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UFR Mathématiques Informatique. Mécani que Université de METZ THESE Présentée à I'Université de M,ETZ en vue d'obtenir le DOCTORAT D'UNIVERSITE DE METZ par Hatem MOKHTARI Maitre ès-Sciences Sujet Simulation de la Perturbation Thermique dans un Câble Coaxial: Proposition d'un Nouveau Type de Capteur de Température Soutenue publiquement le 23 Janvier L992 devant la commision d'examen JurY Président: M. A. TOSSER-ROUSSEY, Professeurà METZ. Rapporteurs: M M . M . R O U S S E L ,P r o f e s s e u rà T r o y e s . A. VANOVERSCHELDE, Professeurà Longwy. E x a m i n a t e u r s : M M . E . Y V R O U D , D i r e c t e u r d e R e c h e r c h e sC N R S INPL, NANCY. G. KUGEL, Professeurà METZ. L. RACZY, Professeurà LILLE. AVERTISSEMENT Cette thèse est le fruit d'un long travail approuvé par le jury de soutenance et disponible à l'ensemble de la communauté universitaire élargie. Elle est soumise à la propriété intellectuelle de l'auteur au même titre que sa version papier. Ceci implique une obligation de citation, de référencement dans la rédaction de tous vos documents. D'autre part, toutes contrefaçons, plagiats, reproductions illicites entraînent une poursuite pénale. La Bibliothèque a pris soin d'adresser un courrier à l'auteur dans lequel elle l'informait de la mise en ligne de son travail. Celui-ci peut suspendre la diffusion en prenant contact avec notre service. ➢ Contact SCD Metz : [email protected] Ecrire au doctorant : Code de la Proriété Intellectuelle. articles L 122. 4 Code de la Proriété Intellectuelle. articles L 335.2- L 335.10 http://www.cfcopies.com/V2/leg/leg_droi.php http://www.culture.gouv.fr/culture/infos-pratiques/droits/protection.htm sl(s Vg ?qr{tt{ 3Ll3 3t.l UFR Mathématiques Informatique. M écanique Université de METZ Présentée à I'Université de M.ETT' en vue d'obtenir le rrNrvERSrrÀtR DOCTORAT D'UNIVBRSITE DE MEl 16rHÊeuc par 9920+k-ç Hatem MOKHTARI Maitre ès-Sciences Sujet Simulation de la Perturbation Thermi4ue dans un Câble Coaxial: Proposition d'un Nouveau TYPe de Capteur de TemPérature Soutenue Publiquement le 23 Janvier 1992 devant la commision d'examen JurY Président: Professeurà METZ' M . A . TOSSER.ROUSSEY, à TroYes' Ban-p-orleus. MM' M. ROUSSEL,Professeur Professeurà Longwy' A. VANOVERSCHELDE, CNRSE x a m i n a t e u r s :M M . E. YVROUD, Directeurde Recherches INPL, NANCY. à METZ. G. KUGEL, Professeur L. RACZY, Professeurà LILLE' Avant Propos Mécatonique ce travail a été réalisé au Laboratoire de du Professeur Industrielle de l'(Jniversité de Metz, sous Ia direction ma Qu'il me soit permis de lui exprimer A. TOSSER-ROUSSEY. en profonde gratitude pour la confiance qu'il m'a témoigné qu'il m'acceptantdans son laboratoire ainsi que l'aide et les conseils me faire m'e prodigués. Je lui suis profondément reconnaissantde I'honneur de présider mon iury de thèse' J'ai le vif Plaisir de remercier: de MONSIEURM. ROUSSEL,Professeurà I',lnstitutuniversitaire pour en Technologiede Troyes,d'avoir accéptéde iuger ce travail et avoir effectué une analyse approfondie' MONSIEUR A. VANOVERSCHELDE,Professeur à I'lnstitut (Jniversitairede Technologiede Longwy, d'avoir accepté de iuger ce jury de thèse' travail et de participet' à la constitutionde mon MONSIEUR E. YVROUD, Directeur de Recherchesau CNRS, G. KIJGEL, Professeurà l'Universttéde Metz et MONSIEUR et MONSIEUR L. RACZY, Professeur à I'IJniversité des Sciences Technîquesde Lilles mes A tous mes collègues du laboratoire, i'adresse remerciementsIes plus sincères pour les marques de sympathie et qu'ils nt'ont touiours témoignéeset pour I'ambiance conviviale chaleureusedans laquellei'ai travaillé' SOMMAIRE ChaPitre I Introduction """""""'1 1-1- La démarche ......... """""""'1 I-2- La problèmatique................. 1-3- Modélisations Antérieures des Lignes de Transmission...."2 """""""""'2 1-3-1- Modèle de J. KERGOMARD t3l t-3-2- Modèle de R. L. WIGINGTON, N. S. NAHMAN et D. R. HOLT l4l, tsl l-4- critique """""""'4 du Programme de simulation PSpice ........7 Chapitre 2 Modélisation d'un Câble Coaxial dans un Gradient de Température 2-1- Programme de Simulation PSpice avec Gradient de """""':"""""""""8 Température....... }-lr-L Modèle PSpice en Basses Fréquences avec Gradient de ""'L0 Température 2-l-2- Modèle PSpice en Hautes Fréquences avec Gradient de .........."" ""'20 """"""' Température G r a d i e n t de 2-2- Le Modèle des Différences Finies avec ""'41 Température """"""41 2-2-I- Introduction des l'équation de résolution la sur 2-2-2- Rappel "'44 Télégraphistes 2-2-3- Modèle des Différences Finies pour le câble coaxial en .........."" """""""'46 Basses Fréquences......... le câble coaxial en 2-2-4- Modèle des Différences Finies pour Température de Grad ient avec Fréquences Hautes 2-2-5- Vérification des Résultats des Résultats des deux Modèles de Basses et Hautes Fréquences avec PSpice 2-2-6- Généralisation au Câble Multiconducteur 2-2-7 - Conclusion 79 .82 Chapitre 3 Application de la Méthode des Différences Finies à la Détection d'une Irrégularité Thermique le Long d'un Câble Coaxial 86 Localisation des Défauts en Lignes de 89 Transmission 3-3- Formulation Mathématique de la Méthode Indirecte de 9L Mesure de TemPérature 3-1- Introduction 3-2- Détection et L00 3 - 5 - E x t e n s i o n o u L i m i t e d e Fonctionnement L07 3-6- Méthode ImPulsionnelle 3-7- Simulation du Gradient Linéaire d e T e m p é r a t u r e à I ' a i d e 108 de la Méthode des Différences Finies 110 3-8- Résultats Lt2 3-9-Conclusion Ll.4 Conclusion Générale et Perspectives 115 Bibliographie t2L Annexes I Chapitre INTRODUCTION dans si l'étude de la propagationdes ondes électromagnétiques de questions un câble coaxial est un.u:rt classiqueIl], beaucoup simples relatives aux conditionsd'eiploitation des liaisons coaxiales, pas été résolues ou multiples, en vue de mesuresindustriellesn'ont la p a r d e s m o d é l i s a t i o n ss i m p l e s ; o n p e u t c i t e r n o t a m m e n t 'perturbation introduite dans lés mesurespar des inhomogéneÏtésde câbles multibrins; un températureet par 'à les diaphoniesdes longs la sociéié Schlumberger m'a sensibilisé à ces staje effectué à quelquesanalysesthéoriques' âuJriiont et m'a conduit à refléchir dont les premiers chapitresde ce mémoire sont I'objet. méthode Les méthodes de simulation utilisées (dont une du nouvelle informatiquement légère) pour tenir compte présence d'une comportement d'un long câbtl coaxial en qu'une pertrirbation thermique tocalisée ont permis de montrer était ainsi méthode simple et nouvelle de repérage de température peut' à cet on autorisé,notamenten des endroitsd'accésdifficile; si son principal égard, parler d'un nouveau capteur de température, quelques cas de interêt serait, semble-t-il, qu'il permettrait, dans de mesures, de t" dispenserà'int"itt des capteurs traditionnels les données température et de transmettre et de traiter correspondantes. des Ainsi, à partir d'une interrogation à visée pragmatique, une nouvelle études théoriquesde simulation conduisentà proposer méthode métrologique. penché Le problème particulier sur lequel nous nous sommes "primaires" R,L,C,G est celui du câble côaxial dont les paiamètresdits spatiale présentent une dispersion fréqueniielle !:f{.1. de peau) et du du fait de I'existence d'une variation linéaire de température milieu dans lequel est plongé le câble' du Dans un premier temps, l'étude est consacréeà la résolution et fréquentielledu câble coaxial problème de l; dispersion-spatiale proposonsun ptonge dans un gradientlinéajre de température;nous peau est négligé' modèle en basser"fréqu.ncesdans lequel I'effet de 2 Ensuite, nous n o u s i n t e r e s s o n sa u c a s o ù l e s d e u x e f f e t s physiques ; I'effet de peau en plus hautes fréquences[2] et le gradient linéaire de températurese suPerPosent. No u s n o u s i n te re ssonSpar la suite au développement d' une se méthode de mesure d'irrégularité de température qui pourrait manifester le long d'un câble coaxial. Seules sont connues, la distance du générateur à I'irrégularité thermique, la fréquence fixe du signal e n ô n d e p ro p a g é e a i n si que I' extension ou la longueur de cette i r r é g u la ri té ( p a rti e d u câble coaxial pr ésentant une var iation de température par rapport à la température supposée constante du restant du câble ). L e câ b l e co a xi a l , traver sé par un cour ant alter natif ( onde sinusoidale) de très faible niveau, a servi de sonde évitant I'autoéchauffement existant en courant continu. Nombreux sont les auteurs qui ont contribué à l'étude de la propagation guidée et notamment de la transmissionpar câble. bifierénts modèlesont été établis pour la résolutiondu problème de la transmissionguidée en généralet par câble coaxial en particulier. K t-l-l- tvloaet.a. .1.xpRcounRn rst En référence[3], J. KERGOMARD a modélisé une ligne de transmissionpar une chaîne de quadripôlesidentiques (température uniforme) en cascadepour laquelle a été développéun formalisme mathématiquebasé sur les équationsde récurrencequi régissentles courants et tensions aux différentes interfaces des quadripôles préalablementcités. Par la suite l'auteur simplifie les calculs, en établissantune loi de récurrenceentre courants et tensions aux interfaces de chaque quadripôle élémentaireet discute les notions de fréquence de coupure, attenuation et déphasage.L'étude est rigoureusepuisque les calculs ne font appel à aucuneapproximation; des calculs matriciels permettent la résolution du ,*l"rn"nt problème de notion d'ondes évanescentes. L'étude eSt malheureusement restreinte au caS d'une température uniformémentrépartie le long de la ligne. L'auteur utilise, pour la modélisationd' une ligne de longue ur finie, comme modèle équivalent une chaîne de quadripôles associés en cascade(cf figure r). la LignedeTransmission L'étude a été effectuéeen régime permanentet les équations'pour un quadripôledéfini est donnéepar: Vn=BVn-t*AIn-t (Eq-I) In=DVn-t+CIn-t (Eq-II) Par la suite, Kergomard têécrit ces deux équations récurrentes, la s'appuyantsur la cond-itiond'impédancetelle que ZO=V 0/I0, de forme suivante: (Eq-I-a) Vn=BnVo+AnIg (Eq-II-a) In=DnVo+CnIs Pour simptifier, I'auteurse place dans I'hypothèseoù BC-AD=1' par conséqueni, le calcul des variablesde récurrenceAn, Bn, Cn €t Dp donne les équationssuivantes: n0 A n ='Asin sinQ (Eq-trI) n = ^sinnQ IJn cosnQ+Asin Q (Eq-IV) ^ ^sinnQ Cn=cosnQ-AsinQ (Eq-v) 4 Dn = DI!jE (Eq-VI) sinô Les constantes utilisées dans (Eq-III), (Eq-IV)' (Eq-V) et (EqVI) sont données Par: tf) 0 = Arccos ,r-B-C 2 (Eq-vID (Eq-VIII) Cette méthode est très utile pour des lignes homogènes car elle ne tient pas compte, a priori, des paramètres intrinsèques à chaque ligne R, L, C et G (ex: câble coaxial, guide d'ondesou autres,etc...) et peut être prise comme théorie générale. L'inconvénient est qu'elle ne peut convenir au cas du gradient linéaire ou autre de température dans lequel est Plongé la ligne de transmissionde manière générale. HOLT t4l. tsl En références tal, [5], les auteurs ont étudié la réponse tenant temporelle du câble coaxial à température ambiante en sur la résistancelin_eiquedûe à l'effet de .orpt" des approximations ^ des composantes de p.uu ^huut",(quand il s'agit d'étudier I'influence fréquences du signal sur la réponse du câble en régime transitoire). Les études sont similaires mais différent par [es fonctions d'approximationdes équationsde Bessel (équations de la résistanceet de I'inductancede manière généraledécrites par la théorie de la propagation des ondes électromagnétiquesdans un conducteurcylindri[ue) introduitesdans le modèle. Le principe était de substituer dans les formules générales des paramètres secondaires (constante de propagation, impédance caractélistique) les expressionsde la résistanceen fonction de la fréquence, etr utilisant les transforméesde Laplace. D'autres approximations ont été établies en vue de simplifier les calculs de la transformée inverse de Laplace donnantainsi la réponsetemporelle.Les modèles concernaientévidemment les hautes fréquencespour pouvoir utiliser les approximationsde I'effet de peau t6l. L'inductance, la capacité ainii que la conductancelineiques sont supposées i n â é p e n d a n t e sd e l a f r é q u e n c e , i l s ' a g i t n a t u r e l l e m e n t d ' u n e approximationdu Premier ordre. N. S. NAHMAN I4I Les auteurs étudient la réponse temporelle du câble coaxial en considérant I'effet de peau présent dans les conducteurs (central et e x t e r n e ). A i n si , i l é cri ve nt: pour une ligne donnée de longueur L , t e r m i né e p a r so n i mp édance car actér istique Zc ' et avec un e constante de propagation T, la relation entre la tension d'entrée E1 et c e l l e d e so rti e E 2 co mme fonction de la "var iable fr équenc e c o m p le xe " d u fo rma l i sme de la tr ansfor m ée de Laplace, souven t notée p: Ez = E1e-rL (Eq-IX) où, en général: (Eq-x) T= et I'impédance caractéristique donnée par: 7n= (Eq-XI) P o u r l e s h a u t e s f r é q u e n c e s( é p a i s s e u rd e peau très faible devant le rayon du conducteur),I'impédancedûe à I'effet de peau d'un conducteurcylindrique s'écrit de la forme: 7n=K'{P (Eq-XII) o ù K e s t u n e c o n s t a n t ed é p e n d a n td u m a t é r i a u c o n s t i t u a n t l e conducteurainsi que de ses dimensionset est donnéepar: *=#l* (Eq-XIr) o ù r e s t l e r a y o n d u c o n d u c t e u rc e n t r a l , ! r S a magnétique,et o sa conductivité. perméabilité En hautes fréquencesla résistancesérie est exprimée par l'équation de I'effet de peau. Pour des diélectriques en polypropylène,les pertes par conduction transversesont très faibles (G=0) et par conséquent(Eq-X) et (Eq-XI) deviennent: T= et (Eq-XIV) 6 Kfp+pL (Eq-XV) A i n si , l a fo n cti o n de tr ansfer t d' une por tion de ligne de longueur L est désormais écrite dans la forme: (Eq-XVD Ez-31e-L@c*ncxvO- La transforméeinverse de Laplace de la fonction de transfert (Eq-XVI) n'est autre que la réponse impulsionnellede la ligne de iottgu"rt L. Pour simplifier, les auteurs ont développé, en séries entières,la constantede propagationainsi obtenue: -r;n-t !2 y(p)= v,f-rc-rd ^lar"r?