系 GNSS06 ○ 座標変 換 系 へ の変換 パラ メータ 基 準点座 標 92, パ ラメータ マップ 座 標変換 プロ グラム : GNSS07 ○ 誤差 電 離層伝 搬遅 延誤差 : 周 波数の 2乗 に比例 2 周波 (L1.L2)観 測で 補正 対 流圏伝 搬遅 延誤差 :標 準大気 モデ ル ( 気温, 気圧 、湿度 )で 補正 整 数値バ イア ス:多 重解 からの 基線 解観 測 時間を 確保 する ア ンテナ 高計 測誤差 :同 機種の アン テナ を 同方向 に立 てる 時 計誤差 :二 重位相 差を 計算す る 軌 道情報 誤差 :精密 軌道 暦を用 いる サ イクル スリ ップ 10 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 GNSS08 ○ 基線ベ クト ル 観 測 デ ー タ を 解 析 し 衛 星 か ら の 距 離 差 (行 路 差 )より求め る ・ 0.001mま で は GNSS09 ○ 観測( 干渉 測位方 式) 観 測図:セッ ション(同 時に複 数の GNSSを 用 いて行 う観 測)計 画を 記入 既知点と新点を結合する閉多角形を形成 する 異なるセッションの組合せ点検のための 多 角を形 成 異なるセッションの組合せ点検のための 1 辺以上 の重 複観測 標 高取付 :楕 円体高 差= 高低差 ( 距 離 500mま で) GNSS10 ① スタテ ィッ ク法( 静的 ) 精 度 :数百 kmで 数 cm 測量点にアンテナと受信機を設置し,全 点 同時に GNSS電 波 を受信記 録する ② 短縮ス タテ ィック 法 ③ キネマ テッ ク法( 動的 ) 既知点に1台の受信機を固定し,もう1台 の受信機を複数の未知点を順次移動し観測 する GNSS観 測 し 基 線 長 と の 差 が 許 容 範 囲 内 か を 点検 GNSS13 ○ 機能点 検 光学求心装置にフラツキがなく正常であ る こと デ ジタル 表示 ランプ が正 常なこ と モニタメーターの表示が正常範囲内であ る こと ア ンテナ 、ケ ーブル 、コ ネクタ ーが 正常で あ ること GNSS14 ○ 観測値 の点 検 基 線 ベ ク ト ル の 環 閉 合 差 : 25mm 異なる セッション多角形の,基線ベクトル各成 分 の環閉 合差 を計算 する 重 複する 基線 ベクト ルの 較差: 25mm 重複する基線ベクトルの各成分を比較点検 す る GNSS15 ○ 偏心要 素 偏 心距離 :斜 距離 偏 心角: 方位 角 ,高 低角 ,高低 差 ト ータル ステ ーショ ン等 は 偏 心距離 :基 準面上 の距 離 偏 心角: 零方 向と本 点間 の 夾角 GNSS11 ○ 受信高 度角 : 15度 を標 準 上空視 界が 確保で きな い場合 は , 30度 まで緩 和し てよい GNSS12 ○ 検定 国 土 地 理 院 の GNSS比 較 基 線 場 に お い て 観 測 値と基 線長 の差が 許容 範囲内 かを 点検 GNSS比較 基線 場の使 用が 困難な 場合 は ,1 k m以 上 離 れ た 2点 以 上 の 任 意 の 点 を 設 け 検定された光波等により測定し,基線長 と する GNSS16 ○ 利点 長 距離で 高精 度な測 量が 可能 観 測点間 の視 通がな くて もよい 三 次元的 な相 対位置 が求 まる 天 候障害 が少 ない 全 地球的 範囲 で24 時間 の観測 可能 準 拠楕円 体高 が求ま る ○ 発展 航 測 カ メ ラ と 連 動 す る こ と で ,高 精 度 な 空中三角測量が可能となり,撮影標定図 が 自動出 力き れる 音 響測深 機と 連動す るこ とで ,海洋 調査 , 河 川の流 量流 速観測 が行 える 11 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 測量 ラーニング集 [NO.05] 多角測量 三 角点 ( 歴史) 一 等三角 測量 ではイ ンバ ールテ ープ(ワ イヤ ) で 計 測 し た 数 百 メ ー ト ル の 基 線 Iに 基 づ い て 、 そ の 辺 を 含 む 2つ の 三 角 形 ( 基 線 Iは 四 辺 形 の 対 角線)の内 角を調 整し て、も う一 つの対 角線 II( 何 回も拡 大して 40k m)を求め 、各 辺 40k mぐらいの三角形にして、日本の三角測量は 明 治時代 に完 成する 。 三角測量の形は三角網と三角鎖とがあるが、 前者は日本国内及び朝鮮半島、後者は満州国 時代に行われ、東京原点は朝鮮半島から満州 ま でを結 合し ている 。 三 角測量 から 電波測 距装 置(テ ルロ メータ )が 開 発され 、三 辺測量 にな り、さ らに 光波測 距装 置 により 多角 測量が 行わ れてい る。 セオドライトと光波測距儀の一体型の器械、 つ まり角 度と 距離が 同時 に測れ る、TS(トー タ ル ステー ショ ーン)が開 発され て、それが 現在 ま で使用 され ている ので 、そ の構造・誤 差、偏 心 観測、その 他多角 測量 に関係 する 事柄を 、こ こ では取 り扱 うこと にす る。 多 角 測 量 01 正 弦定理 : 余 弦定理 : 表6 観 測結果 T' 53 25'23" e 2.000m φ 330 00'00" =1/2000 2 105 =100" =53o 25'23" S’が 既 知 の 場 合 ( 2 辺 夾 角 ) (例 : 平 成 22年 補 ) 距 離 AB=Sの 算 出 観 測結果 S' 900m e 100m T 314°00'00" φ 254°00'00" 面 積: ( R: 外接円半 径) 多 角 測 量 02 ○偏心補正 1) 視 準点 (目 標 )の偏心 ( 例 : 平 成 23年 補 ) ( 偏心) ∠ BAC= Tの 算出 S=2,000m 12 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 多 角 測 量 03 ○ 鉛直軸 誤差 : v:鉛直 軸傾斜 角 U:鉛直 軸最大 傾斜 角と視 準目 標角 H:視準 高度角 ( U=90゚のとき ) 気 泡管軸 が鉛 直軸に 直交 してい ない 目標高低角が大きくなると誤差も大きく なる 気泡偏位量で観測値を補正すると誤差は 小 さ くなる H 2 =40.487+1.4-1.9=239.987m (例②)反観測 既 知点 1の標高 H 1 =200.000m 求 点 2での高低 角 2 =-1 31 40 観 測斜め 距離 L= 1,500.000m 求 点 2での器械 高 i 2 =1.5m 既 知点 1での目 標高 f 1 =1.8m H 2 =200.000-39.992-1.5+1.8=240.292m 多 角 測 量 08 ○ 気差 測 定距離 Sを挟 む中心 角: 多 角 測 量 04 Sを 挟 む地球の 中心角 : = ○ 水平軸 誤差 : 水 平軸が 鉛直 軸に直 交し ていな い 屈 折係数 K=R/R ( = 0.14) (気 差 ) (球 差 ) 多 角 測 量 05 ○ 視準軸 誤差 : 視 準線が 水平 軸に直 交し ていな い 多 角 測 量 06 目 盛盤の 偏心 誤差: 外心 誤差 視 準軸の 偏心 誤差 目 盛誤差 :目 盛間隔 が均 等でな いこ とに よ る誤差 180゚/ nず つ目盛 位置 を変え て観 測する 多 角 測 量 07 高低計 算 正 観測( 既知 点→求 点) :両差 Kは+ 反 観測( 求点 →既知 点) :両差 Kは- 正 反の平 均→ 両差 Kは消去 される (例 ① )正 観 測 既 知点 1の標高 H 1 = 200.000m 既 知点 1での高 低角 1 =1 32 50 点 1-2間 の斜め 距離 L=1499.475m 既 知点 1での器 械高 i 1 =1.4m 求 点 2での目標 高 f 2 =1.9m (両 差 ) 両 差K = 球差 -気差 両 差+: 既知 点→求 点 両 差-: 求点 →既知 点 (例③) 水 平距離 S=1,500.000m 球差= 0.177m 気差= 0.025m 両 差K =球差 -気 差 =0.152m (∴ 四 等三角点 間の両 差は 約 15cmで あ る。 ) 多 角 測 量 09 ○ 傾斜補 正: L:斜距 離 (例) L=500.000m h=16.0m Cg=-0.256m 水 平距離 D=500.000-0.256=499.744m 13 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 多 角 測 量 10 平 均高低 角 ○ 投影補 正: H 1 :点1の 標 高 i 1 : 点 1の 器械高 H 2 : 点 2の 標高 i 2 :点 2の 器械高 R=6370km H m :楕円 体上の 両端 点の平 均高 さ Ng: 両 端点の 平均 ジオイ ド高 D:測 定 距離 (例 ) 点 1の 標高 H 1 =200.000m 点 2の 標高 H 2 =239.987m 回 転楕円 体上 平均高 さで の水平 距離 D=1,498.928m ジ オイド 高 Ng=37.507m 器 械高 m 平均 Ng:ジ オイド高 ( A,Bの平均 値) R: 地 球の平均 半径 準 拠楕円 体上 の平均 高さ (例) 斜 め距離 L=1,499.468m H 1 =200.000m i 1 =1.5m H 2 =239.987m i 2 =1.5m 既 知点 1での高 低角 1 =1 32 50 求 点 2での高低 角 2 =-1 31 40 ジ オイド 高 Ng=37.507m 準 拠楕円 体上 の平均 高さ ( この Nは卯酉 線曲率 半径 ) -0.061m 水 平距離 S=1,498.867m 注 ) 地 球 の 平 均 半 径 Rは 卯 酉 線 曲 率 半 径 Nと 子 午 線曲率 半径 Mか ら計算さ れ、ジオイ ド高 Ngは GSIの HPか ら 緯 度 、 経 度 を 用 い て 得 ら れ ま す 。 緯 度 34 41 25 、経度 135 30 19 と する と、ジオ イ ド 2000よ り Ng=37.507m となり ます 。 ( この Nは卯酉 線曲率 半径 ) 楕 円体上 の距 離 S=1,498.867m 多 角 測 量 12 ○ スチー ルテ ープに よる 距離の 計算 ℓ 多 角 測 量 11 ○ 基準面 上の 距離( S) S:回 転楕 円体 上の 距 離 L:斜 距離 H 1 :A点 の標高 i 1 : 器 械高 H 2 :B点 の標高 i2: 器械 高 1 : A点 におけ る高低 角 2 : B点 におけ る高低 角 ℓ (t-t o )L>0のと き:+ 補正 傾斜 補正 Cg:- 補正 投影 補正 C h : H>0のと きは- 補正 多 角 測 量 13 ○ 朝夕の 角観 測 水 平角: 朝夕 がよい 高 低角: 朝夕 は避け る 多 角 測 量 14 14 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 27年 ,基 準方向 ○成 零方向 自 点より 高次 点を採 用す る 全 方向の 平均 距離, 平均 高度を 配慮 北 方の点 を採 用する 平 面 直 角 座 標 系 に お い て , A点 を 通 り X軸 に 平 行 な 直 線 の +X の 方 向 か ら 右 周 り に B点 の 方 向 ま で測っ た角 真 北方向 角 ( 方位角 )= (方向 角) -( 真北方向 角) 多 角 測 量 15 ○ 球面か ら平 面への 投影 (平 面 直角座標 系 ) m:縮 尺係 数 y : y座標値 R: 平 均曲率半 径 m o :原 点 の縮率 ( 0.9999) (例 ① )平面直 角座標 値x =-187,323.352m、y= -35,145.927m 、緯 度 =34 18 38.157 で の縮尺 係 数mを 求め ると、 GRS80楕 円体の 長半径 a=6,378,137m 扁 平率の 逆数 1/f=298.2572221 b=6,56752.314m 卯 酉線曲 率半 径 子 午線曲 率半 径 平 均半径 多 角 測 量 17 ○ 三角点 成果 表 1)三角 点ごと に作成 され,標題に三 角点の 等 級 ,点名 ,標 石番号 が表 示 され る。 2)B,Lは 準拠 楕円体 上の 地理学 的緯 度、経 度を 示 す。 3)真北 方向角 は,当該三 角点を 通る 座標の 北 か ら子午 線方 向の方 向角 である 。 4) X,Yは 平面 直角座 標系 の座標 値を 示す 。 5)標 高( H)は 東京湾 平均 海面( ジオ イド)上 の 高さを 示す 。 6)ジオイ ド高 は準拠 楕円 体を基 準と したジ オ イ ド面ま での 高さを 示す 。 7) 柱 石 長 は 永 久 標 識 を 設 置 し た 在 位 の 柱 石 , 又 は金属 標の 長さを 示す 。 8)平均 方向角 は,当該三 角点か ら視 準点 方 向 の準拠楕円体面上の球面方向角で,平均計 算 で得ら れた 値で表 す。 9)距離 は,当 該三角 点か ら視準 点ま での準 拠 楕 円体上 の球 面距離 を表 す。 10) 縮 尺 係 数 s/Sは 球 面 距 離 Sに こ の 値 を 乗 ず ると,その点に属する平面直角座標系の平 面 距離 sとなる 係数で ある 。 距 離の縮 率 多 角 測 量 18 水 平角観 測手 簿の例 (2点 の Y座 標 値 y 1 ,y 2 か ら の 縮 尺 係 数 ) s (例 ② )2つ の 点 の 平 面 直 角 座 標 値 x 1 =-187,323. 352m、y 1 =-35,145.927m、緯度 1 =34 18 38.1 57 と x 2 =-187,113.858m 、 y 2 =-34,609.285m 、 2 =34 18 45.022 の距 離の 縮率は、次 のよう に 求 められ る。 m= s/S=0.999920018 多 角 測 量 16 方 位角 A点 を 通る子午 線を基 準に B点 まで測っ た角 方 向角 準 則 38条 15 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 1級 基 準点測量 2級 1級TS 2級 2級 TS 3級 4級 倍 角差 15 20 30 30 60 観測 差 8 10 20 20 40 ② ℓ 式 ①から ③ こ れを式 ②に 代入し て変 形すれ ば ℓ 上 の例は 4級基 準点測 量と すると 、 ① 倍角差 = 40 < 60 → 合格 ② 観測差 = 40 = 40 → 合格 ③ 観測角 = (140+100)/4= 60 → 321°35 60 = 321°36 0 ℓ 正 しい天 頂角(鉛直 角)は 式④か ら計 算でき る。 式 ①と式 ②を 加える と ℓ ⑤ こ の 2cが高度 定数で ある 。 多 角 測 量 19 ○ 高度定 数 ある目標の高度角を望遠鏡正、反で測った値 を r、ℓとする と r+ℓ=一定 となり、こ れを高 度 定 数 と い う 。 普 通 の セ オ ド ラ イ ト は r+ =360 となっている。高度定数が大きくなる場合に は 、 望 遠 鏡 気 泡 管 軸 を 調 整 し て 360 に 近 づ け る。 図1 ④ ( 鉛直角 手簿 (高度 定数 )の計 算例 ) 図2 定 数差= 63-56= 7 < 10 ( 1級 基準点) 図3 準 則 38条 (高 度定数 の較 差) 1級 基 準点 10 2級 基 準点(1級 TS) 15 ( 2級 TS) 30 3級 基 準点 30 4級 基 準点 60 図 1の よ う に 視 準 線 の 接 眼 鏡 側 に 目 盛 盤 の 9 0°を 合 わ せ る べ き と こ ろ 、 cだ け ず れ て 固 定 さ れてい るも のとす る。 