_( ,Ë1ff't-ntz (Eq-XVII) Les auteurs calculent alors cette réponseimpulsionnelletenant compte des termes de hautes fréquencesexistantsdans I'expression de la fonction de transfert. L'approximation sur les hautes fréquencespour la résistance(ou impédance)série est du premier ordre (voir fonctions de Bessel Lzl). L'étude est fort interessantemais se limite à une ligne homogène seulementen hautes fréquences, N. HOLT I5I Leur méthode est I'aPProximationdu deuxième ordre de la résistanceen fonction de la fréquence.Ils approchentla résistance en utilisant sa valeur asymptotique: R(p)=A+BfP (Eq-XVil) De même qu'en [4], ils substituentcette valeur aux paramètres secondaires,la cbnstantede propagationen occurence,valeur dont dépend I'attenuationen fonction de la fréquencecomplexe P=jo. 7 Le résultat de l a ré ponse impulsionnelleest donné sous for m e de superpositionde la fonction-erreur erfc(t) donnée par (quand A---> 0): t'' h(t;= erfctrfir/rcl ('-t)-'t'l (Eq-XIX) L'inconvenientque nous avons pu constatélors des simulations est !e fait que I'effet de peau ne pouvait, de façon explicite, être pris en compte par Pspice. Pspice ne simule que les circuits, passifs ou a c t i f s i o i e n t - i l s , d o n t l e s c o m p o s a n t ss o n t i n v a r i a n t s a v e c l a fréquence;ce n'est évidemmentpas le cas du câble coaxial en hautes fréquences.Aussi, afin de compareravec le modèle numérique,nous util-isonsdes domaines fréquentielstrès restreintspour considerer comme constantela valeur de la résistance. Le programme de simulation Pspice ne peut, de façon automatiquè,prédire la température;puisque lui même a besoin de données des paramètreslineiques R, L, C et G pour établir la phases.Il a donc simulation des courants,tensionset éventuellement été utilisé comme moyen de vérification de I'attenuationdu signal propagé après que la températureait été, mesurée. Chapitre 2 Modélisation d'un câble coaxial dans un gradient de temPérature t e m p ér a t u r e : S P I C E veut dire en anglais: Simulation Integrated Circuit EmPhasis. Pr ogr am with Le programmede simulation PSpice permet de simuler tout de la réponsetemporelle circuit électrique.Il permet la connaissance du circuit à n'importe quel type de signal d'entrée,de la réponse fréquentielle,ainsi que du bruit qui pourrait se manifester dans le circuit électrique. Les programmesde cette famille Sont issus du programmede simulation SPICE2 t7lt81 développé à I'Université de Berkeley, Californie durant les années70. Les algorithmesde SPICE2 étaient considérablementplus puissantsque leurs prédécesseurs. PSpice utilise les mêmes algorithmesnumériquesque SPICE2 de celui-ci. et est conforme aux formats d'entrée-sortie PSpice est basé sur la descriptionet la définition du circuit réel traduit en circuit fictif écrit dans un fichier text qui sera compilé et executé,comme tout programme,par la suite. Le circuit fictif représentantle circuit réel est défini par des noeuds entre lesquelsviennent s'interposer,pour la simulation,les c o m p o s a n t s ( r é s i s t a n c e s ,c o n d e n s a t e u r s b, o b i n e s , a m p l i f i c a t e u r s opérationnels,transistors, diodes, etc...). Différentesanalysessont possibles,à savoir: -L'analyse temporelle ou transitoiresdes courants et tensions dans le circuit ( réponseimpulsionnelle,retard, distorsion,etc..); -L'analysedes circuits dont la fonction de transfert de Laplace est connue analytiquement,la fonction peut être définie directement en fonction de la variable complexede Laplace usuellementutilisée; 9 -L'analysefréquentielleou la réponsefréquentielledu circuit (Attenuatiot1S, Soumis,à Son entrée, à un signal de Spectreconnu ainsi que I'analyse spectralede Fourier, impédances bJphurug"r;, -et impédancesde sorties; d'entrée -L'analysestatistiquede Monte Carlo; -L'analyse et l'étude du bruit thermique existant dans les circuits, actifs en I'occurence,est possible; Diagramme de -L'analyse -des des circuits ou systèmesasservis, pôles et des zéros,Diagrammede Nichols; Bode, Lieux -L'analysedes circuits non linéairesainsi que leurs fonctions de transfert; - L ' a n a l y s e ,e n c o u r a n t c o n t i n u , d e s c i r c u i t s s o u m i s à l e u r entréesplusieurs types de signaux; -L'analysede la distorsiond'intermodulation; -L'analysedes circuits dont la températureest décrite par une fonction donnée par Son expressionanalytiqueou issue d'un tableau de valeur évoluantdans le temPs. La syntaxe de PSpice est parfaitementadaptéeaux notations issues des normes universellesde la physique en gén&al et de l'électricité en Particulier. Tout fichier text décrivantle circuit fictif à simuler doit avoir l,extension .cIR (circuit File) pour spécifierqu'il s'agit bien du fichier contenantle circuit proprementdit. Après sa compilation' celle-ci crée automatiquementun autre fichier text dit de sortie ayant pour extension .OUt ( Output Fite) contenantles résultats suivants: - temps total d'execution, nombre de comPosantssimulés, - nombre total de noeuds, - les messagesd'erreurséventuellementà la compilation, (par exemple: quand il y a dans le circuit un noeud flottant ou une quelcOnqueerreur de syntaxe, d'unité ou autres, ceux-ci Sont le déclarés dans le fichier de sortie .OUT, indiquant la ligne dans fichier texte .CIR à coniger). Après que la compilation ou la simulationait êtê achevée,les d o n n é e i r e C h e r c h é e s( c ' e s t à d i r e l e s d i f f é r e n t e s r é p o n s e s l0 plrase, temporellesou fréquentielles,courantsou tensions,gain ou de etc.:.) sont disponibleset peuventêtre stockées,à la demande I'utilisateur,dans un fichier ayant pour extension'DAT (Data File)' La commandePROBE NomFichier.DAT permet de visualiser les donnéesdemandéespar I'utilisateurlors de la création du fichier de donnéesNomFichier. La commandePROBE représentepour le p r o g r a m m ed e s i m u l a t i o n P S p i c e l a " s o n d e d e I ' o s c i l l o s c o p e ii.t'if " qui permet, de façon analogueà I'oscilloscoperéel, d'établir des mesuresou des points de test en temporelle' Concernant le domaine fréquentielle,la commande P R O B E permet de visualiser des différents signaux pour servir d'analyseur de sPectre. Il est certes exhaustif de citer toutes les commandes de simulation PSpice alors que nous n'avonsutilisé que peu de celles-ci puisque l'étudè portait sur la modélisationdu câble coaxial dans un une simple lradient linéairè de températureet par conséquent ( capacité, résistance, fonnaissancede la syntaxedes circuits passifs inductance,conductance)suffit pour comprendrele fonctionnement de PSpice;quantà la créationdes fichiersCIRCUIT NomFichier.CIR des fièhiers-deSORTIE NomFichier.OUTainsi que les fichiers de elle seraexpliquéeen détail. DONNEES Données.DAT, Comme pour tout programme' dans le fichier de commande (texte), les cônstantes,variables,tableaux, fonctions, routines ou procedures,etc..., doivent être soit déclarées soit préalablement définies. Ainsi, le programmede SimulationPSpice reconnait,comme en capacitéset inductances,Pâr, notation Universelle,les résistances, leurs premièreslettres,R, C, L. La tension entre deux respectivement noéudspar exemplesest définie, dans le fichier .ClR, par la lettre V suivie de n'importe quel nom alphanumérique' de température Le câble coaxial plongé dans un gradient linéaire de températurepeut être remplacépar un ensemblefini de quadripôles associésen cascadeset dont les " paramètresdits primaires " varient selon une fonction en escalier de la profondeur donc de la température également. ll quadr ipôles en Le si mu l a te u r P S p i ce peut donc tr aiter ces fait que des com posantspur em ent passifs ; c a s c a de s q u i n e S o n t " n des paramètres seuls les aspects fonctionnéls de croissance verrons pritnuitrr sont à introduire dans un fichier-circuit .CIR' Nous de p . t l a su i te q u 'i l e st p ossible, comm e le manuel d' utilisation ^tspi." plusieurs paramètres Ul noui I'indiquè, de faire varier un ou primaires en fonction de la distance' La variation des paramètres primaires avec la fréquence et la génétale température a fait I'objèt d'une étude très complète et très qui pu, t.Vt. HEBBERT t9i. Nous examinerons,pour les mêmes raisons la ànt été citées au Chapitre l, les variations de I'inductance et résistance. Etant donné que I'effet de peau est négligé dans cette sectlon, seule la variation o. la résistance en fonction de la température est p r i s e e n co mP te . L a va riation de la r ésistance en fonction de la températureest donnée Par l' équation: Re = Rarnu[I +ctn(O-Ouru)] L e s pa ra mè tre s d a n s (l ) (1) r epr ésentent: o Re : La résistanceà la température0 C Ramt : La résistance à température ambiante (température de rêférence en général). Cln : Le coefficient de températuresupposéconstant pour les relativementbassestempératures(en dessousdu point de fusion du materiau conducteur). tempér atur e donnée et l a g e t 0 a m u : R e s P e c t i v e m e nune t, température ambiante. L'équation(l) montre en toute évidenceque la variation de la résistance est linéaire en fonction de la température' Nous appeleronsk, le coefficient de proportionnalitéentre la variation de pour température  0 = 0 - 0 ambÊt la distance que nous noterons' s i m p l i f i e r , z . P a r c o n s é q u e n t ,n o u s é c r i v o n s e x p l i c i t e m e n t l a résistanceen fonction de z comme: R(z) = Ra*u[1+ap.k.zl (2) Il est ainsi claire, vue sa croissancecontinueen fonction de z, que la résistance doit être remplacée fictivement, pour toute similation pspice, par une fonction " quantifiée " ou en escalier. Notons que l; fonction en escalierpermet d'approximerla résistance t2 pour des fils constituant le câble coaxial et de la maintenir constante, le modèle des basses fréquences évidemment, dans chaque q u a d r i p ô l e é l é me n ta i re . Les deux var iations en fonction de la distance z sont illustrées en figure la et figure lb' 13 R(n.Az) O Lz 2Lz (N-1).^ z N.Az Le coefficient de proportionnalitécrR pour le cuivre recuit à 20 oC, par exemple,est de 0.00393/oC.Le coefficientde proportionnalité oC/m, ce qui correspond t.rpéruture-distance noté k est de 0.03 appioximativementau coefficient de températuredans la croûte terrestre où le câble pourrait servir de moyen de transmissionde données en vue d'effectuerune étude d'activité sismique des plaques (tectonique des plaques, géophysique)ou alors comme n.loy.n de détectiôn de présenced'une éventuellenappe pétrolière. Avant d'entammerle problème de la simulation de la dans le milieu dont nous propagationdes ondes électromagnétique n"nïnî de préciser les paramètres(coefficient de proportionnalité, constantes,etc...), il t..ble fort importantde soulignerqu'une étude de I'influence des variations de températuresur I'affaiblissementen l'occurence,a êté effectuéetlQl où I'auteura simplementconsulté le cas du câble totalementplongé dans un milieu dont la température est constante. En ce qui concerneles simulation,compte tenu de la variation de la résistanceselon le schémade la figure la, le câble peut être remplacé par une successionde quadripôles' l4 Chaquequadripôle élementaire est formé de: - U n e r é s i s t a n c e t r a d u i s a n t l e s p e r t e s J o u l e d a ns l e s conducteursinterne et externe du câble coaxial, et dont la valeur dépendde la distanceselon l'équation(2)' - Une inductanceen série avec la résistancetotale, traduisant 1 e c o u p l a g e m a g n é t i q u ee n t r e l e s c o n d u c t e u r s ,l e s i n d u c t a n c e s internei dues à I'effet de peau tlll sont évidemmentnégligéesen bassesfréquenceset feront I'objet d'une étude ultérieure dans les prochains paragraPhes, - Une capacité due au couplage électrique entre les conducteursentre lesquelsexiste un milieu diélectriquedifférent de I'air, - En général,une conductancetraduisantles pertes transverses dans le diélectrique,mais celles-ci sont souvent négligeables milieu t12l,tl3l (propriétés rhermiquesde I'isolant constituant le diélectrique). La capacitêet la conductancesont associéesen parallèle et I'ensembleest en série avec la résistance,variableen fonction de la distance,et I'inductance. Le schéma de La figure 2 illustre le modèle équivalent de cité. I'ensembledu câbte dans le milieu préalablement l5 Externe Conducteur ConducteurInterne ZL Q(n+1) n.Lz (n+l). z (N-1).^z N.^z Le pas de discrétisationest choisi de telle manièreà ce que sa valeur Soit très petite devant la longueur d'onde. Par conséquent, plus les fréquencesde travail sont hautes et plus nous aurons interêt à discretiseren plus fin le câble coaxial ainsi immergé dans le gradient de temPérature. Il est aussi important de noter que la longueur total du câble du pas de discretisation joue -L,2. un rôle non négligeablequant au choix Ainsi, les câbles relativementlongs (par rapport à la longueur d'onde) necessitentmoins de subdivisionque les câbles plus courts par exemple. l6 Notons que clraque quadriPôle élém entair eainsi défini dans la figure 2 est représenté, par sa forme récurrente en fonction de D, en figure 3. Ro=R(n.Az) Vn+1 Vn "ï ( n + 1 ) . 4z n.Lz Z dansle Modèle Equivalentdu CâbleCoaxial Le quadripôle élémentaire étant défini, les paramètres primaires cbnnus, la simulationest ainsi possible en respectantla iyntaxe imposée par le SimulateurPSpice. Il ne reste plus qu'à tiaduire le circuit du modèle équivalenten figure 2 par le fichiercircuit .CIR dont la descriptiona étê détailléeau préalable. Etant donné Sa Structurerécurrente,le modèle équivalent du câble, pour être simulé, nécessiteI'utilisation: 1o) d'une instructiontraduisantla "fonction résistance",et elle est donnée Par: . FUNC RESISTANCE(Z) (A+B*Z) la résistanceà Les constantesA et B Sont respectivement, températureambianteet un coefficient donné par l'équation (2). Ces constantessont déclaréespar I'instruction: . PARAM A=0.036, B=1.1e-4 ; pour le cuivre par exemplet r7 de PSPiceest que les instr uctions Peuven t Une des Puissances être écrites dans n'importe quel ordre dans le fichier texte .CIR. 2 o ) d 'u n e p ro ce d u re définissant, par son appel, tous les quadripôles en cascade tenant compte de la variation de la r é s i s t an ce d é fi n i e p a r l a fonction ci- dessus. Cette pr ocedur e es t notée: . SUBCKT CELL I 3; de I'anglaisSUBCIRCUITà la lettre près et CELL est son nom, 1 et 3 son les noeudsdélimitantle circuit de base ; Pour qu'elle puisse être opérationnelle,il faudrait pouvoir I'appeler pour économiser l'écriture. L'appelle d e l a p r o c e d u r e commencetoujours par la lettre X et s'effectuepar: Xquadripole Xquadripole 1 3 3 5 Pour mieux comprendrele processussyntaxiquedu SUBCKT et ses appels, iI convient de donner le fichier texte du câble coaxial en le commentantpour expliquer chaqueinstruction(cf annexe2). L e s v a l e u r s n u m é r i q u e sq u e n o u s a v o n s u t i l i s é e s p o u r l e s simulations, sont celles du câble coaxial du type RG58U préalablementutilisées.Seuls la longueur du câble ainsi que le pas de subdivisionL,z changentdu cas simple du câble coaxial de 500 m de long. Nous avons néanmoinsétudié le cas du câble relativement court ùur fixer I'idée du fait que plus le câble se raccourciet plus on aura interêt à discretiseren plus fin. Nous avons simulé le gain (ou I'attenuation)et la phase Pour câble long de 500, 1000 et 1500 m Plongé dans un gradient linéaire de température(i.e: la résistanceest de la forme R(z)=aa5'2, a et b sont des réels positifs). Les résultés sont portés en figures 6 et D'autres part, nous avons également étudié l e c a s d ' u n e variation quadratique de la résistance en fonction de la distance z où c=2e-7 Qlm^2).Le principeest exactementle (i.e: R(z)=a+b.z+c.z^2, même; seule la fonction-résistancechange. Les résultats, pour I'attenuationet la phase pour les mêmes longueurs du gradient linéaire, sont portés en figures 8 et 9. l8 - + 1500m PSpice-GT + 1000m PSPice-GT .+t- 500m PSpice-GT v40 E o 530 cÉ t? 20 0 1o Fréquence (kHz) 1oo L=500. 1000 et 1500 m. Figure 6: Atten.=f(Fréquence). en BF avec Gradientde TemPérature (t) \Q) L ê0 q) o -400 €) (t) cll or -600 '.....æ 500 m PSpice-GT # 1000m PSpice-GT # l500mPSpice-GT Fréquence (kHz) t9 ,^ € 80 + 1500mPSPice +t_ 1000m PSPice # SOOmPSPice 60 o Ë40 q) 100 10 Fréquence (kHz) Figure 8: Atten.=f(Fréq.\.L=500. 1000 et 1500m. 0 -100 G \q) -2oo li à0 q) -300 o) -400 (â 6t f- -5oo -600 ..'.''....€- 500mPSpice * l000mPSpice .+ 1500m PSpice -700 100 Fréquence (kHz) Les résultats de la simulation PSPice ont été obtenus en chargeant sur une impédance résistive égale à I'impédance 20 Il est c a r a c t éri sti q u e d u câ b l e c oaxial à tem pér atur e ambiante. ce cas de c e r t e s d i ffi ô i l e d e d é fi n i r une impédance itér ative dans vue la dispersion spacial des paramètresprimaires R, L, propagation ^C,'etG éventuellt*.nt. Nous avons, néanmoins, à titre indicatif, porté en figure 10, les variations de I'impédance caractéristique en ionction de la fréquence à différentes température (câble totalement ptongé dans un rnilitu à température uniformèment répartie)' (â (J N * Zc(125'l ..-.....r- Zc(75'l 4r- Zc(25") 100 Fréquence (kHz) Il est bien claire que la valeur de I'impédance caractéristique ainsi définie en figure 1ô ne peut adapter le câble coaxial dans le g r a d i en t d e te mp é ra tu re . Le for malism e mathém atique qui per m et à . p o se r l e s co n d i ti o n s d' adaptation de la puissance tr ansmise à travèrs le câble nécessite des calculs fastidieux notamment Nous avons, comme mentionné numériques [14],[15],tl6l. p r é c é de mme n t, ch a rg é l e câble par une r ésitance s' appr ochant d e i'impédance caractéristique aux hautes fréquences donnée par: ^=48 (3) seulement Pour avoir une idée de compar aison avec le m odèl e numérique que nous avons développéet qui sera détaillé dans le prochain chaPitre. 2-l -2- Modèle PSpice du câhle coaxial fréquences avec sradient de température en hautes 2l (_ Il est fort évident, à cause de I'effet de peau présent dans les différ emm ent aux l c o n d u c t e u r s q, u e l e c â b l e coaxial se compor te \hautes fréquences[2]. Avant d'aborder tout calcul, il est d'utt interêt capital de rappeler ce qu'est I'effet de peau dans un milieu conducteur quelconqueet cylindrique,qui est le cas de notre câble coaxial, en particulier. En bassesfréquencesou en courant continu, le champ la tension et le êlectrique et magnétiqueinduit par, respectivement, courant, sont répartis de telle manière à ce que la densité de courant soit uniformèment distribué sur la surface du conducteur. Les schémasdes figures l1 et 12 illustrentles situationsdu conducteur cylindrique en basseset hautes fréquences. Densitéde Charges 1.0 Diamètre 22 Densitéde Charges 1.0 Epaisseurde peau 1.le l-- ?-' .- -- ô - Diamètre -- -- a- conducteurcylindriqueen hautesfréquences. L'effet de peau ou effet pelliculaire est présent sous certainesconditions de fréquenceet de dimensionsdes conducteurs et il n'est pris en compte que si la fréquencedépasseune certaine limite imposéepar ces conditions[2]. Comme il est indiqué égalementen l2l, non seulement la résistancelineïque des conducteursvarie avec Ia fréquence mais I'inductance lineïque aussi est sujette à cette dispersion fréquentielle. Nous tiendrons compte de ces deux paramètres primaires en particulier, car, comme nous le verrons en détails, I'effet de peau de par son lien analytiqueavec la conductivité des conducteurs,varie en fonction de la températureet par conséquent de façon implicite, puis explicite par la suite, en fonction de la distance. Pour le modèle PSpice des hautes fréquences,la dispersion fréquentiellene peut être, de façon explicite, introduite dans les 23 simulationsparce que PSpice n'effectue,ou du moins actuellement, que I'analyseet la simulationdes circuits ou composantsconstants Ën fréquence.Nous avons tout de même contournéle problème en calculant,à une fréquencedonnée,les valeurs de la résistanceet de I'inductanceque nous avons introduites dans le fichier-circuit en effectuantdes analysesfréquentiellestrès fines de façon à maintenir constantsces deux paramètresprimaires' Ainsi, pour connaîtrela "vraie" valeur de l'attenuationou de la phase du signal propagéen hautes fréquences,nous effectuonsdans les i r f i c h i e r q u e n b r r a p p e l o n s ,p a r e x e m p l e ,H A U T B S . C I R , instructions suivantes: . AC DEC 100 L.OMeg 1.2Meg ce qui nous donne, de façon approximative,l'analyse autour des 1. 1M eg , chose qui est théoriquementimpossiblepour PSpice car celui-ci ne tient pas compte des variations fréquentielleslors des s i m u l a t i o n s e t p a r c o n s é q u e n tl e s i m u l a t e u r c o m m e t t r a i t d e s abérrationsquantlu calcul de la vraie valeur de I'attenuationou de la phaseautourdes 1.1 MHz. Il est bien clair que plus nous utilisons des intervallesfréquentielsfins et plus la précisionest meilleure. Nous allons, après une descriptionqualitative des deux effets physiques (effet dq peau, gradient de température),-donner les èquatiônsqui régissentles variations,en fonction de la fréquenceet de Ia distance,de I'inductanceet de la résistancede chaque cellule ou quadripôle élémentairecomme nous l'avons préalablementétabli en illJ f St. Nous rraireronschaque paramètreprimaire (résistance ou inductance)à Part. Le conducteurcentral du câble coaxial est repréSentéen figure l'épaisseurde peau illustrant la "fuite" des 13, où est schématisée porteurs de chargesvers la surfacedu conducteur: 25 (6) ù(z) = La substitutiond e (5 ) d a n s (4) donne alors, dRl(z) = PiQ) .dz (7) æôi(z)(ô 1@)+ 2a) l'équation (7) est exacte et toutes les fonctions qui y figurent sont par la suite, que les analytiquementconnues. Nous Supposerons, fréquencessont assez hautespour que I'approximation, ôi(z) << 2a (8) reste valable quelque soit la profondeur z. L' équation ( 7) s' avèr e a l o r s si mp l i fi é e . E n re mplaçant chaque fonction dans ( 7) par s a valeur, tenant compte de I'approximation (8), nous obtiendrons, dRi k1z.dz (e) 2na Les paramètresprésentsdans (9) sont: p i0 : la résistivité du conducteurcentral (interne) à température ambiante; f : la fréquencedu signal sinusoïdalpropagé; traduisantla variation de la : le coefficientde proportionnalité ki résistivitéen fonction de z; a : le rayon du conducteurcentral. Pour calculer la résistancedu conducteurcentral pour une cellule élémentaire de longuer Lz, il convient tout d'abord de calculer la résistancetotal d'une portion de câble de longuev Z. La résistancede la cellule élémentairedu conducteur central compriseentre n et n+l (cf figure 2) est donnéepar une équationde récuirencefaisant intervenir la valeur de la résistancetotale pour la longueur Z. Il est donc nécessairede calculer analytiquementcette résistancetotale d'une portion de longueur finie Z. 26 et L'intégration de l'équation (9) entre 0 et Z (Z est arbitraire gradient de fini) donne, pour le ionducteur central dans le température, la formule ci-dessous, Ri(z)=#ki L .{(1+ki.Z)z-1} ( 10) Et a n t d o n n é q u e l e s ré si stancesen sér ies s' ajouttent, la r ésistanc e d'une cellule élémentaire de longueur L,z eSt simplement la d i f f é r e n ce d e l a ré si sta nce d' une por tion de câble de longueu r ( n + l ) . A,2 e t d e l a p o rti o n de longueurn.Â2, ce qui nous mèner a par la suite à écrire l'équation de récurrence pour le conducteur central, t i"t = Ri((n+1).Lz)- Ri(n.Âz) (1I ) La valeur de cette résistance varie bien en fonction de n' la c o o r d on n é e l o n g i tu d i n a l e ( disper sion spaciale) , et de la fr équenc e (dispersion fréquentielle) comme le montre explicitement l'équation ( 1 0 ) d o n t d é p e n d d i re cte ment l' équation ( ll) ' La situation pour le conducteur externe est quelque peu différente du point àe vue géométriquemais le principe de calcul demeure inchangé.Les dimensionsainsi que la forme creuse du conducteur externe font intervenir d'autres équations que nouS poseronspar la suite. Il est ainsi clair que, du fait de la différence de dimensions entre les conducteursinterne et externe,la fréquence"Seuil" pour (8)) laquelle les approximationsde I'effet de peau (cf équation deviennent vatàbles est complètementdifférente pour le conducteur externe. Le conducteurexterne, appelé aussi armure' est représentéen figure 14. Le courant de haute fréquencesest ainsi distribué à I'interieur et I'exterieurdu cylindre creux. 2l Le conducteurexterne Sert de retour du courant de haute . La partie qui nous interesse eSt la partie interne du fréquence conducteur externe. La résistance infinitésimale du conducteur externe selon la figure 14 est donnéepar: dRs(z)= Po(z) .dz (r2) æôs(ôe+ 2b) Comme précédemmentnous appellons, pour les paramètres , O( z ) l a ' r é s i s t i v i t é d u c o n d u c t e u r d a n s ( I 2 ) , r e s p e c t i v e m e n tP externe (fonction de z également),ôO(z) l'épaisseurde peau interne du conducteurexterne et b le rayon interne (cf figure l4). Nous effectueronsles mêmes approximationsconcernant le diamètre interieur 2b par rapport à l'épaisseur de peau. La résistancede la cellule élémentairepour le conducteurexterne, qui sera ajoutée à celle du conducteurinterne, est donnée, après des calculs similaires,par: r8 = Rs((n+l).Lz)- Rs(n.Âz) (t 3) 28 N o to n s q u e l a ré si stancetotale, pour une longueur Z donnée,du a été obtenue en integr ant la r ésistanc e c o n d u cte u r e xte rn e R o (Z ) i n f i n i té si ma l e e n tre z=0 et z- - Z apr ès avoir effectué toute s s i m p l i fi ca ti o n s p o ssi b l e s (appr oxim ations,substitutions des fonction s de z, etc...). La connaissancede la résistancetotale " élémentaire " du quadripôle du modèle de récurrenceest ainsi possible;et elle est par l'équation: d o n n é e s, e l o n( 11 ) e t ( 1 3 ) , dans sa forme condensée, r[ =/n+4r (r4) La croissancede la résistancetotale élémentaireen fonction de la racine carrée de la fréquenceest implicite dans l'équation (14), traduisantainsi I'effet de peau dans les conducteurs. B) Inductances Il est bien évident que I'inductancesoit composéede la somme de trois inductance: Inductance de couplage entre les deux c o n d u c t e u r s i n t e r n e e t e x t e r n e [ 19 ] , I ' i n d u c t a n c e i n t e r n e d u conducteur interne et I'inductanceinterne du conducteur externe dûes à I'effet de peau qui, de part la distributiondes courantsqu'il modifie, induit des champs magnétiquesdans les conducteurset par conséquentdes inductancesinternes,d'après le théorèmed'Ampère [20], sont à prendre en considération. Nous traiteronsd'abord les inductancesinternes dûes à I'effet peau de combiné au gradient linéaire de température.L'inductance de couplage, terme majoritairementdominant, sera simplement ajoutéepuisqueson calcul a été déjà traité tl9l. B)-1- Inductance interne du conducteur central Le schémade la figure 13 illustre la distributiondu courant de haute fréquencedans le conducteurcentral ou interne. Nous allons faire appel au théorème d'Ampère pour calculer: la densité de courant, le champs magnétiqueinduit, le flux magnétiqueinduit, et enfin I'inductance. Comme nous I'avons effectué avec les résistances, nous utiliserons le calcul différentiel puisque nous considéronstoujours les mêmes étapes de calcul qu'auparavant ( inductance etc...). infinitésimale,intégration,discretisation, L a d é p e n d a n c ed e l ' é p a i s s e u r d e p e a u d e z n o u s p e r m e t d'introduire cette hypothèsedans le calcul du flux infinitésimal i n d u i t p a r l e ch a mp s ma gnétiqueinter ne: (15) dQi(r,z)= Bi(r,z)drdz Bi(r,z) est le champs magnétique interne, R e ma rq u o n s d a n s ( 15) la dépendancedu champs m agnétique de la distance z puisque le courant, comme nous le verrons u l t é r i e u re me n t, va ri e e n fonction de z du fait de la var iation l'épaisseur de peau (dispersion spaciale de la densité de courant). Utilisant le théorèmed'Ampère pour le conducteur représenté en figure 13, le champsrnagnétiqueest donné par: Bi(r,z)= Ë-.i{r,z) (16) Le courantinternei(r,z) dans (16) peut être écrit sous sa forme générale: i(r,z)= it@).si(r) (17) La sectionefficace Si(r), à travers laquelle le courant de haute fréquence circule,dans l'équation( 1 7 ) e s t , s e l o n l a figure 13, donnée par: s1(r)= rc(r2- az) (18) La densité de courant donnée par (17), tenant compte de I'effet de peau, est alors: jr@) l+ nô1(fi + 2a) (te) Il est ainsi clair que le calcul du flux total, pour une longueurZ du conducteurcentral, est donné par une intégrale double sommant sur les distancesz et sur les rayons r. D'une rnanière générale, cette intégrale double du magnétiqueinduit, est donnée par: flux 30 oî=f^,Ë B i(r,z)dr ôi(z) (20) Utilisant les mêmes approximationsque pour la résistance, nous écrivons le flux total, après plusieurs simplifications et une première intégration, comme étant: ln(1-Q&\ .adzl ol- =Eyv.^.[ 4na Jo (2t) ôi(z) L'épaisseurde Peau est, comme pour la résistance,variable en fonction de z et Peut être écrite de la forme: ôi(z)=ôiO/l +ti, (22) de telle manière à ce gue, dans I'intégrale donnée en (2I), l'épaisseurde Peau s o i t utilisée comme la variable d'intégration après un changementd e variable appropriéutilisant (22). L'approximationsur l'épaisseur de peau faite en la considérant très faibte devant le rayon a du conducteur interne permet d'écrire, aprèstous calculs,le flux total: rÀg;)=;H{z- 2;u .