図 2は 望 遠 鏡 正 で 目 標 Pを 視 準 し た 場 合 で 、 正 し い天頂 角( 鉛直角 )を Zと すると、 ① 次 に 図 3は 望 遠 鏡 を 反 転 し 、 望 遠 鏡 反 で 目 標 P を 視準し た場 合であ り、 16 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 多 角 測 量 20 ド高 標高 ジオイ 楕円体高 地面 : 測線 の誤 差 ・ : 測線 に直角 方向 の誤差 : 方 向角 の誤差 d:交 角の 誤差 ジオイ ド 楕円 海水 体 面 多 角 測 量 21 ○座標の計算 X o ,Y o :既 知 点 Oの座標 Ti:X軸 に 平 行 な 方 向 か ら 測 線 ま で の 右 周 り 水 平角 Si:測 定辺長( 平面距 離) 内 角測定 の場 合 外 角測定 の場 合 ( 平 成 19年 )点 Aの座標値 は、X=-500.00m、Y= +1,000.00mと する場 合、点 Pの X座標 値及び Y座 標 値の値 はい くらか 。 方 向角 TAP=310° 距 離 SAP= 1,000m 多 角 測 量 24 ○ 倍角差 ,較 差,観 測差 r:正 ℓ:反 倍角 : r+ℓ 較差 : r-ℓ 倍角 差: 倍角の 最大 と最小 の差 観測 差: 較差の 最大 と最小 の差 多 角 測 量 25 ○ 倍角 ,倍角 差,較差 ,観 測差に 含ま れる 誤 差 ① 目標の 視準 誤差 ② 目盛盤 の読 取誤差 ③ 目盛盤 の目 盛誤差 ④ 視準軸 誤差 ・水平 軸誤 差 ⑤ 鉛直軸 誤差 ⑥ 偏心誤 差 区分 倍角 倍 角差 較差 観 測差 1 ○ ○ ○ ○ 2 3 4 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 5 ○ 6 多 角 測 量 26 多 角 測 量 22 ○ 新点精 度: 結 合 多 角:混 在する 多角 網の他 , 型があ る。 単 路 線:両端 に既知 点を 有し ,一路 線で新 点を 結 ぶ方式 。 閉 合 多 角 : 2個 以 上 の 単 位 多 角 ( 閉 合 多 角 形 ) に より形 成さ れる多 角方 式。 Q: 図形の良 否 ( Qは 小さいほ ど図形 の精 度は良 い) m: 単位重み 精度( 秒) 多 角 測 量 27 閉 合誤差 : 多 角 測 量 23 ○ 測距と 測角 の精度 の釣 り合い ℓ 閉 合比: R = 17 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 = 正 しい距 離= ℓ m 多 角 測 量 33 多 角 測 量 28 ト ラバー スの 調整 ○コ ン パ ス 法 則 角 度,距 離の 精度が 等し いとき S i :各 測 線長 [S]:全長 ○ト ラ ン シ ッ ト 法 則 角 度の精 度が ,距離 より 高いと き 各 々の緯 距 , 経距に 比例 配分 ① 1方 向の角の 測定精 度 は いくら にな るか。 ② 測距の 測定 精度( =測 距の標 準偏 差 /測定距 離 )はい くら になる か。 致 心 誤差に 基づく 方 向 の標準 偏差: m に対し ラ ディ アン → 秒に換 算 セオドライト自体の 方向測定の標準偏 差: 測 距の精 度を 多 角 測 量 31 ○ 距 離 測 定 三 点 法 ( 光 波 測 距 儀 04よ り ) D 3 +K=D 1 +D 2 +2K K: 器 械 定 数 + 反 射 鏡 定 数 ( 例)平 坦な 土地で 器械 高 ,反 射鏡 高を同 じに して,光波測距儀で の各区間の距離を測 定 した。器械 定数は いく らか。プリ ズム定 数= m と する 。 m, m, m だ から器 械定 数= ○ 測距と 測角 の精度 の釣 り合い 角の測定精度=セオドライトの測定誤差+ 致 心誤差 ( )= 多 角 測 量 34 光 波測距 儀 08よ り 光 波測距 儀を 用いて ,2点 A、B間の斜 距離を 求 め る場合 ,誤 差源と なら ないも のは どれか 。 (1)気 温 , (2)気 圧 , (3)測 距 儀 の 変 調 周 波 数 , (4)測 距 儀 の 器 械 定 数 , (5)A点 に お け る B点 の 高 度角 解 答 (5) 多 角 測 量 32 多 角 測 量 35 ○ 変 調 周 波 数 の 影 響 ( 光 波 測 距 儀 07よ り ) 気象要素の測定誤差が,光波測距儀の測定 距離に及ぼす影響は,概略で次式により表さ れ る。 :測定時 の周波 数 : 器械 の基準 周波 数 気 温測定 の精 度が 1℃のと き,これと 釣り合 う 気圧測 定の 精度は いく らか。 例 変調周波数の基準値が の 光 波測距 儀に より 点 間の 距離を 測定 し , m を 得た が ,変 調周 波数を 調べ たら で あった。正 しい距 離は いくら か。 多 角 測 量 36 ○方向角の閉合差 18 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平成 27年 A,B間の 結合ト ラバ ースを 行い、次 の 三 角点 夾 角を得 た。 = = = = = 既 知点間 の方 向角 = = ゜ 観 測方向 角の 閉合差 はい くらか 。 = か ら へ の方 向角 = (1) から へ の方向 角 Cか ら Aへの方 向角は 多 角 測 量 39 多 角 測 量 37 ○方向角の標準偏差 結 合トラ バー スにお いて 4個 の 夾角βを 10"の 精度で 測定し た。方向 角 T の 標準偏 差は いくら にな るか。ただ し ,A,C点 の 方向角 には 誤差が 無い とする 。 Pに 偏 心してTを 観 測した。 T を求 める 。 距 離 S = 1,800m 偏 心距離 e=2m T=300° φ = 36° △ APBよ り x1=∠ ABPと して ″ ° 多 角 測 量 38 ○ 新 点 Cか ら 見 た 点 Aの 方 向 角 座標 点 m 点 m 座 標差 点 m を 求める ため = を 求める と m m m 19 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 を 求める と ° 左 右の三 角形 の を 対頂角 として △ APCか ら ① △ ABCよ り ② ① =②よ り = 20 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 測量 ラーニング集 [NO.06] 測 量 機 器 ② レ ベ ル (水 準 儀 ) (レベル) レ ベ ル 01 ○気泡管の感度 気 泡 管 軸:直 読式の 場合 には ,気泡 管の目 盛の 中央の接線,合致式の場合には気泡が合致し て 見える 状態 の気泡 の中 央の接 線で ある。 (感度) ) 気 泡管 の曲 率半径 を用 いる場 合 = )気泡 管上の 目盛( )に 対する 中心角 で 表す場 合 (気泡管の感度の測定) ① レベル と標 尺の距 離( )を m に置き , レ ベルを ほぼ 水平(気泡 管の目 盛の 読み dl) に する。 ② その時 の標 尺の読 みを aと する。 ③水準儀の俯仰ねじを回転し気泡管の目盛を n 目盛だ け動 かす( 気泡 の読み dr) 。 ④ その時 の標 尺の読 みは bとす る。 ⑤ 気泡管 の感 度(傾 角) 整 準ネジ の回 転が円 滑で あるこ と レ ベ ル 03 ○測定点検 30m隔 てて,2 本の標 尺を 正しく 立て ,中 央にレベルを整置し,両標尺間の高低差 を 測定す る レ ベ ル 位 置 を 両 標 尺 で 結 ぶ 直 線 上 に 18 m 移動して,再び両標尺間の高低差を測定 し,測定値の差が許容範囲内かを点検す る 脚 向を 180度か えて2 回測 定する (両側 目盛 標尺は 片側 2回) レ ベ ル 04 水準測量作業用電卓(データコレクタ) ○利点: 従 来の手 簿に かえて 使用 できる 電子レベルと組合せることで,観測値が 作業用電卓に自動入力でき,誤読や誤入 力 がなく なる ○性能: 一 定容量 のデ ータ保 存が 可能で ある 入 力観測 値の 加工が でき ない 観 測値の チェ ック計 算機 能があ る 耐 久性に 優れ る (電子レベル) 気 泡 管 の 目 盛 d ( mm) = 2m m ×n 気 泡 管 目 盛 1mmに 対 す る 傾 角 : θ /d 感 度 = 2θ ”/d( mm) レ ベ ル 02 電 子 レ ベ ル 01 自動レベルとデジタルカメラ(画像処理 機 能)を 組合 せたも の センサーからデジタル情報に変換す る コンペンセンタにより水平方向の視準線 を 確保す る ○機能点検 水 準器感 度: 以 上を使 用 気 泡管レ ベル:円 形水準 器 ,主水準 器軸と 視 準線の 平行 を点検 する 自 動レベ ル ,電 子レベル,円形水準 器,視 準 線の点 検 , コンペ ンセ ータの 点検 標 尺付属 水準 器の点 検 鉛直軸回転はマイクロメータのフラツキ が なく円 滑で あるこ と 気泡管調整機構が正常で,気泡移動が滑 か なこと 望 遠鏡の 視度 調整機 構が 円滑で ある こと 十 字線調 整ネ ジに摩 耗が ないこ と 21 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 測量 ラーニング集 [NO.07] 水準測量 水 準 測 量 01 ○ くい打 調整 誤差 : 補正 : ℓ ℓ ℓ =0:水 平 <0:上 向 >0:下 向 ・レベルを両標尺の直線上に整置するレベ ル脚は特定の2脚が視準線に平行,かつ進行 方 向 に 対し 左右交 互に 整置す る ③ 三脚沈 下誤 差: ・地 盤堅固な 場所に 整置 し ,後視,前 視,前 視 ,後視 と観 測する ④ 零点誤 差: ・ 偶数回 観測 する ・ 出発点 に立 てた標 尺を 到着点 に立 てる ⑤ 標尺台 の沈 下: ・ 地盤堅 固な 場所に 整置 する ⑥ 球差, 気差 :等距 離で 観測す る ⑦ 炎動カ ゲロ ウ:距 離を 短くし て観 測 ⑧ 目盛誤 差: ・標尺の 上下 部両端( 20cm)の観 測は 避ける 水 準 測 量 04 ① 標尺間 距離 ( m )の 中間に レベ ルを据 え る。 ② その際 の後 視 前 視 を 読 み取る ③ レ ベ ル を前 視 の 標 尺か ら ( = m ) 離 れ た 点 に 移動さ せる 。 ④ そのと きの 読み , を 読 み取る。 ⑤ 直読式 の場 合 , 点に おいて の値を 読むように整準ねじで調整し,気泡管調整 ね じで気 泡を 中央に 導く 。 ( 合致式 の場 合)プ リズ ム調整 ねじ で ,気 泡の 像 を一致 させ る。 水 準 測 量 02 ( 自動レ ベル の場合 ) 1.整 準ね じで 器械を 水平 にする 。 2.自 動 レ ベ ル を 鉛 直 軸 周 り に 180回 転 さ せ る 。 3.こ の と き ,円 形 気 泡 管 の 気 泡 が ず れ て い る ときには,その半分を気泡管調整ねじで調整 す る。 ○ 電子レ ベル ,自動 レベ ル コ ンペン セー タと画 像処 理機能 鉛 直の傾 き 10'以 内ま では 自動 視 準線の 調整 が必要 気 泡管の 調整 が必要 バ ーコー ド目 盛標尺 とセ ットで 使用 バ ーコー ド目 盛標尺 の距 離 水 準 測 量 05 ○標尺補正: 標尺目盛誤差は目盛線位置刻印誤差と温 度 変 化によ る伸 縮に起 因し 変化す る こ れらの 誤差 を少な くす る温度 補正 1 級,2 級水 準測量 で行 う 2級水準測量の標尺補正は、水準点の高 低 差 70m以 上に20℃ の標 尺補 正量を 用い る ○標尺補正量 基 準温 度 に おけ る標尺 定数 観 測時 の温度 基 準温 度 : 膨張係 数 : 高低 差 例 水 準 測 量 03 ○ 誤差消 去法 ① 視準軸 誤差 :等距 離で 観測す る ② 鉛直軸 誤差 : 基 準温度 の尺 定数: 線 膨張係 数: 観 測比高 : 観 測時の 温度 ℃ 、基 準温度 ℃ とすると , = ℃、 22 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平成 27年 正 標尺補 = × 水 準 測 量 06 ○ 楕円補 正: 水 準測量 は ,水準面 を基 にして 測量 する。水 準面はその点における重力方向に直交する面 を連ねたものであるので,重量で決まる面で あ る。重 力は ,引力 と自 転のた めの 遠心力 との 合 力であ る。遠心力 は赤 道で最 大で ,極で は最 小 になる 。 水準面に対する比高をジオイド面からの 標 高にお きか える補 正 1 級,2 級水 準測量 で行 う 補正計算: 異なる観測高低差を統一基準日の観測高 低 差 に引き なお す補正 変 動速度 を一 定と仮 定し 観測値 を基 準日 の 値に引 きな おす補 正 水 準 測 量 09 ○ 水準測 量: 既知点 の水 準点に 基づ き ,高低差 を測定 し , 新 点水準 点の 標高を 定る 作業 水 準 測 量 10 : 点 間の中 数緯度 : 点間の 緯度差 (分 ) ( ラ ジアン ) : 点間 の平均 標高 ( ) 低 緯度 高緯 度:- 補正 高 緯度 低緯 度:+ 補正 正 標 高 : 重力 補正し た標 高 正 規 正 標 高 : 標準的な 重力を 使用 する標 高 水 準 測 量 07 ○ 変動補 正 地盤沈下は観測作業中も進行するため,基 準 日に全 路線 の全観 測は 不可能 であ る そ のため の基 準日に 引き なおす 補正 1)直 接水 準測 量 2点間の高低差をレベルと標尺を用い直 接 観 測する レベルを2本の標尺の中央に水平に整置 し, 両標尺の目盛を直接読み取り高低差を求 め る 2) 渡 河水準測 量 直 接水準 測量 で結べ ない 水準路 線を 連結 す る目的 で, 2点間 の高 低差を レベ ル , 標 尺,目 標板 を用い 直接 観測す る 3) 間 接水準測 量 2点間の高低差を 等を用い,角度,距 離 を観測 し, 間接的 に求 める 水 準 測 量 11 水 準 測 量 08 ○ 地盤沈 下調 査 単 期間で 行う 前 年度と 同一 時期に 行う 前 年度と 同一 地域で 行う 1 級水準 測量 の精度 を確 保する 再 測は時 期を 遅らせ ず速 やかに 行う 調 査 事 項 :変 動が大 きい 水準点 は , 前回と今回の観測間に他機関での移転, 改 埋 がない かを 確認す る 人 為的, 自動 車,そ の他 工事等 の移 動が な いかを 確認 する 傾 斜を確 認す る 検 測を実 施し 観測値 を確 認する ○順序 ① 作業計 画 ② 選点 ③ 測量標 の設 置 ④ 観測 ⑤ 計算( 現地 計算、 平均 計算) ⑥ 成果等 の整 理 水 準 測 量 12 ④ 観測 水準路線は往復観測(簡易水準測量を除 く) 往 の標尺 と復 の 標 尺 は 交 換 す る 水 準点間 でレ ベルは 偶 数 回 す える 前 視・後視の視 準 距 離 を 等 し く ,レ ベルは 両 標尺の直 線 上 に 整置 23 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成三 27年 脚の特定の2脚と視準線を常に平行に し, か つ進行 方向 に左右 交互 に整置 新 点は埋 標後 24時 間 経 過 し た後観測 1 級水準 測量 では、開始・終了・固定 点到 着 時に気 温 を 1℃ 単 位 で測 定 水 準 測 量 13 ⑤ 点検計 算 全単位水準環について,全水準路線の環閉 合 差,既知点 から既 知点 の閉合 差を 計算し , 観 測値の 良否 を判定 する 水 準測量 14 重 量平均 によ る標高 計算 表 9-1 観測結果 路線 観測誤差 観測高低差 A→E 2km 2.139m B→E 3km -0.688m E→C 1km +3.069m E→D 2km -1.711m 水 準測量 15 (再 測) 第 65条 1級水 準測量 、2 級水準 測量 、3級 水 準測量及び4級水準測量の観測において、水 準点及び固定点によって区分された区間の往 復 観測値 の較 差が、許容 範囲を 超え た場合 は、 再 測する もの とする 。 