(F(z)-F(0))} (23) 4na r<iaitoI où la fonction F(z) est donnée Par: F(z)= (1 - Qi(').l.rn(rY, (24) L'inductance interne élémentaired'une portion de fil interne de longueur Lz est donc donnée par une équation de récurrence similaire à celle de la résistance: Li = Li((n+l).Lz)-Li(n.Az) (25) 3T central, seules La situation est similaire que pour le conducteur de la str uctur e cr euse du l e s b o rn e s d 'i n té g ra ti o n ch angent du fait conducteur. L'intégration sur le rayon r s'effectue e n t r e b e t b + ô o ( z ) ( c f peau inter ne à une f i g u r e l 4 ), a ve c ô o (z) est l' épaisseur de profondeur donnée z. N o u s donnerons le résultat après que tous les calculs interne, pour mathématiquesaient été achevés.L'inductance totale une portion de câble de longueurZ, est alors: (26) et les constantesdans (26) sont: b: le rayon interne du conducteurexterne(figure A); et la ko: coefficient de proportionnalitéentre la résistance (cuivre)' distance z qui est le même que pour le conducteurinterne (armure) Il pourrait ètrc différent pour lei câbles dont le blindage de câble est en acier pour des raisonspurementmécanique'Le type que nous avonsétudié (i.e: RG58U) fait exception' z du ô o ( 0 ) : é p a i s s e u rd e p e a u à I ' o r i g i n e d e s d i s t a n c e s conducteur externe. La fonction G(z) est donnée Par: G(z)-(1+ Q@o ).tn(l+ (27) Y, de L'inductance total de la cellule élémentaire,inductance couplageincluse [19], est alors: Ltn=lL*lT+u.P.rnP (28) 2na êgale à où p0 est la perméabilitémagnétiquedu vide usuellement p0=4rc* 10-7S.I modèle A présent les inductancesainsi que les résistancesdu analytiques discret P-Spicesont connueset définies par des fonctions 32 pour le modèle en aisèmentintégrables,comme nous I'avons fait 'cIR pour le basses fréquences,dans des fichiers de commande circuit passif à une fréquencedonnée' PSpiceprésentel'handicapdeneplspouvoir'de.façon à I'effet automatique,tenir compte de la dispersionfréquentielledûe les de peau. Néanmoins,nous pouvons fixer la fréquence,utilisant très équâtions(14) et (28), poui effectuer une analysefréquentielle fine. Le principe en lui même est simple: Soit à déterminerune grandeur (t"nriôn, courant, impédanceou autres) à la fréquencef0 Nous utilisons les fonctions inductanceet résistancede Ëut "*6pi". à f=fO, puis à la simulation nous demandonsune iu fréquence analyse dans une bande très étroite entre f0-Af et fO+^f, avec Âf très faible pour pouvoir connaître, à I'approxiamtionprès, I'attenuation ou la Phaseà f=fO. Nous effectueronspar la suite les simulationspour d'autres fréquencespour pouvoir lassembler I'ensembledes résultats en vue d'obtenir une réponse fréquentiellebeaucoupplus représentativeau lieu d'effectue ùne étude temporellenécessitantl'utilisation de la Transforméede Fourier RaPide. Les équationsqui régissentles variationsde la résistanceet de la l,inductancede chaque quadripôle élémentaireen fonction de distance et de la fréquenceétant développées,la simulation,compte i"nu du problème de la dispersionfréquentiellede ces paramètres le primaires,est ainsi possible.Pour ce fait nous donneronsen détail prog.urn-" de simulation concernantles hautes fréquenceSsous de ..ràin", conditionsentre la longueurd'ondes,pour ce cas précis longueur totale du câble coaxial et la domaine fréquentiel, et longueur de chaque quadripôleélémentaire' Nous représentonsen figure 15, la variation en 3D de la <al2 densitéde couiantj(r,z) pour f=lMHz. Le domainede r est: 0< r grande et le domainede i ..t b< z <Zmax=100.000m (valeur assez pour pouvoir représenter qualitativement les variations iongitudinalesde la àensité de côurant).Le tracé automatiquea été effe-ctuégrâce au programmede calculsMathematicarM. * Plot3D [Exp t66.089485 (' * 0 0 I t z I l , { r , 0 , 0 .0 0 0 5} , { 2 , 0 , 1 0 0 0 00 } l r ) / Sq r t i f + - 0 . O 33 Le programme de simulation PSpice contiendra, en plus des o p t i o n s d è c - o m m a n d e.so P T I O N S , . P R O B E , e t c . . . , l e s f o n c t i o n s et résistanceset inductancestraduisant la dépendancespaciale fréquentielle. En ce qui concerne la fréquence,puisqu'elle ne peut être incrémentée automatiquement,nous la déclarerons comme paramètre constant. Le programme ci-dessous explique concrétement le mode de fonctionnement de cette délicate simulation. Nous appellons,pour le fichier de commandeGIRCUIT' le 500m fichier HAUTÉS.CIR. Nous nous borneronsau cas du câble de de de long pour illustrer, de manière qualitative, la procedure le création-du fichier. Les constantesque nous allons utiliser dans programme sont: - La résistivité du cuivre, qui, d'après les équations de la résistanceet de l'inductance,eSt la plus utilisée que la résistance lineique à températureambiantecomme pour le modèle des basses fréquences; 34 sont L 'i n d u cta n ce e t l a capacité à tem pér atur e ambiante respectivement:L=0.25 pH/m, C=100 pF/m; - -Lesdimensionsdesconducteursinterneetexterne respectivement sont: a=R1=0'5 ffiffi, b=R2=I'745 mm; - La fréquence à laquelle nous nous proPosonsd'étudier la réponse ainsi que la Phase du câble coaxial est de I MHz; - La bande de fréquence est très étroite, nous la Prendrons êgaleà: Âf=100 kH4 soit alors un intervalle relativement fin allant de 950 kHz à 1050kHz; P o u r l e co n d u cteur centr al com m e pour le conducteu r soit externe, nous utiliserons le même coefficient de température, a l o r s : ki -ko -k-l .l e -4 Q.m-l.oc- l. - Etant donné que le cuivre, matériau qui constitue les sa conducteurs du câblè étudié, est non ferromagnétique, sim plifi é p e r m éa b i l i té re l a ti ve e st égale à I' unité. Nous avons ainsi p0=4nx10l e s c a l cu l s e n su b sti tu a n tdir ectem entla valeur numér ique 7 S.I. dans les équations de la résistanceet de I'inductance; - cable coaxial de 500m de long ; Ligne de titre du texte ; . PROBE NUMDGT=8 RELTOL=0'001 . OPTIONS 1050k 9s0k .AcDEC100 k=1.Ie'4, L0=0'25uH: C=100pF, Freq=1e06' . PARAM Deltaz=50, R2=I.745e'3, Rl.=5e-4, +Pi= 3.14L5g27, + M u 0 = 1 . 2 5 6 6 3 7 l e ' 6 , R h o =1 . 7 2 4 e ' 8 * * *{. ******{€*** ***:t€*i(**** **{€{<* *t€{'**i€**{'* {'****{€*{'{'*{'***{'*{'***{€{'** 3 * Definition de la fonction â€{.***** * : N € * { € ! t €! $ d . * * * { . * * * * H(z) = (l+k'z)z - 1 {'*{<*{€ ******{€*{Ê**{.{€**{G{€cc** ***{€**€*****{€* * * * . FUNC H(Z) (PWR(1+k*2,312)'l) * {€ ****{€{€****{.*:fi*****{g{.{€*:F***{.**{.{.*****{€{€*****{e*:**{€*:N€*d€{€**:|€*'Ê*** * Definition de la fonction de *conducteur interne * la resistance totale du 35 + ui'ztT'u Ri(z)=#u,'/@{(1 * * t( {€{€t {. * * * * * d. * t {€ dc* {. * *€r€l,s* * * * * * * * * {€{r * {€* * * * * t * * * * * * * * * *€* * * i€ {c * {€* * * * RTotaleCent(Z) . FUNC ( ( 1 / 3* Pi * R 1 * k ) * SQ R T ( M u 0 * R h o/ Pi ) * H ( Z ) * SQ R T ( F r eq ) ) * * {€*****{c**:f **:***** ******{€**{. ***t€*****:fi **{'** t€*{€** **{c** **{€*{c {ÊX'** * Definition de la fonction resistancetotale du conducteur *externe * * {€* * * * â' X€*€d' * * * * * d€* * * * * {€* {' * * * * tr {. * * d€* {. {€ * * {. * * * :l€* * t * * * * * {. * * * {. * * * r1Ê * :1. RTotaleExt(Z) . FUNC * ( ( 1/ 3 P i * R 2* k ) * SQ R T ( M u 0* R h o / P i )* H ( Z ) * SQ R T ( F r e q )) * * {€* ** * *** ********{€{€ ********** {€**(** ***** {€{€{€* * * *t{.** ****{€ ***{<{€ *:l'** Resistance de la cellule elementaire * * * * * d€1r€* * * * * * * * {€ * * *€ *€t * * * * * * * {. * *€* * * d€* {€ * * àl€* àk* * * * * * * * * * * * * * d€* * {r * * * . FUNC R(Z) ( R T ot a I eE xt (Z +D eltaZ)-RT ot a I eE x t ( Z ) + R T ot aI eC en t (Z +D eltaz)' RTotale Cent(Z)) * * {.{€{€*{É*d€:'1.*{€**{.***:l€*{€*t€{.*d€**d(*:t€{<******{.**X.**.*******X€**{<d'{Ê***tr:l'* * Definition de I'inductancetotale du conducteur central * { € { € { €{ € * * { c * { . * * ***** ***€******* ***** ***** *{.**il ***** *t€{'{€**{€{".€**àt** * {r {. * * {€ * {€* * * * * * * * * * X.* {Ê* t * * :F:t€* * * * Xt* {. * * * * * * * * t€ * d€* {' :l' * * {€{€* * * * * * * {c d' * * * Epaisseur de peau ô(z) donnee par la formule: * * ôi(z) = O1g,û + kiz :l' * * {Ê{' :l€ tÊ* * * * * :& {€ {€ àl€* * * * * * * * * * * {. * * :'f * * * * tt * ,1.{€ * * {' * {€ * * :l' :l' * :l€* * * d€* {€ * * * * * * :F . FUNC Delta(Z) {€ * * r N {€€ { € { € { € :*F* * * * r l . { € * * * ( S Q R T ( ( R h o / P i * M u 0 * F r e q") ( 1 + k * Z ) ) ) ***{€**:fi*** tF****:F*:r*c* **rc*{€x.*:N.*:F****:S*****{€*{€{€ 37 Cellule la de {c Totale Inductance *Inductance de CouPlage ComPrise Elementaire, ********it***{.:****Xx{f.*X*****{'*4€:t'{'****{'*{€*{€***{€{Ê{€***{€***d<d'{'**{c *€ * . FUNC L(Z) (L T ot aI erc,xt(z +D eltaz) -LTot aI eE x t (Z)+LT ot aI ec ent (z +D eltaz)' * i , T ot " t . C e n t ( Z ) +( M u 0I 2 * Pi ) D eI t a Z * L og ( R2/ R1) ) d. :F ****t€ ******* * *{€***{'*àk**< ***d€*€ *{€{.*É*******{€*** **{'{'*€ **{'** Definition de la procedure subcircuit *{€ **{€** d.***{. ***** ***€*{. *{.**{€ {.{.*** *{€{c*****.*{. * ******** *********{'***** {'*** tc dc 1 . SUBCKT CELL 2 Rl l, tR(z)) 3 2 Ll {L(z)} CO 3 0 cl . ENDS 3 PARAMSzZ=50 * {€ ***{.{€{€{€**d.***:F*{.**{r****c****{.**{r{.**{€{€d.*€{.*{€******{'*{€d':f{'****tl€**{€ Appels de la procedure pour le reste des quadripoles {€*:1.**{€*{€*{<{.d€:l€*****{'{€***{'{€*{'****{'{€**{'*{<{'{€**{€***:S{'**:l'**{€**{€**** * {. X q u a dH F 1 XquadHF2 X q u a dH F 3 X q u a dH F 4 X q u a d HF 5 X q u ad H F 6 XquadHFT X q u a dH F 8 X q u a dH F 9 XquadHFl0 CELL CELL CELL CELL CELL CELL CELL CELL CELL CELL 1. 3 5 7 9 11 13 15 17 19 3 5 7 9 11 13 15 L7 19 2I 0 1.0G 'ARAMS: Z={S0} PARAMS: 2={100} pARAMS: l'={150} pARAMSI Z={200!' p A R A M SI Z = { 2 5 0 } PARAMS: Z=t300) P A R A M Sz Z = { 3 5 0 } P A R A M Sz 2 = { 4 0 0 1 p A R A M SI Z = { 4 5 0 1 PARAMS: 2={500} :l€ * Rentree I * * **:l€****,s***:Ë{.:F**!s:F*:s*****{.{€*{€*{<**tr**************âls**{€*:F***d€{<** * Impedance de Charge ZL=509- *:N€*{€*rr***{.{€**{.***{€i€**{'***{€{€***{'N€:F*{€**{':N€{€{€*{€*:fi***:N€*:Flc:tc**rt{'*{'** {. 38 * Rcharge 2L 0 50 :1. {. {.**{Ê:l€*:s*:l€**{€**{.*{€*****{.{.{€*{€****{€{€*t€***{€********{€*(**{€**{'*€*d(*'** * Source de Tension {.**{.{.{€r.{.*****t(*{.*rÉ****:tc********t€*i€{.**{€****{€****d€{'*****{€t'**{'*{' C. * Ventree 1 . END 0 AC l0Volt Le fichier texte ou source du programme de simulation de la propagation des ondes électromagnétiques pour les hautes i r é q u en ce s e sr a i n si d é fi ni. Ceci étant donné à titr e explicatif d u - o à è l e d e s h a u te s fré q uences puisque la subdivision que nou s avons utilisé dans cet exemple n'est pas assez fine pour représenter, d a n s ce d o ma i n e d e fré quences,les tensions et cour ants que nou s cherchons. Nous donnerons en annexes le fichier texte détaillé concernant le câble coaxial du type RG58U de différentes longueurs utilisant le programme de génération automatique de fichiers textes à partir à.r- données préalablement énumérées lors de la description détailtée du modèle en basses fréquences. Les résultatsdes simulationsPSpice pour ce cas précis sont d o n n é s e n f i g u r e s l 6 e t 1 7 o ù n o u s a v o n s r e p r é s e n t é ,p o u r différentes longueurs de câble, les attenuationset les phases en fonction de la fréquenceen rassemblantles résultats de chaque point de "fréquence"; nous entendons par point de fréquence i'attenuationou la phase calculés par la simulation PSpice autour d ' u n e f r é q u e n c e d o n n é e ( à c a us e d u p r o b l è m e d e d i s p e r s i o n fréquentielie dû à I'effet de peau affectant l'inductance et la r é s is t a n c e ) . 36 * La fonction F(Z) donnee par: * F(z)= (1 - li-G)" ).t,r{r- Ofl *****X(**** **********{.* *{<**{< ***{€* ***** ***{.{. * **:l€* ***{<* ** ** * ***{€ {€ {. ((1-Delta(Z)lRl)*Los(1-D etta(Z)/R1)) . FUNC F(z) * tJÊ ***** {.* ***{.****{€{€******{€*** * Fonction * central: Inductance ***** * *{€** interne ***** *{c*{€* total *€d€{€:l€*{€***€* du {<{<* i< Conducteur Liu)=ffr#"r*;(F(z)-F(o))) * * * * * * * d. {. * {€ * t€ * {. !t€{€ * * * :t * * {€ :lt * * {. * * * * * * * * * {€ * * * {. t€ * * {€ d€* * * * * t€ * {€ * * * * * :Nc * * . F U N C L T o t a l e C e n t ( Z ) ( ( M u 0 / a * P i * R 1 ; *( Z - 2 *p 1 r ' 1 F ( Z ) ' F ( 0 ) ) / k* s Q R ( D e l t a ( 0 ) ) ) {€ t€ X(* âf* * * {€{. * * d€* * * * * * * * * * * * * {. d(* t€* * * {. {. * * * * *€* * * * * {€* * * {. {€t * :1.* {€* * * *. * {€{< dÉ *bb Fonction G(z) definie par: ô o ( z ) r . l n ( l+ o o - ( z ) ) G ( z )= ( 1 + {< * * * * * * * * {. * * * * * :t *. * * d. * {€ {€ * {. * * tl€{. * * * * d. d. {€ * t€ * * {. {€ * * * * * * * * i€ tc * {€ * {€ * * * {< {< *. {. . FUNC ((1+Detta(Z)lRz)nLog(1+Delta(Z)lRz)) G(Z) * * ** ***{€**d.*** !t€**** * Fonction Externe: *****X€*{Ê*****{.*****{€ Inductance Interne ***{.* ********** Total du ***{<***** Conducteur * :Ë{€****€*!È{€{€*{€:N€**{c**{€t€****tÊ**{€*r€**:1.***{.***:ls{<****{.{.**{€:l€!N€***{€**{<{€ {. {€ . F U N C L T o t a l e E x t ( Z ) ( ( M u O / a * P i * R 2 )(*Z - z * p 2 ' t 1 G ( Z ) G ( 0 ) ) / k* s Q R ( D e l t a( 0 ) ) )) * :s tl€!Ë * :N€ X€* :t !S * {. * t& * tS * :F *s * * * * * {. {. {. * * * * {. {€ :$ * * * * {c {€ {. {< tl. {€ {€ * *€* rF * * * * * * {€ :È {€ {. {' * * * 39 E30 # HF-GT 1500m PSPice 4r- 1000m PSpiceHF-GT + frf-GT 500m PSPice o cg =20 q) Fréquence (MHz) (n \Qr) l- êt) q) -400 I .t) cg T .+r- 500m PSpiceup-GT # 1000m PSPiceHF-GT * l5OOmPSPiceHF-GT -600 Fréquence (MHz) "discret" La résistanced e l a cellule élémentaireà un point en quelconque Pour le modèle des hautes fréquencesest donnée figure 18. 40 '+ R(n.DeltaZ) ê) \q) L N q,) É Coordonnée discrete n La fréquenceétant fixée, seule la variation selon z est prise en qui compte pour connaître I'aspect de la courbe résistance-distance peau n'erf pus (cf figure 18) tout à fait linéaire à causede I'effet de qui fâit introduireune variationen racine carré de la résistivité. La variation des paramètres primaires (résistance et inductance)en fonction de la distanceest non linéaire ce qui se traduit par des écarts, entre les attenuationspour les différentes longueursde câble, qui ne sont pas régulièrementespacés(cf figure l6). Il est important de souligner,comme l'étude qui a été développéeen t10l nous I'indique, qu'un câble entièrementplongé dans un milieu à températureuniforme présente une variation linéaire de I'attenuation en fonction de la température;dans notre cas cette linéarité n'est pas observéemalgré la faible non linéarité de la résistance(cf figure l8) (généralementles variations de I'inductanceen fonction de la températureinfluent très peu Sur I'attenuation et la phase). Ceci veut tout simplement dire que I'attenuationest très sensibleà la moindre variation de résistance. Notons aussi que le problèmede la dispersionfréquentielleest à résoudre parce qu'il peut, pour des applicationsdemandantplus de précisions,engendrerdes erreurs beaucoupplus importantes. Nous verrons plus loin que le modèle de simulation PSpice s'avère tout à fait cohérent avec le modèle numérique des 4l dans les pr ochain s différences finies que n o us allons développer paragraPhes. temnérature 2-2-l- Introduction Les problèmes de la physique, d'un9 manière générale, font s o u v e n t a p p e l à d e s c a l c u l s m a t h é m a t i q u e sp a r f o i s f a s t i d i e u x Il est difficiles à résoudrepar les méthodesde calcul symbolique. aux alors nécessairede iolutionner ces problèmesen faisant appel techniquesde calculs numériques' La méthode des différences finies est classée parmi les en méthodesles plus efficaces en raison de sa facilité de mise et oeuvre (équation décrivant ainsi un modèle équivalent appro*imatif d'un systèmeréel quelconquerégis par des équations différentielles ou autres difficilement résolvablesanalytiquement), ainsi que de sa relative faible dimensionmémoire. Nous entendonSpar relative faible dimension mémoire, etr que: la comparaison avec d'autres méthodes numériques telles en mèthode de éléments finis tzll,l22l (beaucoup appliquée des dynamique des Structures,la théorie des coques, en mécanique sols, en tectoniquedes -plaques, la modélisationdes phénomènes quand il vibratoires aléatoirestels quê les seismes,les antennes en s'agit de calculer une distiibution de champ électromagnétique géiéral pour une structuregéometriquecomplexe,etc...), la méthode etc... du moment t20l (antennes), Le cas du câble coaxial plongé dans un gradient de qui font température fait partie de cette catégorie de problèmes nous le uppêt à un calcul analytiquetrès fastidieux car, comme uliron, plus en détail, tÈquation des télégraphistest9l s'avère variation d i f f i c i l e à i n t e g r e r a n a l y t i q u e m e n tà c a u s e d e l a longitudinalede la résistance. dans le cas où la La résolutionde l'équationdes télégraphistes températureest uniformèment répartie le long du câble,-s'effectue du sans aucune difficulté particulièie; en revanche, I'introduction câble coaxial dans un milieu où la températurecroît linéairement G avec la distance,fait varier les valeurs des paramètresR, L, C' usuellementdits répartis et par conséquent,pour la résolution des équationsdifférentiellesdes courantset/ou tensionsÎl2l' des termes 42 G ainsi que leurs dérivées contenantsdésormaisles fonctionsR, L, c, p r e m i è r e S S o n t à S u p e r p o s e r a u x é q u a t i o n s g é n é r a l e s d enécessite le problème et propagation;ce qui .olnitiqu. évidemment représentantle modèle le l,utilisation o'unô méthôde numérique plut approximatifque possibleau cas réel' la L'étude que nous avons menée concerne essentiellement en et fréquences réponse fréquentielle du câble coaxial en basses précis, la réponse hautes fréquences.cependant,dans notre cas vue non pas de sa temporelleest couteuseet compliquéedu point de programme de mise en équation mais du i.*pt d'execution du la tension ou du calcul, à chaque échantillon de it*pt donné, de courant de réponse. il est Notons que pour une éventuelle étude temporelle, ( d i s p ersion n é c e s s a i r ed ' i n t r o d u i r e l e s d e u x v a r i a b l e s d ' e s p a c e le domaine spatiale longitudinale) et de temps; alors que dans ce qli réduit fréquentiel, seule est considéréela variable espace ' m émoire vive énormémentle temps de calcul ainsi que la nécessaire. une La méthode des différences finies permet de remplacer analytique fait équation différentielle "continue", dont la résolution fastidieux,par son modèle "discret" appel à des calculs généralement . La résolution devient alors numérique et nécessite ou récurrent I'utilisation de I'ordinateur' de Puisque le but est d'effectuer une étude fréquentielle d9 câble' la I'attenuationet de la phase pour différenteslongueurs pas les méthode des différenôes finies ainsi appliquée n'étudie harmonique ,àgires transitoires.Dans tout ce qui suivra, le terme esi omis et on supposele régime permanentétabli. du câbte coaxial ont été élaborés: Deux modèles représentatifs fréquences(effet modèle en bassesfréquences,modèlesen hautes de peau). de peau 1o) Dans le modèle des bassesfréquences(i.e: l'effet qui dépendde fa température n,esr pas considéré),seul le paramètre. discret' par est la résistance.Celle-ci est remplacée'pour le modèle continûment une fonction en escalier au lieu d'une fonction affine de pouvoir croissante avec la distance. Le but est évidemment de températurepar remplacer le câble réel dans le gradient linéaire en cascadeoù la valeur de la son modèle équivalentde quadrip-ôles localement résistancede chaque cellule éiémentaireest constante préalablement mais qui augment; suivant la fonction en escalier 43 et de la décrite. Les coefficients de tempér atur e de I' inductance de la conductanc e capacité sont en effet très faibles. Bien que celui négligé car son terme ou perditancesoit élevé, il peut cependantêtre n'intervient que Pour une très faible part dans I'affaiblissement' peau 2o) Dans le modèle des hautes fréquences,I'effet de à celui du gradient de températurepar le combiné analytiquement -conductivité à son tour dépend de la variation de fait que la I'inductance tempâature, permet de calculer la résistanceet tineiques en fonction de la distance' prend en Ce modèle différe évidemment du précédent puisqu'il * n 1 p , " l a d i s p e r s i o n s p a t i a l e d e I ' i n d u c t a n c e .L a d i s p e r s i o n des irequentiette dt la résistance et de I'inductance découlent qui fonôtions de Bessel t23l pour les conducteurscylindriques paramètres forment le câble coaxial. Ainsi, sont définis deux La distance' primaires dependantchacun de la fréquenceet de la de la rért oO" des différencesfinies tient compte de ces fonctions ainsi que des phasespour distancepour le calcul des attenuations différentes longueursde câble' La méthode des différences finies ainsi appliquée nous a permis de deteminer la températured'un défaut thermique localisé ir long du câble coaxial en résolvantdes équationsde récurrence cité' pour les courantset tensionsdu modèle discret préalablement En effet, une simple mesurede I'attenuationdu signal propagé du le long du câble coaxlal a permis de mesurer la température accessible' défaut thermique présent dans un milieu difficilement sont en Les résultatspréditi et ceux donnéspar une mesuredirecte bonne cohérence. Notons que pour des raisonsde précisionde mesure'le modèle de concerne les baïses fréquencesparce que le coefficient fait de la tempéraure en hautes fréquencesest plus faible du variàtion inverse de l'effet de peau avec la conductivité l'121. de La variation de la tempéraureprédeterminéeà partir pour I'attenuation du signal est linéaire. Une propriété commode l'étalonnagede la sonde de mesurede température. Nousproposonsdoncunnouveautypedecapteursde ondes température utiiisant la mesure de l'affaiblissement des de é l e c t r o m a g n é t i q u e sc o m m e m é t h o d e d e m e s u r e i n d i r e c t e i.rnfetu,uté; I'utilisation s'avère à la fois simple et économique' - Matériel et environnement informatique 44 citées N o u s a v o n s u ti l i sé les deux méthodes pr éalablem ent de la et I'attenuation comme moyen de calcul et de comparaison de gr adient linéaire phase dans le cas d u câ b te coaxial plongé dans un d e t e m P é ra tu re . Le langagede programmationutilisé: Langage c de Microsoft AIX, compatibleUNIX V' sous environnement Pour la modèlisationpar DifférencesFinies ainsi que pour les simulationsPspice,le micro ordinateurutilisé est un IBM PS2 ayant suivantes: les caractéristiques - Microprocesseur 80386. - Fréquenced'horlogede 25 MHz, - Mémoire vive 8 Méga Octets, - Disquedur de 120 Méga Octets. Le systèmed'exploitationutilisé est I'AIX' Fin i es P a r s a r e l a t i v e s i m p l i c i t é d ' a p p l i c a t i o n ,l a m é t h o d e d e s différences finies offre une grande facilité de mise en équations connaissantles conditionsinitiales ou les conditionsaux limites. E n c e q u i c o n c e r n e l e c â b l e c o a x i a l , l a c o n n a i s s a n c ed e I'impédanced; charge permet, par des équations de récurrences tenant compte de l; variation de la résistanceselon un schéma en simple des différences finies, similaire aux schémas donnés de la phase et de I'atténuationle référence t24t 1251,la connaissance long de la "ligne fictive" t26l équivalenteau câble' ainsi Comme on le verra, la méthodedes Différences-Finies f a ible d e appliquée, s'est avérée très rapide et surtout immobilisation mémoire. T é l é gr a P h i s t e s Rappelons d'abord les équations de couplage cour ant- tensr on équations dont découle l'équation des pour une ligne quelconque,_ Nous avons alors: 7étégrapt'ristes. (2e) 45 + ç!YG'O -èl(z't)= G.v(2,t1 (30) ât àz représentéPar le où les paramètresprimaires R, L, C et G sont schéma ci-dessous: Ldz Rdz z*dz T L'équation des télégraphistesd'une manière générale,Pour un forme milieu diélectrique h o m o g è n e e t isotrope, s'écrit de la suivante: a2v=+++ à22 (LG +RC).#+RG.V (31) \2 at2 ou alors Pour le courant, a}t=L4+GG +nc)$ + RG.I (32) à22 u2 atZ de avec u le module de la vitesse de propagation électromagnétique dans le m ilieu donnée Par : u-1 ^,1rc I'onde (33) Dans le cas le plus général (i.e: toutes les pertes sont dans le considérées),la solution de l;équation (29), par exemple, domaine temPorelleest donnéePar: 46 V(z,t) = e-æ.g(z-ut) + e+@'h(z+ut) (34) par les o ù l e s fo n cti o n s g e t h sont entièrementdéterminées conditions aux limites et la constantecr est donnéePar: "=nf (3s) représentant ainsi I'attenuation de l'onde en Népers. La résolution de l'équation des télégraphistesdans le domaine phase fréquentiel aboutit à la détermination de I'attenuation et de la en ?onction de la fréquence et pour une longueur quelconque. Il e st a i n si i n u ti l e de r entr er dans les détails en ce qui es t c o n c e rn e ce tte se cti o n d e r appel car le pr oblèm e pr incipal la beaucoup plus complexe. Nous développerons par la suite (30). méthode de résolution des équations du type (29) et Le modèle des différencesfinies, d'une manière générale est (30) avec' basé sur la discretisationdes équationsdu type (29) et pour paramètresvariablesen fonction de la distancez' la résistance ir(r), qui, du fait de la variation (en bassesfréquences)de la résistivité des conducteursinterne et externe du câble coaxial en fonction de la températureà croissancelinéaire, varie elle aussi en fonction de la distancelongitudinalez' La méthode est donc basée sur le remplacementdes deux équations (29) et (30) qui gouvernentla propagationdu courant et d; la rension (équation de couplage électromanétique)par un modèle discret, donc approximatifau câble réel équivalent' Il existe plusieursschémasde discretisation;avant d'en choisir plus un parmi ceux-ci, il est commode d'en énumerer les courammentutilisés 125i,1271,t281. Ainsi, pour approcherune dérivée partielle du premier ordre, par exemple,du tYPe: R*,v) dx (36) 47 nous pouvonsutiliser trois approchesdifférentes: (37) St*,v)=W ou R*,v) dx f(x,y)-f(x-Âx,y) Âx (38) ou alors, = ${*,v) dx f(x+&,y)-f(x-l,y) (3e) Âx Notons que la précisionde I'approximationdépend du type du schéma utilisé. Ainsi, le schémade l'équation(39) présentele plus . Le seul inconvénientqu'il pourrait présenterest le de précision t.rnir de calcul qui dépend,bien évidemment,du type de fonctions à tàiter ainsi que le nombre d'opérationsà executert161. L'incertitudepour les équations(37) et (38) est en O(^x) tandis que I'incertitudepour (39) est en O(lx2;. On préféreradonc, en génêral,I'expressionsymétrique(39). Comme nous le verrons plus loin, la résolution concerne des équations aux dérivées partielles du type (29) et (30)' et par conséquentles rappels sur les schémasnumériquespour le premier ordre Sont amplement suffisants.Il eSt évident, pour une étude temporelle dés équations générales (31) et (32), qu'un dévéloppementdes schémasnumériquesdes équations aux dérivées partielles du second ordre s'imposerait. Les équations(29) et (30) dans le cas de notre câble coaxial plongé dans un gradient linéaire de températures'écrivent |l7l, en se plaçantdans le cas du régime harmonique,de la forme: dV(z) = -(R(z)+jL<o).I(z) dz dI(z) - -(G+jCco).V(z) dz (40) (41) 48 du ces équationstiennent compte de la conductivitétransverse G milieu diélectrique,paramètregénéralementnégligé' La constante un r r , p a r f o i s i n t e n t i o n n e l l e m e l t a u g m e n t é e ,e n c h o i s i s s a n t à i e t " Ë t t i q u " l é g è r e m e n tc o n d u c t e u r ,p o u r d i m i n u e r l a d i a p h o n i e 1291,t301. Dans toute entre conducteuisdes câbles multiconducteurs l'étude que nous faisons, seules sont considéréesla résistance, I'inductanceet la capacité,paramètresélectriquesdont dépendent I'attenuationet la phaseque nous avons étudiées. pour ce modèle des bassesfréquences,la fonction résistance R(z) qui intervient dans l'équation (40), est celle représentéeen figure la pour le modèledu câble réel qui sera, d'ailleurs,remplacée par celle de la figure lb. Nous avons choisi le schémade la forme (37) (semblableà celui de (38)) car la résistanceR(z) a été discretisée,pour le modèle PSpice, selon ce schémaqui représentemoins de temps de calcul pout PSpice pour pouvoir comparer les temps de calcul des deux t n e t n o O r i . N é a n m o i n s ,I ' u t i l i s a t i o n d u s c h é m a ( 3 9 ) o u d ' a u t r e s schémasest égalementfaisable si les moyens de calcul étaient plus performants. La résistanceR(z) est la seule fonction, excéptéesV(z) et I(z), existantdans (40) et (41). La droite qui régit sa croissanceest de la f orme: R(z)= A+B'z (42) pour le modèle discret des différences finies selon le schéma (37)' sa v a l e u r ré cu rre n te e st: R(n.Az)= A+B.n.Âz (43) où les constantesréellesA=Ramb et B=Ramb*aR*k comme elles sont définies dans l'équation(2). Les équations générales (29\ et (30) s'écrivent, pour un schémade li forme (37) par exemple,de la forme suivante: Vn+t -Vn = - Â2.(Rn+jl-ol)'In In+t - In = - Az.(G+jCco)'Vn (44) (4s) 49 cour ants o ù r e sp e cti ve me n t l e s te nsions discr etes Vn ainsi que les discrets In sont exprimés par leurs relations de récurrences s ui v a n t e s : Vn = V(n.Âz) (46) et (47) In = I(n.Âz) avec la variable discrete 0 < n < N-l (cf figure 2). Les équations du modèle des différences finies ainsi obtenues c o r r e sp o n d e n t a u x sch é mas des figur es 2 et 3. La conductanc e G s e r a , d a n s t o u t e l ' é t u d e, n é g l i g é e p u i s q u ' e l l e trunruirr" n ' i n t e rvi e n t p re sq u e j a ma i s du fait de sa faible valeur et de s a relative faible variation en fonction de la température t13l.La r é s o l u ti o n d e s é q u a ti o n s ( 44) et ( 45) s' effectue en utilisant la condition limite en bout de ligne (liant courant, tension et a d m i t ta n ce d e ch a rg e ) car I' adm ittance de char ge est connue au préalable par la relation: c'=* (48) avec, pour les tensions Vp et courantsIN en bout de ligne, les valeurs théoriquesdéduites de l'équation(a8): IN = I(N.Az) (49) et VN = V(N.^z) (50) Le gain complexeen tensionen fonction de la fréquencepeut être écrit de la forme d'un produit de rapports de tensions: VN = VN *I*r{,...CL Vo VN-t VN-z (51) Vo pour que ces conditionssoient utilisables,il est convenablede réecrire les équationsgénérales(44) et (45) en remplaçant n=N-l ' Par conséquent,nous obtiendronsle systèmed'équationssuivant: VN -VN-r= - Â2.(RN-r+jLco).IN-r 62) 50 et (s3) IN - IN-r = - Lz.(G+jCco).VN-r Le systèmed'équationsainsi obtenu se résoud en divisant (52) et (53) pui Vp- 1, puis en substituantI'admittancede charge donnée par la ielation (48). Nous obtenonsdonc le rapport des tensions suivant: VN - 1+LCctl2Â22-jRN-rC<oAz2 1+RN-rGyLz+jLaGrLz VN-r (s4) Le calcul des rapportsde tensionsdonnéspar l'équation(51) s'effectue par décrémentationde N dans l'équation (54)' puis substitutiondans l'équationmère (51). Cependant,nous écrivons respectivementpour le module et I'argumentde (51) les équationssuivantes: (ss) g(dB) = 20Lo ou encore sous forme de sommationfinie (Décibels): N-1 --20> s(dB) (56) i=0 N-(i+1 la phaseest donnée,d'aPrès(51), par la somm ation finie égalem en t: N = I <D(radians) qt (s7) i=l où I'argumentdu terme généralde l'équation(57) est donné par: 9i= -Arcr*ttr.ni-rclarl.ni- (58) l+LCro2.nz2+R1-1G1Âz Le déphasageest ainsi connu et sa valeur, expriméeen radian (cf équation (58)), dépendde la longueurtotale du câble comme le ,nonttè égalementl'équation (57). Notons aussi que (58) exprime 5l que le u n e p h a se n é g a ti ve , ce qui cor r espond bien aux valeur s ptogtâ*.e PSpice prédit (cf figure 7)' Les équations qui régissent le modèle sont ainsi définies, nous le d o n n o n s l e J ré su l ta ts d e s calculs num ér iques ( cf annexes pour p r o g r a mme d e ca l cu t) sous AIX en figur e 19 et 20 pour une àistiibution linéaire de la température en fonction de la distance longitudinale z. N o to n s q u e l e s a br éviations faites en figures 19 et 20 d é c o u l e n t d e : MD F 'GT = M éthod e des Différences Finies avec Gradient de TemPérature' 50 Ë v40 .