一 往復 観測値 の較差 の許 容範囲 は、次 表を標 準 とする 。 1級 2.5mm√ S 2級 5mm√ S 3級 10mm√S 4級 20mm√S (例 : 平成 23年 )1級水 準測 量 A→ (1)較 差 1.0m m: 距離 500m (1)→ (2)較 差 0.3m m:距 離 500m (2)→ (3)較 差 -1.9m m: 距離 500m (3)→ B較 差 -1.1m m:距離 500m 較差 ∴ (2)→ (3)の 路 線 の 較 差 を 再測す る。 > 表 9-2 既知点成果 既知点 標高 A 5.153m B 3.672m C 6.074m D 1.290m 観 測標高 重量 24 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 測量 ラーニング集 [NO.08] 用地測量 用 地 測 量 01 ○ 用地測 量: 土地,境界等を調査し用地取得等に必要 な 資料, 図面 を作成 する 作業 4級基準点測量,4級水準測量以上の精 度 をもつ 基準 点に基 づき 行う ③ 境界確 認: 現 地一筆 ごと に土地 境界(境 界点)を 確認 す る作業 境 界確認 の立 会通知 境 界立会 (官 民、民 民) 境 界確定 :土 地境界 立会 確認書 方 法: 現 地で転 写図 ,土 地調査 表に基 づき ,関 係 権 利者立 会の 上 ,境界点 を確認 ,所 定の標 杭 を設置 用 地 測 量 06 用 地 測 量 02 作業工 程 ①作 業計 画 ②資 料調 査 ③境 界確 認 ④境 界測 量 ⑤境 界点 間測量 ⑥面 積計 算 ⑦用 地実 測図原 図等 作成 用 地 測 量 03 ① 作業計 画 用 地測量 実施 区域の 地形 ,土 地利用 ,植 生 状況等を把握し,用地測量の細分ごとに 作 業計画 を作 成する 作 業計画 書 ( 作業方 法, 使用主 要機 器,日 程要 員) 既 存成果 の借 用 測 量調査 範囲 の確認 権 利者資 料の 借用 ④ 境界測 量 現地で境界点を測定し,座標値等を求め る作 業 補 助基準 点の 設置 境 界点測 量 座 標,距 離, 方向角 計算 用 地境界 仮杭 の設置 用 地境界 杭の 設置 観 測手簿 ,計 算書 方 法: 4 級以上 の基 準点か ら放 射法に よる や むを得 ない 時は補 助基 準点を 設置 する 測量結果に基づき,計算から境界点の座 標 値、境 界点 間距離 ,方 向角を 求め る 用 地 測 量 07 ○ 数値法 ・T S,トラ ンシッ ト ,光 波を用い,4級基準 点 から放 射法 により 境界 座標を 求め る ○ 図上法 ・基準点 に平 板を設 置し ,放 射法に より ,境界 点 位置を 直接 図示す る 用 地 測 量 04 ② 資料調 査 土地取得等に係る土地の用地測量に必要 な 資料を 整理 ,作成 する 作業 作業計画に基づき法務局に備る地図,地 図 に準ず る図 面(公図 ),公 共団体に 備る 地 図等(公図 等)の転写 等を ,土地 登記 簿 調 査、建物登 記簿調 査、権利 者確認 調査に 区 分し行 う 用 地 測 量 08 ○ 補助基 準点 放射法の基点となる基準点を家屋の密集 等 で設置 でき ない場 合に 設置す る 基 準 点 か ら の 辺 長 100m以 内 , 節 点 1 点 以 内 の開放 多角 測量に より 設置す る 所 定標杭 を設 置する 用 地 測 量 09 用 地 測 量 05 ○ 用地境 界仮 杭設置 25 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成用 27年 地幅杭位置以外の境界線上で用地境界 杭の設置が必要な場合に,現地に用地境 界 仮杭を 設置 する作 業 用地幅杭または用地境界仮杭と同一点に, 所 定の用 地境 界杭(コン クリー ト杭 )を 設 置 換する 作業 方 法: 交点計算による用地境界仮杭の座標値に 基 づき, 4級 基準点 より 放射法 で行 う 用地幅杭線と境界線の交点を視通法によ り 決定す る ⑦ 用地実 測図 原図等 作成 前節までの結果に基づき,用地実測図原 図 、用地 平面 図を作 成す る作業 用 地実測 図原 図: 境 界点等 を図 紙に展 開す る 用 地平面 図: 用地実測図原図の境界点等の必要事項を透 写し,現地建物等の必要項目を測定し描画 する 用 地 測 量 14 用 地 測 量 10 ○ 用地境 界仮 杭と用 地幅 杭 用 地境界 仮杭 : 境界確認において確認した画地境界と用 地 幅杭線 の交 点 用 地幅杭 : 中心杭,役杭等からの中心線直角方向の用 地 幅杭点 用 地 測 量 11 ⑤ 境界点 間測 量 境界測量等の隣接境界点間距離を測定し, 精 度を確 認す る 作業 距 離計算 値と 測定値 を比 較する 境 界測量 ,用 地境界 仮杭 設置 ,用地 境界杭 設 置の終 了時 に行う 隣接する境界点間,境界点と用地境界点 との距離を全辺現地測定し,用地幅杭設 置 測量で 計算 された 距離 と比較 し行 う 座 標より 面積 を求め る。 Y座 X 座標 境界点 標値 値(m) (m) A 20 20 51 1020 B -38 10 -45 1710 C -30 -25 -51 1530 D 7 -41 45 315 Σ 4575 Σ/2 2287.5 下 のよう に計 算する とよ り簡単 であ る。 Y座 X 座標 境界点 標値 値(m) (m) A 0 0 51 0 B -58 -10 -45 2610 C -50 -45 -51 2550 D -13 -61 45 -585 Σ 4575 Σ/2 2287.5 面積=2,287.5m 用 地 測 量 12 ⑥ 面積計 算 境界測量の成果に基づき,各筆等の取得 用 地の面 積 , 残地の 面積 を算出 する 作業 座 標法, 数値 三斜法 によ り行う 面 積計算 : 用地取得する又は使用する区域 取 得等の 区域 に対し て行 う 残 地計算 : 一筆の土地が用地幅杭線により3分割以 上の場合,または一筆の土地の残地が一 画 地とし て利 用困難 な場 合に行 う 用 地 測 量 13 26 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 測量 より ラーニング集 [NO.09] 面積計算 三 角形の 面積 公式 01 1) 底 辺 a,高 さh (例題 )底辺= 10m、高さ= 5mの三角形の面 (例 題 )一 辺 の 長 さ が 15m 、 両 点 の 角 が そ れ ぞ れ 35°、 68°の 三角形の 面積は 、 積は 2) 二辺 (a,b)と夾 角 (γ) 5) 二 等 辺 三 角 形 の 底 辺 と 頂 角 (例題 )二辺が 10m、8mであり、その夾角が 60°のとき、この三角形の面積は 3) 三辺(へ ロンの 公式 ) l L ここで、2s=a+b+c θ (例題 )三辺がそれぞれ 3m、4m、5mの三角 形の面積は、 l 4) 二 角 (β,γ)と 夾 辺(a) A ℓ α ℓ c ℓ b β γ ℓ C B a (例 題 )二 等 辺 三 角 形 の 隅 切 り の 面 積 を 求 め よ 。 た だし、 底辺 5m 、頂角105°と する。 27 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 四 辺 形 の 面 積 02 A D δ a α c β (例 題 ) 辺 a= 10m ,c= 8m、角α= 88°、β= 75°、γ = 68°、δ= 129°の とき 、この 四変 形の面 積 は いくら か。 