+ I500mMDF-GT + 1000mMDF-GT -+ 5OOmMDF-GT .- 30 cÉ 620 10 0 1o 100 Fréquence (kHz) L=500. 1000 et 1500 m. Figure 19: Atten.=f(Fréquence). en BF avec Gradient de Température 52 -200 .t) \q) L è0 c) Q -+oo q) çt) cÉ E -600 + 50OmMDF-GT # 1000m MDF-GT # 1500m MDF-GT Fréquence (kHz) 100 en BF avec Gradient de Température. Les résultatsainsi obtenus,pour les attenuationset les phases, sont relatifs à une variation linéaire de la résistanceen fonction de la distance longitudinale.Nous avons aussi étudié le cas d'une variation quadratiquede la résistanceen fonction de la distance,où nous avons simplement ajouté un terme quadratiquecomme nous I'avonsfait avec le modèlede simulationPSpice(cf Chapitre2). N o to n s q u e d u p o int de vue for m ulation mathém atique, l a résistance R(z)=a162+cz^2 pour le modèle continu ou " réel " sera remplacée, pour le modèle discret des Différences Finies ainsi décrit, par sa formule récurrente donnée par: (n. Lr)z Rn=R(n. Lz)-aa1o.n.Âz+c. (se) La variation linéaire de la résistance en fonction de la température n'est que I'approximation au premier ordre du caS quadratique, car, en gén&al, on considère une température assez faible et un coefficient de proportionnalitéct constantpour pouvoir approximer, pour des raisons de simplicité ou de commodité, la vâriation quadratiquede la résistanceen fonction de la température du milieu dans lequel les conducteurssont plongés.Les résultatsdes calculs, pour ce cas précis, sont donnésen figure (21) et (22) pour les attenuationset les phases.Nous donneronsplus ultérieurement 53 l e s t e mp s d e ca l cu l s a i n si que les r appor ts de tem ps d' executio n relatifs à la méthode de simulation PSpice. # 1500mMDF 4 l000mMDF #t- 500 m MDF x tt \/ 60 o Ë40 q) ri20 €. Fréquence (kHz) 2t: =ï( lfeoUefl R(z)=a+bz+cz^2. Gradient non Linéaire. 0 -100 -200 (t) \O) tr -300 èo (D - -400 q) t) cl -500 T -600 .+ 500mMDF .+ 1000mMDF * l500mMDF -700 Fréquence (kHz) R(z)=a+bz+cz^2.Gradientnon Linéaire 54 Nous constatons,à partir des résultatsdonnéspar les figures (19), (21), une croissancebeaucoupplus rapide de I'attenuationen fonction de la distance z dans le cas quadratiqueque dans le cas linéaire ce qui s'expliquefort simplementpar I'ajout d'un terme quadratiqueà la résistanceet qui, dans I'expressiongénéraledonnée put l'équation (54), joue un rôle très important dans la variation de cette attenuationen fonction du nombre de cellules N. L'attenuation, dépendantdirectement de l'équation (54)' présente une variation dans le numérateuret le dénominateurde cette équation en carré de R(z), mais I'existencede la racine carté remet les degrés des numérateurset dénominateurs à un ce qui justifie bien I'influencedirecte de I'ajout du terme quadratiquedans la résistanceR(z) sur les attenuations. Néanmoins,les courbesde variation de la phase des figures (20) et (21) montrent une parfaite conservationde la phase pour une longueur donnée. Nous pouvons interpretercela par la non influence de I'introduction d'un terme à la résistance R(z), faiblement variable en fonction de z, dans I'expressiondu terme généralde la phasedonné en équation(58). La justification de cette interprétation se base sur le fait que le numérateurde l'équation (58) présente une équation du second degré en R(z) et par conséquentI'introductiondans R(z) un terme quadratiqueen z nous amène à le négliger lors du produit de R(z) par elle-mêmece qui implique une très faible influence sur le terme général (58) et par récurrencesur tous les autres termes constituantle déphasagetotal donné par (57). Le calcul des paramètresprimairesR et L a êté développéau chapitre 2 pour le câble coaxial en hautesfréquencesoù nous avons établi les relations de récurrencesqui lient ces deux paramètres primaires et la coordonnéelongitudinalediscreten.L,zIl e st a i n si u ti l e d e substituer , dans les équations génér al es donnant le rapport des tensions (54) et le terme général de la phase ( 5 8 ) , l e s v a l e u r s , f o n c t i o n s d e n , de la r ésistance Rn et de I'inductance Ln. La substitution de ces valeurs récurrentesde Rn et Ln dans respectivement(54) et (58) donne: 55 VN - 1+LN-rCco2Â22-jRN-rCtoÂ22 1+RN-rG1Âz+jLp-tcoGlAz VN-r (60) et (61) 9i= -Arctgf I +Li-1Cco2.g2+Rit Gl-M sont données par les expressions où les valeurs de Rn et Ln suivantes: (62) Rn={=iln+4 et Ln= Lh = I-l + Ll + nz.I0.tnh (63) 2na Dans ces équations(62) et (63), la dispersionfréquentielleest implicite puisqu'au préalable, il a étê démontré qu'en Plus de la dispersion spaciale, le modèle des hautes fréquencestient comPte de l a f r éq u e n ce co mme l e s fonctions de B e s s e l I ' i l l u s t r e n t P o u r I'inductance et la résistance lineïques que nous écrivons, a température ambiante, de la forme: Blf =u tber(u).bei'(u) R62., u).ber'(u)1 (64) et Lrr = 4.tber(u).ber'(u)+bei(u).bei'(u)'t h-u avec 3- ber(u)=ftetJo(i?4ô )l et (66) (6s) 56 3 bei(u)=lmtJo(4q)l o (677 où a représentele rayon arbitraire d'un conducteur cYlindr ique q u e l c o n q u e e t ô l ' é p a i s s e u rd e p e a u à u n e f r é q u e n c e ( h a u t e fréquence) donnée. La variable u est une grandeur sans dimension introduite Par simple commodité et est donnéepar: u=f (68) La résistance RO est la résistance de référence ou en courant c o n t i nu e u su e l l e me n t d o n née Par : Ro=-+ ,TEA.6 (6e) Ainsi les valeurs, à températureuniforme et ambiante,de ces paramètresprimaires aux hautes fréquencessont tabulés [31]'[32]' des fonctionsde Bessel et de leurs Le développementassymptotique dérivéesdônnéesen (64) et (65) nous mènent à considererquatre principaux et surtout usuellement utilisables sous-domaines iréquentiels où inductance et résistance lineique peuvent être, parfïis pour des raisons de simplicité, approliméesde telle manière à c e q u ' e l l e s o i e n t f a c i l e m e n t m a n i p u l a b l e sd a n s l e s c a l c u l s intermediaires.Les quatre domainesfréquentielssont ésumé comme suit: F r é q u e n c e s B a s s e s ( w = u l 2 ' 1 24 ) RHF = Rs - 4w8 45 3 t +rd (70) et Lsr-1_\l|1__13w8 Lo 270 (71) - FréquencesMoYennes(w= u lflT>2) Rttr=!+w+ Rs 4 3 64w (7z',) 57 et 3 Lsr'= 1 -3 Low 64w3 l28wa (73) Fréquencesélevées(w= u I z'[1>zo) RrF=l+* (74) R6 et LHr= I Ls (7s) Fréquences très élevées (w = u t 2'['>2 0 0) Rrr-w Ro (76) LHr= 1 (77) et Lo Dans toute l'étude en hautes fréquencesque nous effectuons est assez [18], seul est considéréle dernier cas où la fréquence du chapitre 2 soient valables.A èlevée pour que les approximations -la résistancecroît en racine cartée de la tempéraiure àmbiante, f r é q u e n c e e t I ' i n d u c t a n c ed é c r o î t s u i v a n t u n e l o i i n v e r s e m e n t proiortionnelle à cette même racine carrée comme le montrent les équations(76) et (77). Ainsi, le PrinciPede subdivisionest similaire à celui du modèle de simulationPSPiceque nous avons égalementutilisé et détaillé au chapitre 2. It est ainsi très importantde soulignerque, du fait des hautes fréquences introduites, la subdivision doit tenir compte de la et par conséquentun longueur d'ondes qui se trouve très diminuée'en basses fréquences noÀbrt de cellules beaucoup plus élevé' qu pour une descriptiond'une même longueurde câble. II est fort évident que pour le modèle des différences-finies, est faible et plus le résultats'améliore' plus le pas de discretisation 58 plus élevé' Néanmoins,la précisionnécessiteun coût beaucoup des paramètresque Le temps de calcul tf tu mémoirevive utile sont à optimiser voire à nous avons, Iors de notre étude, cherchés économiser. En figures 23 et 24 sont représentées,pour différentes que le modè}e longueurs de- câble, les attenuationset les déphasages purement des différences-finiesdonne utilisant, pour des raisons mêmes les comparatives avec le modèle de simulation PSpice, (capacité fonctions (résistanceet inductance),paramètresprimaires en I'occurence),et constantes(impédancede charge). - gso # ISOOmMDFHF-GT + 1@0mMDFI{F-GT .+ SO0mMDFHF-GT ct b20 Fréquence (MHz) 59 -zoo G \C) tr è0 q) H -4oo q) (t) c! È -Â^ô 4- 5OOM FDM HF-GT # 1OO0mFDMHF-GT # l5O0mFDMrf-GT Fréquence (MHz) Les résultatsdes simulationsPSpiceet la méthodedes pour mettre Différences- Finies Sont alors regroupéset superposés, en évidencela cohérencedes deux méthodes' plus commode Pour pouvoir comparerces deux modèles,il est phases Sur un de représenterles résultats des attenuationset des la superposition même repère pour des différenteslongueurs.Ainsi, aux figures 25' des résultas pour les bassesfréquencesnous mène phases' iO- 27 poui les attenuationset 28, 29 et 30 pour les ", exactes' Nous donnerons par la suite les valeurs numériques entre pour chaque fréquence,correspondantaux- différencesexistant numérique des les résultats aes simulationsPSpice et le modèle précedemment,la Différences Finies. comme noùr l'avons dit dont les difficulté de création en laboratoire d'un milieu au gradient caractéristiquesthermiques sont linéaire ou similaires il nous est de tempérâture existint dans la croûte terrestre, que chaque modèle impossible de connaître la précision absolue les écarts et upiort". Nous nous sommes contentés de comparer surtout les temps de calcul pour chaqueméthode' 60 16 Êe 1 4 4 500 m PSPice-GT 4 5OOmMDF-GT 12 E o 10 G' c) I 6 4 Fréquence (kHz) avec Gradient de Température 40 # 1000m PSPice4T 4ts 1000m MDF-GT ro v30 É o cÉ Ezo 100 Fréquence (kHz) Gradient Temoérature 6l - # 1500m PSPice-GT -....ff I500mMDF-GT 950 o Ë40 q) 20 100 10 Fréquence (kHz) .t) \q) b" -1oo o) E (D ct) |tt È -200 x * 50OmMDF-GT + 500m PSPice-GT -300 10 100 Fréquence (kHz) 62 0 -100 0 \€) tr ê0 c) q) o cg -200 -300 H -400 4ts 1000mMDF # 1000m PSPice 100 Fréquence (kHz) 0 -100 (t) \c) -200 L è0 q) -300 I €) -400 tt) cg -500 t -600 # 1500m MDF-GT * lSOOmPSPice-GT -700 100 Fréquence (kHz) Les résultats des s i m u l a t i o n sP S P i c e e t c e u x d u m o d è l e cohérence numérique sont, d'aPrèsles figures 25 et 26, en bonne 63 les |égèresdéviationsqui d'une manière génétale.Il reste à discuter dans le cas des ,*iri"n, pour i" déphasageet pour I'attenu.ation Rappellonsque ces relativementpetites iongueuts de câble coaxial' sur toute la différences .ori"rpond.it à des erreurs accumulées quasidu câble et que ces différencessont moindres ou i;;;";t négligeablespour I'unité de longueur' (Tableau I ) N o u s d o n n o n s to u t d'abord,au tableauci-dessous et de déphasage les rapPorts des temPS de calcul d'attenuation porté dans un même simultanément; cela veut dire que nous avons où nous avons programme le calcul de I'attenuationet du déphasage une instruction é c r i t , p o u r l e mo d è l e des différences finies, que nous comptabilisant le temPS total d'executiondu programme de sortie avons comParé avec celui donné dans le fichier BASSES.OUT. LongueurTotal(m) t(PSpice)/t(MDF) loi de Remarquonsen Tableau I la non linéarité de la le Phénomène croissancedes rapPortsdes temps de calcul qui régit régulier de de propagationde l'onde Pour un incrémentde longueur 500 m. Ainsi, l'écart relatif entre 500 et 1000 m est plus significatif ce qui que celui correspondantà lu transition 1000 à 1500 m; et de la slexplique par la non linéarité des équationsde l'attenuation que le nombre ptrase en fonction de la longueur L total ainsi et que le d'opération mathématique que le programme demande des temps coÂpitateur C et le simulateurPSpice gèrent.Le rapport 64 pour des longueursplus de calcul est, néanmoins,toujours croissant grandes. interne, Le programmePSpice,dans sa structurealgorithmlql"ou matricielles très gère lt man'ipute des équations algébriques et tensions dans un Sornpr"*rs -[8] où il calcul tous les courants Circuit en I'occurencequand il s'agit de connaître [""ii""tue d'entrée ou de l'attenuation,la phase ou les différentesimpédances séparèment)' sortie (il traite iarties réelles et parties imaginaires point pour Le programme en C que nous avons mis au n" tient compte que des rapports de modéliser cette propagation guère les courants' tensions seuleme^nt;ii ne calcul et ne traite au - éliminés puisque d'emblée, ceux-ci ont été mathématiquement par rapport preatàUteet par conséquentun temps de calcul optimisé de propagation au programme PSpice utilisé dans ce nouveau type des ondes électromagnétiques' les It est certes difficile voire quasi-impossiblede connaître avec la impédancesd'entrée et de sortie en fonction de la fréquence par contre, méthode des différences-finies.Le programme PSpice, n'est pas le but l,effectue sans aucune difficulté particulière;mais tel en vue de principal de cette étude des atienuationset des phases ses limites spécifier le câble coaxial RG58U et d'en énumerer que profondeur d'utilisation d'un point de vue tant fréquentiel maximale à laquelle il pourrait être immérgé' Dupointdevuequantitatif,nousavonsnoté,pourles attenuations différentes fréquenceS,les écarts entre les valeurs des reportés aux et des phasespour les deux modèlesque nous avons longueur de tableaux z et i. Ces valeurs sont donnèespour chaque câbte coaxial étudié. 65 Fréquence (kHz) ^A(dB) L=500m ^A(dB) l;1000 nt ^A(dB) L=1500m 10 0.403 0.245 0.080 20 0.411 0.253 0.088 30 0.4r7 0.259 0.094 40 0.424 0.266 0.101 50 0.43r 0.27r 0.107 60 0.439 0.279 0.115 70 0.447 0.287 0.r23 80 0.452 0.292 0.128 90 0.458 0.298 0.134 100 0.468 0.308 O.TM Fréquence. 66 LAIA(Vo) L=I5@ m tÀlA(Vo) L=500m LAIA(Vo) I;1000 m 10 6.83 1.60 0.285 20 6.66 1.59 0.304 30 6.27 1.54 0.309 40 5.79 t.47 0.3r2 50 5.27 1.36 0.306 60 4.75 r.27 0.301 70 4.27 t.r7 0.294 80 3.79 r.07 0.277 90 3.40 0.97 0.263 100 3.0s 0.90 Fréquence (kHz) 0.255 Tableau3 : Ecarts Relatifs  A/A (a ) pour Différentes Longueursde CâbleCoaxial.Modèle BassesFréquences' 67 Fréquence (kHz) ^o f) L=500m AO C) m L=1000 ^o c) L=1500nr r0 2.912 1.850 0.93s 20 3.112 2.050 r.135 30 3.3r2 2.250 1.335 40 3.5r2 2.450 1.535 s0 3.712 2.650 r.735 60 39r2 2.850 r.935 70 4.r12 3.050 2.035 80 4.5r2 3.450 2.435 90 4.9t2 3.850 2.835 100 5.3r2 4.250 Tableau4'Différencesdes Phasespour les Deux Modèl", à Différrnt.r Lon*ututt tn Fonttiondt lu Fréquence. 3.235 68 attenuations,entre les Les variations des écarts, pour les finies sont quasis i m u l a t i o n s e t l a m é t h o d e d e s d i f f é r e n c e sà noter aussi' d'après Il est régulièrescomme le montre le tableau2. écarts sont inversement i " i - r i g u r " , 2 5 , 2 6 e t 2 7, q u e t : ! total du câble étudié' Ainsi, la figure 25 ;;;p"fi;nnets à ta longueur prévue, puisque présente le plus d'ècart, chose normalement plus les approximations d,emblée,plus la longueur est faible et en fonction de la préalablementutilisées concernantle choix de Lz du modèle comme il iréquence deviennent moins représentatives de plus en plus est réellement défini. Les tnoàèl.t deviennent rapprochésdés que la longueur augmente' subdiviser la Nous aurions PU, pour améliorer les résultats, m au lieu de sa totalité du câble poui le cas L=500 m avec L,z=0.5 précisionnécessiteun valeur préalablementutilisée Lz-l m; mais la plus grands' temps a" calcul et une mémoirevive beaucoup les différences Les tableaux2 et 3 montrentque les écarts ou et dépendent des valeurs numériquescroient uuè. la fréquence même valeur de Lz ' évidemmentde la longueur du câble pour une probablementdûe Cette croissanceen fonction de la fréquenceest la loi qui le lie à la au choix de l'incrément Lz qui, du fait de câble et de la logueur fréquence,doit tenir compte de la longueurdu d'ondes. ( m oyenne Ainsi le tableau 2 pr ésente des écar ts m oyens arithmétique)de: - ÂA = 0.4350dB - ÂA = 0.2758dB -  A = 0 . 1 1 1 4d B Le tableau 4 arithmétique)de: - Âô = 3.4408o - Âô = 2.8710o -  ô = 1 . 9 1 5 0o pour pour pour L=500 m; L=1000m; L = 1 5 0 0m . présente des écarts moyens (moYenne po u r po u r pour L=500m; L=1000m; L = 1 5 0 0m . des deux Le tableau I montre les temps de calculs relatifs la méthode des méthodes illustrant ainsi le net auàntagt d'utiliser de la phase' différencesfinies poul le calcul de I'attenuationet 69 la non-linéaritéde la loi de croissance Ainsi, remarquons-nous des -incrémentsréguliers de des ,uppori, des i.tp. de calcul pour bien évidemmentdes 500 m de la iongurut totale. Ceia dépend et en qualité (i'e: type opàru,ionsalgébriqies de calc.ulen quantité extraction des àlpàtutions à executer, additions, multiplication, racines carrées,etc...). donnons en Pour la méthode des différences finies, nous instructions pour le annexes le fichier texte contenant toutes les des attenuationset calcul, tenant compte du modèle discret du câble, des phases aux différentesbassesfréquencesétudiées. la résistance Concernantle cas de la variation quadratiquede car le cas du en fonction de la températureest d'un interêt moindre par conséquent gradient linéaire est l; plus réellementrencontré,et Les résultats nous ne nous interesseronspas à son étude détaillé. finies sont en des simulationset de la méthode des différences gradient linéaire du bonne cohérence.Nous axerons l'étude sur le pour des fait de son importance et son utilisation pratique éventuellesétudes sismique ou autres' Examinonsà présentle cas des hautesfréquences,attenuations 500,1000 et e t d é p h a s a g e sp, o u t l e s d i f f é r e n t e sl o n g u e u r sd e 1500m. il est De la même manière concernantles bassesfréquences, câble, les plus clair de représenter,pour chaque longueur de àttenuationset phases séparément' différences Les résultatsdes simulationset de la méthodedes et en finies sont donnésen figures 31, 32, 33 pour les attenuations figures 34, 35, 36 Pour les Phases' 70 24 22 4r- 500m MDFHF-GT I 500m PSPiceHF-GT E 20 o 18 c! É €) 16 14 12 10 Fréquence (MHz) 7l 4I_l00OmMDFur.GT Êa 30 € # lOO0mPSPiceHF-GT 28 o Ë26 0ê.)24 22 Fréquence (dB) 34 - # I5O0mMDFIf-GT -+ 1500m PSPiceHF-GT ! 32 o 530 ct g2s Fréquence (MHz) 72 tt) \q) F o'roo e) q) (t) g -2oo T 4 500m PSPiceIIF-GT # 50OmFDMHF-GT Fréquence (MHz) 0 tt) \q) tr -100 è0 ê) -200 q) tâ ctt -300 Êr -400 + -# 1000m PSPiceHr-GT IO0OmFDMHF-GT 10 Fréquence(MHz) 73 .3 -2oo L èD .l - €oo -400 €) tt cg -500 É È -+r- 1500m PSpiceHF-GT 4 1500mFDMgf-GT Fréquence (MHz) L= 1500 m' en HF Figure 36: Phase=f(Fréquence)' L'étudecomparativedanscettegammedefréquences calcul' Ainsi, nous concernentégalementles rapports des temps de compte du temps illustrant ces ,upport, au tuùÈuo 5 où il est tenu et phase)' ( total de calcul iôu, un. longueurdonnée Attenuation LongueurTotal (m) t(PSpice)/t(MDF) Deux MéthodespourDifférentesLongueursde 74 au modèle des Ces écarts sont plus significatifs par rapport des o p é r a t i o n s d e c a l c u l s basses fréquences; PSpice effectue ( cf tableau 5) que la algébriquesplus complexeset plus longues méthodè des différencesfinies' R(Z) et L(Z) Notons égalementque I'introductiondes fonction opérations' dans le progru-ro" PSpice, tui fait effectuer d'énormes finies' par En revanche,pour le modèle numériquedes différences qui se traduit tout une bonne écriture du programmede calcul nous avons pu simplementpar I'optimisationde I'algorithmesource' font consommerdu diminuer les appets de fonctions complexesqui pour PSpice est temps et surtoui de la mémoire vive. La situation toutes les incontournable;il est indispensablede définir et déclarer fonctions. lors des Il est aussi très important de rappeler que PSpice, tensionsdans les simulations,calcule tous les courantset toutes les nécessitealors un différents noeudsdu circuits, et par conséquent,il du tableau 5 temps relativement long; comme les résultats I'illustrent et quantitativementle confirment. les deux Les résultats des attenuationset des phases poul donnons les modèles en hautes fréquencessont ainsi connues'Nous entre les deux écarts, en fonction d; la fréquence,des résultats et 8 pour' méthodes; résultats illustrés aux tableaux 6, 7, et les respectivementet pour différenteslongueurs,les attenuations phases. 75 Fréquence (MHz) ^A (dB) L=500m AA (dB) L=1000m ^A (dB) L=1500m I 0.294 0.182 0.087 2 0.304 0.r92 0.097 3 0.3r4 0.202 0.107 4 0.323 0.2rr 0.rl6 5 0.333 0.22r o.126 6 0.345 0.233 0.138 7 0.3s2 0.240 0.r45 8 0.3s9 0.247 0.r52 9 0.365 0.2s3 0.158 10 0.370 0.258 0.163 76 Fréquence (MHz) MA(q") L=500m LelNq") b1000 m Laleigo\ L=I500m 1 2.69 0.963 0.349 2 2.72 1.000 0.38s 3 2.69 r.020 0.4r7 4 2.62 1.038 0.440 5 2.52 1.043 0.463 6 2.42 1.048 0.488 7 2.27 r.022 0.492 8 2.12 0.991 0.49r 9 1,.96 09s3 0.517 10 r.73 0.879 0.461 Tableau7: EcartsRelatifs A/A (7o) pour Différentes ion*ueuts de Câble. Modèle des Hautes Fréquentes. 77 Fréquence (MHz) Âo(') I;500 m aQ (") L=1000m Âo(") L=1500m I r.852 0.824 0.511 2 2.252 r.024 0.611 3 2.652 1.224 0.711 4 2.952 1.424 0.811 0.911 5 3.352 1.624 6 3.752 2.024 7 4.052 2.224 1.111 8 4.452 2.424 t.2ll 9 4.852 2.624 1 . 3 1I 10 5.r52 2.824 1.011 t.4tr 78 dans ce cas Les valeurs moyennes( moyenne arithmétique) même principe dans le des hautesfréquencessont calculéei selon le d'estimer les écarts caS des bassesfréquences.Cela nous permettra donner une interprétationphysique à ces -Ày.n, et éventueliement avec la longueur valéurs qui, nous le verrons plus loin, décroîent totale du câble. (moyenne Ainsi le tableau 6 présente des écarts moyens arithmétique) de: - ^A = 0.3359dB - ^A = 0.2239dB - ^ A = 0 . 1 2 8 9d B Le tableau arithmétique) de: - Âô = 3.532" - Â(b= 1.824" - Â(D= 0.961 o pour pour pour pour pour pour L=500 m; L=1000m; L = 1 5 0 0m . présente des écarts moyens (moYenne L=500 m; L=1000 m; L = 1 5 0 0m . avec Remarquonsaussi,pour ce cas, que les écartsdiminuenf Il est fort évident que la longueur totale (phaseset attenuations). des pas de plus l; fréquences-élèueet plus on aura -. utiliser deux modèles subdivision beaucoup plus p.iitt pour rendre les approximatifs suffisamment représentatifs' Comme nous utilisons une gamme de fréquencerelativement - 100 kHzl dans laquelle rrès élevéepar rapport à la bande tto t H" a été en nous avons testé l; cohérencedes résultats,la subdivision pour que soient conséquenceétablie dans I'echelle centimétrique finies valables les appro*imationsdu modèle discret des différences de problème et du modèle àr simulation PSpice adaptéà ce type inhérent à la transmissionpar câble coaxial' cm pour Nous avons choisi un pas de discrétisationaz=10 utilisées' Ceci l'ensembledes trois longueursde câble préalablement de calcul et la était donc pour augmeiter la précisionf le -temps fait de la mémoire vive, par contre, s'avèreront altérés du introduisantdes fonctionsR(Z) et L(Z) qui, complexitédes'op'érations la gamme de a priori, ne ,ont pu, forcémentlinéaires,et surtoutde nécessiteune iréqurn., diminuani la longueur d'ondeset de ce fait plus hautes subdivision la plus affinée que possible. Pour de puisque la iiéqorn.rr, il 6t plus utile d;utiliier le système VMS 79 de gestion de la mémoire v i v e e s t p l u s adaptée quand le nombre cellules augmente; nous nous trouvolls ainsi lim ité en fr équences. Il est important de pouvoir modéliserla propagationdes ondes plongé dans le long d'un câble multi-conducteur électromagnétiques un gradient linéaire de température,vu la nécessitéet I'importance d'exéiter les circuits électriquesconstituant les capteurs de divers types (ultrasons,rayons X, rayons T, etc"') afin de pouvoir caractériseret étudier le sol terrestre. Ainsi, I'approchethéorique,dans ceS conditions,s'avère encore d e p l u s e n p i u s c o m p l e x e , i n t r o d u i s a n td e s c a l c u l s m a t r i c i e l s fastidieux, car, chaquebrin conducteurreprésenteun " mode propre de propagation"; ei, plus on ajoute des brins conducteurset plus la matrice de l'équation aux vecteurs propres augmente' avec' naturellemnt, dei dérivées premières par rapport à la variable longitudinale de la résistanceainsi que les couplagescapacitifs et mafnétiques.Analytiquementparlant, la résolution du problème fait certainementappel à des calculs très complexes' Néanmoins,nous donnons I'idée général de traitementde ce cas complexe en partant tout d'abord de la modélisation à températureambiante et en Se basant Sur les travaux antérieurs inhérents à la transmissionpar câble multi-conducteur. L'étude effectuéepar J.R.WAIT t331,t341,concerneun calcul approximatif, après plusieurs calculs analytiquesrigoureux, de la .à-porunt" axiâle du champ électriqueproduit par un brin isolé et localisé comme I'indiquela figure 37. L'auteur utilise une hypothèsetrès simplificative dans laquelle il supposeque la conductivitéde I'armureest infinie, hypothèsequi, d'aillèurs, simplifie les calculs et mène à un formalisme fort simple de la composanteaxiale du champ électrique.Celle-ci permettrapar la suite, en appliquant les conditions aux limites de la surface du diélectrique conitituant le brin conducteur(cf figure 37), d'établir la forme analytique de l'atténuationen fonction de la fréquence' 80 Propagation m(Ô-Ôo)l - i,>.ê-n'#rl' r,*'ffil t'(vp)I'(vp)cos =-;jffi--,"JKo(vr) E,(p,0,2) 2do+jeco) avec êo=lÊr = 2 Pourm=1,2,3"' (78) 8l "--r[æ ,t< T = {ittoco(o+Jeo) ,=@ géométiques' après de multiples simplifications(considérations quasi-statiquese , tc...), gamme de fréquence pour les modes Ï.n.wntr aboutit au résultat suivant: E,(p,Q,z)=uîff{^+"]Qs) où les fonctions À et Q sont définiesPar: n=h(al-r<P.l (80) et Ç)= ,j*uL ( 81) avec p"=# et (o-Ôo) r" = {pt+P2-2PP.cos Ilestàprésentclairquel'équation(81)Sesimplifie,e[ la forme: supposantque le module de |e'a est infini' sous * t,Ë,(Ë[."'m(o-<Do)] o= fitr (82) étudié le cas qui est aisèmentcalculableet exploitable.Nous avons mais finie' Le calcul où la conductivitéde I'armure tti très grande fait appel à un calcul est déveloPPéen référencet35l où nous âvions variable complexe' symbolique rigoureux basé sur la théorie de la 82 I l e s t b i e n é v i d e n t g U g , p o u r u n e r é p a r t i t i o m u l t i - Nous ferons encoreplus complexe' conducteurs, fe- froblème devient généraliséeaux valeurs propres aDDelà la résolution de l'équation dànnée en référence l29l' la notion de Notons que, pour introduire quantitativement de I'ensembleimporte brins multi-conducteurs,le mode d'excitation de la distribution des champs beaucoupquant à la connaissance m a g n é t i q u e s e t é l e c t r i q u e s p r o d u i t s p a r l a s u p e r p o s i tci oonnddeuscftiel su r s ' du nombre de c o n d u c t e u r s .A i n s i , l a c o n n a i s s a n c e géométrique g é n é r a l e m e n tà i s p o s é s s u i v a n t u n e c o n f i g u r a t i o n le schéma d'établir symétrique et du mode d'excitation, permet à une seule' équivalent de l'ensemblede ligne multi-conducteurs générale' simple et uniqueligne R, L, C, G de manière et mettre en ce schéma équivalent permet de modéliser le long de équations la propagàtion de i'onde électromagnétique l'Ënsemblede la structureen question' Lepassagedelalignemulti-brinsàSonéquivalentenmonoen tenant compte de tous _les types de -couplages s,effectue brin par couplages,les entre conducteurs(diaphonie).Nous entendons brin' couplagesinductifs et capacitifsentre chaque aux couPlages, A tous ces ProblèmescomPlexesspécifiques dans lequel vient se superposerle gradient linéaire de température la totalité de la structureest plongée' équivalent est Le problème Se résout, une fois que le modèle (i'e: PSpice ou la établi, par les mêmes proceduresqu'auparavant MDF). Dansl,hypothèseducâblecoaxialplongédansunmilieu o ùla la de fonction en linéairement et températurevarie progressivement de transmission peut distance longitudinuttl la théorie des lignes mais moyennant fournir, qorlqu" soit le domaine fréquentiel sur la loi linèaire de variation de la certaines approximations '1", équations de base qui régissent la propagation' ir,,,perr,ur", pioblème nous a' semblé Néanmoins,la résolution mathématiquédu donné de très fastidieuse;un calcul approchéiimple, numérique, de simulation' bons résultatsen comparairon-uut.le modèle 83 E n é t u d i a n t , d a n s u n p r e m i e r t e m p s ' l a p r o p a g a t i o n - d coaxial' esondes ou du mode TEM fréquences bassei en électromagnétiques en imposant à la nous avons rappelé l'équation Oés télégraphistes distance'linéaire' de la résistanceune fôi de c.ôirsun.e,en fonètion de distribution nonNous avons aussi étudié un cas particulier la distance' laquelle linéaire de la température en fonction de du premier ordre, distribution, aprèJ une approximation correspondraau cas linéaire' seulement'des une étude, dans le cas du gradient linéaire pellicula-ire -puisse' hautes fréquences telles que .l'effet étê effectuée pour analytiquement,être indroduit a également pour les basses déterminer attenuations et phases comme fréquences. Bessel dont A I'aide des approximationsdes fonctions de et I'inductancelineiques,nous avons calculé dépendentla résistancèpour le. cas du les nouveauxparamètres,usuellementdits répartis, moyennant des approximations !