γ B E C ( 与件) 辺 a,c、 角α 、β 、γ、 δ ( 求件) 辺 BC,AD、面 積 S= □ ABCD d A f D α δ a h 四 辺 形 の 面 積 03 180゚-( α+β) c β γ B C b E E g e △ ABEよ り △ CDEよ り A D δ a α β γ B b C d A f D α h a δ S1 B b 180゚-( α+β) c β S2 γ C E g e 28 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 ( 求件) CD=c,AD=d、 面積 S ( 与件 ) 角α 、β、 γ、 δ 、辺 a,b ( 求件) CD,AD、 面積 S x E y A d D δ a α c β γ B b C 境 界 線 の 整 正 04 1) 屈 曲線を直 線にす る B β c a TAB P α A D TCP γ u κ b C △ ABCの 面積を 変えな いで、境 界線を 直線 APに す る場合 の uを 計算す る。 ( 与件) A,B,C,Dの座 標、 角α、 κ △ ABCの 面積= △ ADCの 面積= ① ② ① =② より (例 題 ) ( 与件 ) 辺 a= 10m ,b= 12.918m 、角α = 88°、 β = 75°、γ = 68°、δ = 129°のと き、こ の 四 変形の 面積 はいく らか 。 Pの 座 標 29 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 ( 例題) ( 既知)角κ = 110°、γ = 30°、α = 25°31 06 、 c=25.534m ( 求める もの )距離 u ⑤ 境 界 線 の 整 正 05 2) 屈 曲線を あ る平行 線で 直線に する ⑥ ( 例題) ( 既 知 ) 角 κ = 110°、 φ = 80°、 ω = 89°、 γ = 30°、辺 a=22m 、 b=28m ( 求める もの ) u,v,w A c b w P λ R S φ u κ B v ω γ a C ( 既知 )△ ABCの 各辺 a,b,c、角 γ ,κ、φ 、ω ( 求める 量) 長さ u,v,w 屈 曲 境 界 線 BACを 、 直 線 RCと PR=w の 直 線 と が 交 角 ω で 交 わ る 任 意 の 平 行 線 PRに 整 正 す る 。 そ のため PB=u、CR=v、PR=w を 以下に求 める。 ① ② BCの 頂点 を Oと する三 角形 を△ ABOとす ると w=23.887m ③ ④ △ PROよ り 30 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 (四辺形の面積の証明) O 平 行 線 の 交 点 座 標 06 120 R α1 ω P P2 110 κ v l2= 20m 5m =1 l1 u α1 =45 ゚ w R' C P3 P1 100 110 100 120 5m 1= ω n ω2 =4 m P' P 道路 φ λ B 20゚ =1 α2 β=75゚ a 130 k ( 与件) P 1 (x 1 ,y 1 )=(100.000,100.000) P 2 (x 2 ,y 2 )=(100.607,110.607) P 3 (x 3 ,y 3 )=(100.607,127.928) 道 路幅員 道 路幅員 +) また 道 路の長 さℓ ① ② 道 路の長 さℓ さ らに正 弦定 理より ③ ④ ③ 、④を ①、 ②に適 用し て、 2つを足 すと、 -) ( 求件) 点 P(x,y) ( 解法)直線 式k Pと直線 式n Pの交点 より Pを 求 める。 直 線 P 1 P 2 //k Pよ り y-y 1 = (x-x 1 ) y-100=1(x-10) y=x P 1 P 2 の 式 ; x-y=0 ① 31 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 一成 般 27年 的 に 直 線 Ax+By+C=0と P(x 1 ,y 1 )と の 距 離 d は ℓ ℓ ( 1) ℓ で 求めら れる ので、 式 ①と P(x,y)よ り、直 線k Pは 次のよう に表せ る。 x-y±5√ 2=0 ② 直 線 kPの 切片 は +なので x-y+5√ 2=0 x-y+7.0711=0 ② と する。 ℓ た だし、倍面 積 S= 2△ P 1 P 2 P 3 、ℓ 1 = P 1 P 2 、ℓ 2 = P 2 P 3 で あり、ω 1 、ω 2 は 道路幅 員である。面積は以下のようにしても求めら れ る。 点名 P1 P2 P3 P 2 P 3 //Pnより y-y 2 = (x-x 2 ) y-110.607= (x-110.607) y=-1.7321x+302.1894 1.7321x+y-302.1894=0 こ の直線 式と P(x,y)と の 距離よ り X Y Y i+1 -Y i-1 X i (Y i+1 -Y i-1 ) 100 100 -17.321 -1732.1 110.607 110.607 27.928 3089.032 100.607 127.928 -10.607 -1067.14 倍面積=S 289.7938 面積 144.8969 二 直 線 の 交 点 07 P2 Pnの 式の ルー トの符 号も -と すると 1.732x+y-294.1896=0 ③ ② +③ より xを 解くと x-y+7.0711=0 ② +) 1.732x+y-294.1896=0 ③ 2.7321x=287.1185 ∴ x=105.091 ② に代入 する と 105.091-y+7.0711=0 ∴ y=112.162 P(105.091,112.162) P3 P(x,y) ( 別解) P点 の 座標は次 式でも 求め られる 。 P4 ℓ P1 ℓ ℓ ℓ ( 与件) (求 件 ) P(x,y)の 位置 32 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 27年 (成 解答) 直 線 P 1 P 2 と 直 線 P 3 P 4 と の 交点を 求め P( x,y)と す る。 P1P2 面 積 の 分 割 08 y-y 1 = (x-x 1 ) y-100=1.00004(x-100) y=1.00004x-0.00398 ① A h' P3P4 y-y 3 = (x-x 3 ) y-102.123=-1.01022(x-198.111) y=-1.01022x+302.2582 ② ① -② より y=1.00004x-0.00398 ① -)y=-1.01022x+302.2582 ② 0=2.01026x-302.26218 ∴ x=150.360 ① に代入 する と y=1.00004(150.360)-0.00398 ∴ y=150.362 ∴ P(150.360,150.362) h m D E L' n B C L ( 別解) △ ABCを m:n に分割 する 。 こ こで、 点 名 P1 P3 P4 点名 □ X Y Y i+1 -Y i-1 100 100 198.111 102.123 103.568 197.632 倍 面積 面積 X Y X i (Y i+1 -Y i-1 ) -95.509 97.632 -2.123 -9550.9 19341.97315 -219.874864 9571.198288 4785.599144 Y i+1 -Y i-1 X i (Y i+1 -Y i-1 ) P1 100 100 -95.509 -9550.9 P3 198.111 102.123 100.506 19911.34417 P2 200.502 200.506 95.509 19149.74552 P4 103.568 197.632 -100.506 -10409.2054 倍面積 19100.98428 面積 9550.492138 ( 例)△ ABCの 面積 S=60m 、こ れを m:n= 3:2に 分 けると する と、辺 ADは いくら にな るか。ただ し 、 h=15m と する。 ( 解答) k=4785.599144/9550.492138=0.50108 33 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 から 同 様に より ( 例題)図に 示す△ ABCの 面積を m:n=3:2に 分 け る。BC=L=10m のと き、CDはい くら になる か。 ∴AD= 面 積 の 分 割 10 面 積 の 分 割 09 A A D(定点) h h n h' F m n m C B E L1 B C L2 L D L2 L1 L 定 点 Dを 通 る 直 線 に よ っ て △ ABCの 面 積 を m : n に分割 する 。 △ ABCを m:n に分割 する 。 △ ABCの 高さを hとし 、 と すれば、△ BCD Mに よ っ て点は BC上 に来る か、 又 は AC上 に来 るかが 定ま る。 a) △ BDC> Mの 場 合 △ ABCの 高さを h、△ BDEの 高さを h と すると ま た、 M:N=m:nな ので と ころで 上 の Sの式に代 入する と 34 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 b)成 27年 △ BDC<Mの 場 合 □ □ 面 積 の 分 割 11 d B C m E a F b e ① , n ② ① に②を 適用 すると A D c 上 の図は 、AD//BCの 台形を 表し、それ を平行 な EFで 分割 する もので ある 。面積 はm:nに 分割 し ている 。 (例 題 ) 台 形 BCDAの 上 底 = 20m 、 下 底 = 30m の 面 積 を そ れぞれ m:n= 3:2に分割 すると き、上 底、下 底 に平行 な分 割線の 長さ を求め よ。 ① h' h" G B C 面 積 の 分 割 12 h d m 三 角形の 面積 :行列 式に よって も解 けます 。 F E e n D A c (例 題 )次 の 3点 の 面 積 を 行 列 式 と 座 標 法 で 求 め よ。 1(50.000,50.000),2(26.484,83.854),3(67.6 62,123.908) 上 の図か ら 35 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 27年 法) (成 行列式 ( 注 意 ) 上 の 式 は 1点 が 必 ず 原 点 に あ る こ と 。 つ まり、任意 の 3点が与え られた とき に、全点 か ら 1つの点の 座標を 差し 引けば よい 。 S=1167.97m (座 標 法 ) 点番 号 三 角 形 の 面 積 14 X 1 50 2 26.484 3 67.662 Y Yi+1-Yi-1 50 83.854 123.908 倍面積 面積 Xi(Yi+1-Yi-1) -40.054 73.908 -33.854 -2002.7 1957.379 -2290.63 -2335.95 -1167.97 X B' (x2-x3,y2-y3) A' (x1-x3,y1-y3) B(x2,y2) A(x1,y1) Y 三 角 形 の 面 積 13 O(0,0) X C(x3,y3) B(x2,y2) h A(x1,y1) Y O(0,0) 3点 、 A(x 1 ,y 1 )、 B(x 2 ,y 2 )、 C(x 3 ,y 3 )の ま ま で 、 こ の三角 形の 面積は、上 の図の 示す ように C点 (x3,y3)を 原 点 O(0,0)に 平 行 移 動 す れ ば 求 め ら れる。 移動 後の座 標よ り (1) 又は (2) 又は (3) ABの 直線 式 (例 題 )次 の 3点 の面積 を 式 (2)で 求めよ 。 A(50.000,50.000),B(26.484,83.854),C(67.6 62,123.908) ( 行列式 によ る三角 形の 面積) 点名 点 O(0,0)と 直 線 ABと の距 離 h A B C X Y 50 50 26.484 83.854 67.662 123.908 倍面積 面積 Xi(Yi+1Yi+2) -40.054 -2002.7 73.908 1957.379 -33.854 -2290.63 -2335.95 -1167.97 Yi+1-Yi+2 36 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 ( 解答) □ 四 辺 形 の 面 積 15 = 四 辺 形 の 面 積 16 対 角 線 p,qと 交 角 θ よ り 四 辺 形 の 面 積 を 求 め る。 S □ ABCDの 面積 A(x A ,y A ), B(x B ,y B ), C(x C ,y C ), D(x D ,y D ) A p2 P D q1 p1 p X O q θ B B q2 R A C Q C D □ Y 証 明) □ □ □ □ □ □ □ □ □ ( 例題) □ に お け る 対角 線 p = 20m 、 q = 30m 、 対 角 線 交 角 θ = 60°の と き 、 こ の 面 積 は い く ら か。 □ ( 例題)次の 四辺形 の面 積を行 列法 で求め よ。 A(5.000,5.000), B(2.648,8.385), C(6.766, 37 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 D(15.260,8.503) 12.391), 隅 切り面 積 S 2 S 2 =□ APBO-扇 形面積 ( S) 点番号 A B C D X Y Xi+2-Xi Yi+2-Yi 5 5 1.766 7.391 2.648 8.385 -12.612 0.118 6.766 12.391 15.26 8.503 倍面積 -93.0069 面積m2 -46.50 地 積= 46.50m (例 題 ) 曲 線半径 R=10m 、交角θ= 95°のとき 、弧長 、 SL,弦 長、中央 縦距、扇形 面積、弓形 面積及 び 隅 切り面 積を 求めよ 。 扇 形 等 の 面 積 17 弧 長 c= Rθ = 10m ×(95°/ρ °)= 15.708m TL c SP S2 S1 M A SL θ P B 弦 長 L= L S R θ/2 中 央縦距 O 弧 長 c= Rθ( ラジア ン) SL( セカ ント )= P-SP( 曲線中 点) 扇 形面積 S = PO-R 弦 長 L= 弓 形面積 S 1 中 央縦距 扇 形面積 S 隅 切り面 積 S 2 より た だし 、ρ°= 180°/π 、π は円周 率であ る。 弓 形面積 S 1 S 1 =扇 形 面積 -△ ABO= S-△ ABO 38 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 = 分 割 18 ℓ K k α= 88゚0 7'05 " 250㎡ S θ' l θ=120゚ L 分 割 19 面 積 Sの 土 地 の う ち S 1 =250m を KL線 で 分 割 す る。 α = 88°07 05 、 θ = 120°と す る と き 、 線 分 k 、 ℓはいくら か。 三 角形の 面積 S 1 = P'(x',y') A(45,35) B(60,85) d' ℓ 1400㎡ C(30,80) φ=20゚ よ り、 F(25,20) ℓ d 又は E(10,30) D(5,50) ① ℓ 正 弦定理 より 多 角形 ABCDEFの 面 積( S)を方向 角φ = 20°の 境 界 線 P Pで 多 角 形 P BCDP(S 1 )=1400m に な る よ うに分 割す る。点 P,点 P の座 標を 求めよ 。 ℓ 1.1547k=1.89333ℓ ② こ れに① を代 入して ℓ ℓ ℓ ∴ ℓ= 17.467m ( ℓ> 0) ① に代入 する と ∴ P(x,y) = 公 式に代 入す ると m ( ヒント ) ① P(x,y)、 P (x ,y )の ま ま で 計 算 す る と 、 変 数 が 4個 と な り 、 非 常 に 複 雑 な 方 程 式 に な る 。 ② EDよ り 勾 配 を 求 め Pの 座 標 式 を 距 離 d で 表 す。 ③ 同様に、ABよ り 勾配を求 め、P の座 標式を 距 離 d で 表す 。 ④ こ の ま まで は P,P の 座 標 は d、 d の 関 数 な の で 、 P,P の 方 向角φ を用 いて d を d で表す 。 そ う す れ ば P,P は d の 関 数 に な る か ら 、 dは 面積計算から以下のように求めることができ る。 (解 答 ) 39 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 27年 Pの位 置は 1)成Eより P ③ ④ 1.18816d-6.312 倍面積 -0.288176d +13.4125d-63.12 -0.63398d -79.6061d+3433.93= 2800 -0.63398d -79.6061d+633.93=0 d +125.5653d-999.918=0…(1) 方程式(1)の解 P点 の 座標 d=7.514(条件 d>0) ① = 47.606+0.35645d ② = 43.688+1.18816d ③ = 10-0.24254d ④ = 30+0.97014d 5) 座 標計算 ( A)P点 の座標 (式 (1)と dよ り ) (1) 2) P の 位置は ( B) P 点の座 標 (式 (2)と d より ) (2) 3)d を dで 表す ためφ = 20°と (1)、(2)を 用い 多角形 P'PEFA の面積 点 X Y Yi+1-Yi-1 Xi(Yi+1-Yi-1) 名 P' 50.285 52.615 47.710 2399.097856 B 60 85 27.385 1643.079139 C 30 80 -35 -1050 D 5 50 -42.710 -213.5518402 P 8.178 37.290 2.615 21.38714805 倍面積 2800.012302 面積 1400.00m -1.05842d+0.85324d -7.73895=0 (3) 4) (3)を 上の (2)に 代入す ると P の 座 標は =45+0.28735 =47.606+0.35645d =35+0.95783 =43.688+1.18816d (4) 多 角形 P BCDPの 面 積 点 名 P' X Y Yi+1-Yi-1 Xi(Yi+1-Yi-1) ① ② 55-0.97014d -0.345806d -26.5797d+2618.33 36.312-1.18816d 2178.72-71.2896d B 60 85 C 30 80 D 5 50 -35 0.97014d-50 -1050 4.8507d-250 分割 20 40 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 d 22.935 B(60,85) ① = 5+0.64018d A(45,35) ②=50+0.76822d ③ = 35-0.76822d ④ = -35+0.76822d C(30,80) Mの 座 標の計算 F(25,20) M(x,y) E(10,30) D(5,50) 多 角形 ABCDEFの 土 地( S)を AMで等 分割 したい 。 M(x,y)を 求め よ。 ( 解答) ABCDEFの 面積 点番号 A B C D E F X Y 45 35 60 85 30 80 5 50 10 30 25 20 倍面積 面積m Yi+1-Yi-1 Xi(Yi+1-Yi-1) 65 2925 45 2700 -35 -1050 -50 -250 -30 -300 5 125 4150 2075.00 付 録 A 座標 変換 (1)Helmert変 換 座標軸の回転(θ)、座標原点の移動 xo yo 及 び 座 標 (x,y)の 縮 率 λ を 考 慮 す れ ば、次式で書ける。 (1-1) そこで、上の式において (1-2) (1-3) Mの 座 標の式 とおけば、式 (1-1)は次のように簡単に表せ る。 (1-4) 又は (1-5) 点 番 号 A B C M X Y Yi+1-Yi-1 Xi(Yi+1-Yi-1) 45 35 ③ 1575-34.5699d 60 85 45 2700 30 80 ④ 23.0466d-1050 ① ② -45 -28.8081d-225 40.3314d+3000=2075 倍面積 この式は、二次元のヘルマート変換式と 呼ばれる。これら 4個のパラメータを最小二 乗法で求めると,それらの 4個の要素は次の ように求めることができる。 (1-6) -40.3314d=-925 41 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 成 27年 Y y' y x' X Θ Y Ycos Θ P (2-4) y' xo X Xsin Θ Ysin Θ yo Xcos Θ とおけば、式 (2-3)は次のように表せる。 x' (2-5) x 図 1 Hermert変 換 (2)アフ ィン 変換 通常、二次元のアフィン変換式 (affine t ransformation)は、次のように書く。 したがって、最初に示した式 (2-1)を導い た。通常、二次元のアフィン変換式と呼ばれ ている。これら 6個の変換係数(パラメータ) を最小二乗法で求めると,それらの6個の 要素は次式で求めることができる。 (2-6) (2-1) し か し な が ら 、 そ れ ら 6個 の パ ラ メ ー タ (変換式の係数)の幾何学的意味が明らか でないので、 これを解いておこう 。 式 (1-1)に お け る ヘ ル マ ー ト 変 換 式 に お いて測定座標 X、Y軸の縮率( 傾き と y軸の 傾き )と、x軸の を 与え ると 、それ ら は 次式で表される。 (3)コロ ケー ション 以前に用いたある一つの平面座標XYと 時間が経過した時点での同じ点の平面座標 xyがあり、前者の座標XYをすべてxy に変換したい場合がある。また、両座標系が 任意座標系で、座標軸の回転と原点の移動 量のみが考えられる場合である。ここで、両 座標系の原点の縮 率はm o =1.0とする。 そのときには、4個のパラメータの Helme rt変 換 、 又 は 6 個 の パ ラ メ ー タ の ア フ ィ ン 変換により、殆ど正確に変換が行えるもの とみなしていたが、これが誤りであること が判明した。以下に 3個の変数( 3個の要素) の変換式を導くことにする。 たとえば、通常の Helmert変換では、次の 式で表される。 (2-2) そこで、上の式において (2-3) y Y y' Θy Ysin Xcos Θy Θx P (3-1) Y しかし、今回の設定はλ =1.0なので、 Θx yo xo Xsin Θx Ycos Θy X X (3-2) x' こ の 式 (3 - 2)を 通 常 の 最 小 二 乗 法 で 解 く には、 , , , と 42 x 図2 アフィン 変換 土地家屋調査士測量問題ラーニング集 平 お成 い27年 て 、 4個 の パ ラ メ ー タ か ら 3個 の 要 素 を 解くことになるが、これは正しくない。しか し今まで、変数は 3個なので、3個のパラメー タ(又は 3個の要素)を直接解くことを考え な ければなら ない。そう しないと、 上に m o = 1.0,又 は λ =1.0と 仮 定 し て 座 標 を 求 め た こ との設定に反することになる。 そのため、式 (3-2)を次のような条件式に する。 ( 3 - 3 ) 繰り返し計算による正しい要素計算 (3-9) 回転角( )と平行移動量( )に関し、 テーラー展開して誤差式を作るには (3-4) (3-5) 又は、これを行列に置き換えて、繰り返し 計算により要素を解く。 (3-6) 又は (3-7) (3-8) ここで : の近似値 : の近似値 :x,yの近似値 : の近似値 43