àOi"nr linéaire de température, forme et de la structure ippropriées tenant compte de la et de sa section droite en I'occurence !'eà."triqur du câble .oaiiul Iinsi quj du domaine fréquentielétudié' appliqué' Dans les deux domaines fréquentiels,nous avons tiques p o u r m o d è l i s e r l a p r o p a g a t i o n â . s o n d e s é l e c t r o m a g n énous que méthode continues, la méthode dès différencesfinies, qui est celui du particulier avons développéeet adaptéeà ce cas température, et un câble coaxial' plongé dàns un gradient de " le câble réel progrurrn. PSpice permellantdonc de " remplacer tenant compte de par une série ïe quadripôlesen cascades,chacun la disPersionsPaciale. ainsi que L'avantage de calculer directementles attenuations temps de calcul' l e s p h a s e s , r é d u i t c o n s i d é r a b l e m e n tl e pu prendre comme contrairement à ce que le programme aurait courantset tensions temps de calcul si I'on avait ïetérmine tous les du modèle des utilisant les équations récurrentesqui découlent gain en mémoire fort différences finies; cela a été aussl un important. une bonne Les résultats ont montré, de manière globale, par le programme cohérenceentre valeur calculée et valeur simulée que nous avons étudiés' PSpice pour les deux domainesfréquentiels 84 plus La méthode des différencesfinies ainsi appliquées'avère économiqueque ce rapide, vue les résultats,et par conséquentplus ,oit .n bassesou en hautesfréquences' Il faut égalementsouligner,vu les résultatsdonnés pour une loi parabotiqu" d" croissancede la températureen fonction de la demeure tout a fait distince, qu; 'à la méthode est aussi valable et applicabie condition que les fonctions introduites(ex: polynomiale, etc...) ne présententpas de points singuliers pour nï-ogtaphique, ^ que lesquJls tes équations récurrentesdu modèle numérique ainsi celui de la simulationdivergent' Il est égalementfort utile de noter que ces deux modèles' vu les équations de propagationqui le régissent,pourrait aussi se généraliserpour d'autrestype de ligne' Ainsi, les lignes microrubanspar exemplepeuvent faire l'objet d,une étude similaire à celle qui a été effectué à présent pour les caracteriser dans le gradient de température. Les paramètres réparties de la ligne microruban, à températureambiante, sont totalement connus. Il ne restera plus qu'à faire des approximations analoguesà celles du câble coaxial déjà étudié mais tenant compte de la différente géometrie de la ligne par rapport au câble coaxial (notamment la iection droite des conducteurs qui n'est plus circulaire ou en couronnecirculaire comme pour le câble coaxial). D ' a u t r e s t y -p e s d e l i g n e s p e u v e n t t r o u v e r d e p a r e i l s applications;maii les seules paramètresqui doivent être pris en cônsidérationsont la mémoire vive et surtout le temps de calcul s'il pour les s'agit d'utiliser des pas de subdivisionde plus en plus fins, trèi hautes fréquences(guides d'ondes,lignes microrubans,etc...), par exemPle. Certaines applicationspeuvent faire appel à une transmission nécessitentune étude théorique très par câble multi-Conducteurs pareils milieux à gradient de iourrer de la diaphonie dans de à iempérature linéaire ou autres. D'autres type d'équations sont qui se en I'occurence .onlid.rrr, le couplage électromagnétique de traduit par I'introduction,dans les équations des télégraphistes' de mutuelle inductance et de fonctions et termes supplémentaires la couplages capacitifs eniie les différents conducteursconstituant lignè Oe transmissionde manière globale' Ainsi, d'autres nouvelles considérationssont à tenir compte plus notamment la complexité du passagedu modèle réel, encore (matrices' compliqué et néceisitantun calcul analytique vectoriel 85 d i a g o n a l i s a t i o ne, t c . . . ) t r è s f a s t i d i e u x , â u m o d è l e n u m é r i q u e o u disJret. Pour PSpice, il conviendraitde remplacerla ligne multiconducteurspar un modèle d'équivalenced'une seule ligne dont les "paramètresprimaires" ne seraient autres qu'une combinaison des paramètresde chaquecâbte de la ligne pris séparèment. La méthode des différencesfinies demeure valable dans ce cas cOmmenous l'avons mentiOnnéau préciS; Seulesles "Singularités", préalable,sont à éviter. 86 Chapitre 3 ApPlication de la Méthode des Différe-nces Finies à la Détection dtune Irrégularité Thermique le long dtun Câble Coaxial Introd uction eSt De toutes les grandeurs physiques, la température plus fréquente car certainementI'une de ..il"t dont la mesureest la la matière, que elle détermine des variations sur des propriétésde gaz pa1 exemple)' ce soit de façon continue(pressionou volume d'un de phase ou points de Curie ou de façon discontinue(ôhangements magnétiquesou ferroélectriques)[36]' cependant affecter une valeur numérique à une température grandeurs pose un problème de fond. En effet, la plupart des à physiques peuvent être numériquementdéfinies par leur rapport grandeurs irné grandeur de même nature prise poll référence.Ces aisé' du moins sont dites extensivescar à partir de la référenceil est de définir des multiples ou des sous-multiples' conceptuellement, grandeurdite Cela n'est pas l; cas pour la températurequi est une pas, a priori' de intensive: multiplier ou dioit.t un. températuren'a signification physique évidente' et de Du nombre important de propriétés de la matière une phénomènes physiquËs sensibles à la température résulte grande diversité de méthodesde mesure: du - méthodes optiques basées sur la répartition _ spectrale l'effet par rayonnementémis ou i'élargissementde raies spectrales Dôppler dû à I'agitationthermiquet37l; - méthodesmécaniquesfondées sur la dilatation d'un solide' la pression d'une d'un liquide ou d'un gaz à pressionconstante'Sur vapeur saturanteou sur la cêl&itê du son [38J' t39]; - méthode électrique reposant sur la variation thermique t40l fond, ou sur la de la valeur de la résistanceou de son bruit de d'un quartz, sensibilité thermique t41l de la fréquenced'oscillation etc... 87 L e s m é t h o d e s o p t i q u e s o u a c o u s t i q u e sq u i s ' a p p u i e n t s u r I'observationextérieured'une propriété du milieu dont on mesure la température n'apportent à celle-ci aucune perturbatioll; leur domained'emploiest cependantlimité et leur mise en oeuvre d'une certaine complexité;les méthodesélectriquespar contre,sontd'une grande généralité,d'une mise en oeuvre relativement simple mais I'interaction réciproque du capteur et du milieu environnant pose souvent, lorsque la mesure doit être précise, un délicat problème d'évaluationet de minimisationde l'écart entre la températureà mesureret celle effectivementmesuréequi est celle du capteur. Il existe différents types de capteurs de température;chacun utilise un principe physiquedonné liant la températureà mesurer avec précision et la grandeur physique qui, directement ou indirectement,dépend de cette température. Ainsi, la grandeurphysique peut être une résistancequi, par Sa mesure, nous donne un ordre de grandeur Sur la température. Dans ce cas, on fait généralementusage de thermistancesdont le principe physique liant résistanceet températurepeut être résumé par une équationde la forme: R = A*exp(B/T) où A et B sont des constanteset T la températureen degrés Kelvin l42lt43). Pour que cette loi soit directementet facilement exploitable, on S'arrangeà linéariser R(T) car la fonction exp(B/T) est hautementnon linéaire pour les relativementbassestempératures. La grandeurphysiquepeut être égalementun signal optique transmis ou réfléchi d'une fibre optique véhiculantle signal à la paraffine par exemple [44),145],[46] méthode de mesure dont le principe physique utilisé est la grande variation du coefficient de diffusion optique de la lumière par un matériau lorsque celui-ci change de phase.La grandeurphysiquepeut être tout simplement un courant ou une tension électriqueutilisant un montage approprié et adéquat pour " extraire " la température. Nous étudions dans ce chapitre une méthode de mesure précise et reproductible de température d'un domaine restreint appartenantà un milieu où la températureest supposéeconstante. Nous savonsd'ores et déjà que lorsqu'uneligne homogènen'est pas terminée sur son impédancecaractéristique,des réflexions se produisent à I'extremité. Des réflexions se produisentégalementchaquefois qu'il existe en ligne des défauts d'uniformité tels que variation de la capacité lineiQue, défaut d'isolement,changementlocal de I'inductanceet la 88 résistancelineïques.Le défaut se traduit en effet par le fait qu'au point A de changementde caractéristique(cf figure 38), I'impédance Z, vue vers la droite d u point A, n' est plus égale à I' impédance caractéristique Uzl de l a section de câble située à gauche de ce point. Al d'Onde Propagation Le paramètre primaire que nous avons jugé utile de "perturber" est la résistancelineïque, car celle-ci est linéairement liée à la températuredu défaut thermique(cf équation(1)). Plusieurs études antérieures[47], [48], t49l se sont penchées sur le problème de la détection, la localisationet le calcul de l'impédanceramenéedu défaut; mais nulle étude ne s'est intéressée à une tetle mesure de température utilisant les propriétés électriquesintrinsèquesdes lignes de transmission. La méthodede mesureque nous avons développéese base sur I'application de la méthode des différences finies préalablement appliquée au câble coaxial en considérantconstantela température le long de tout le câble excepté pour une faible portion d'une longueur déterminée. Pour ne pas rentrer dans les considérationscomplexes de I'effet pelliculaire, nous avons exploité simplement le domaine restreint des bassesfréquences. Par une mesure directe de I'attenuationou du gain, entre a u t r e s , n o u s c a l c u l o n s , u t i l i s a n t l e s é q u a t i o n s. r é c u r r e n t e sd e s 89 rapports des tensions le long du câble, le module de la fonction de f f a n s f e rt d u q u a d ri p ô l e r epr ésentant le défaut ther mique ou d e manière générale I'irrégularité. Notons qu'au préalable, la distance du défaut au générateur ainsi que son extensionsont connues.La résistanceest supposée constantelocalementet sa variation généralele long de la ligne est illustrée en figure 38 où elle varie suivant une fonction en échelon et dont la valeur maximaleest 4 priori inconnue. Le but est donc de determinersa valeur; valeur à partir de laquelle, de manière indirecte, nous accédonsà la température.La méthode de mesure ainsi élaborée fait partie des méthodes indirectes puisque c'eSt I'attenuationd'abord que nous mesurons; grandeur dont découlera, suivant un calcul que nous allons développer,la valeur de la résistancedont dépend linéairementla température recherchée. Les équationsde récurrenceliant Ie gain total du câble coaxial aux modules des rapports des tensions aux interfaces des quadripôles élémentairespermettent de solutionner le problème donnant ainsi une très bonne précision quant au calcul de Ia température t501. Nous avons utilisé le câble coaxial alimentépar un générateur de signaux alternatifs de très faible puissanceet par conséquent, nous n'avonspas étudié le cas de I'onderéfléchie. La puissanceabsorbéepar une charge de 50 ç), lorsque la tensiond'entréeest de I V (tensionen charge),est de 20 mW. Ce qui montre effectivementque le niveau de puissanceest trop insuffisant pour pouvoir établir des mesuresen ondes réfléchies car il existe une très faible désadaptationdu fait que seulementune partie du câble est immergéedans de I'eau relativementchaude. 3- 2 - D é t e c t i o n e t transmission I o c a l is a t i o n d e s d é f au t s en l i e n es de Le problèmede la détection, de la mesureet de la localisation en général,a d'une imperfectionle long d'une ligne de transrnission, étê traité par plusieurs méthodesnotammentréflectometriques. - Méthode de localisation d'un PINTELON et L. VAN BIESEN I48l défaut en liene de R. 90 Dans leur article [48], R. PINTELONet L. VAN BIESEN utilisent pour détecteret surtout localiser un une méthode réflectométrique Le principe est d'utiliser le défaut dans une ligne de transmission. pour calculer avec une grande calcul opérationnel de Laplace précisionle signal réfléchi par le câble coaxial présentantun défaut en ligne. Le schémade principeest illustré ci-dessous: zr e(r) ",rrî ) deLongueurz Le câble coaxial représentant un défaut en ligne est, idéalement, représenté par un tronçon de ligne homogène d'impédance caractéristique Zç de longueur z (cf figure II) chargée quelconque, différ ente de I' impédanc e p a r u n e i mp é d a n ce Z f itérative, qui traduit l'irregularité. Les auteurs écrivent la fonction de transfert entre I'excitation (impulsionnnelle) x(t) et la première réflexion y(t), observées toutes les deux à I'entrée de la ligne de transmission.Ils établissentalors la relation: T(p) = - (1+pe )pytzv (Eq-xx) 9r où Y(p) et X(p) sont respectivementles transforméesde Laplace de y(t) et x(t). Les coefficients de réflexion p g e t p L ( i = g o u L ) s o n t d o n n ée s p a r: pi= Zr(p) Zc@) Zt@)+ Zc(p) (Eq-XXI) L'équation de la transforméede Laplace est ainsi exploitable pour connaître avec une très bonne précision la réponsequi, à partir de sa dépendancedu temps de propagationou de retard r , nous permet de remonterà z la coordonnéedu défaut. Les auteurs soulignent que cette méthode, contrairementà d ' a u t r e s m é t h o d e s c e p s t r a l e s p a r e x e m p l e [ 51 ] , a u t o r i s e u n e précision de localisation du défaut en ligne complètement indépendantede l'impédance du défaut lui même. Cependant,les a u t e u r s a j o u t e n t q u e l a s i m p l e c o n n a i s s a n c ed e l a v i t e s s e d e propagation issue de la mesure du temps de retard ou de propagation r, permetde localiserle défaut en ligne. Malgré la rigueur et la précision de la méthode,celle-ci ne permet paS, de façon effective, de mesurer la températured'une éventuellesingularitéen ligne dûe à un échauffementlocal. E n r é f é r e n c e 1 . 4 7 1 ,P . F . G A L E u t i l i s e a u s s i u n e m é t h o d e pas à sa impulsionnellepour localiser le défaut, mais ne S'interesse longueur ou caractérisation(température,constante diélectrique, extension,etc...). Il utilise une méthode très similaire à celle citée précédemment. 3-3- Formulation Mathématique de la f d e M e s u r e d e T e m o é r a t ue Méthode Indirecte Les équationsaux différencesfinies sont les mêmes utilisées pour le cas du gradient de température;la seule et principale différenceest la " fonction résistance" qui, au lieu de varier, pour les basses fréquencebien évidemment,suivant la loi R(z)-a+b.2, varie comme une fonction en escaliertelle que: R(z)=Rur6 pour 0 < z < ( M - l ) . L , 2 o u M .  z< z < L i et R(z)=ft* (inconnue) pour (M-l).Lz<zSM.Lz Pour des raisons de simplicité d'utilisation de la méthode des différencesfinies, nous choisissonsun pas de discrétisationégale à la 92 il l o n g u eu r d u d é fa u t th e rmique. Pour des défauts a s s e z l o n g s , pour que les . o n - u i " n t d 'u ti l i se r d e s câbles coaxiaux plus longs a p p r o xi ma ti o n s re ste n t va lables. (M-1)Âz de la DistanceZ. Nous réécrivons les équations récurrentesdes rapports des tensionsou fonctions de transfert.sde chaque quadripôleconnaissant tous les paramètresprimaires de chaque quadripôle élémentaire excéptéc"u* du quadripôlesujet au défaut thermique.Seules sont connues, pour celui-ci, la capacité et I'inductancesupposéesles pour le reste du câbte. La conductanceest également mêmes que -puisque nous avons supposéparfait le diélectriquecontenu négligée entre les conducteursinterne et externe. Rappelonsles équations(44) et (45) utilisées au Chapitre 3, équationsà partir desquellesnous calculonsle module de la fonction de transfert du quadripôle du défaut thermique' Ainsi, nous écrivons, tenant compte de I'irrégularité localisée entre (M-l).Lz et M.Â2, l'équationdu gain total sousla forme : VN-l Vo M+l TI i=N *t#t,#.,ffr (83) 93 Equation contenant, sous forme de rapport' le terme à I'irrégularité thermique que présente le c â b l e "orr"rpôndant coaxial. Cependant,les deux produits finis de part et d'autre de ce les terme d; défaut thermique sont connus puisqu'ils représentent deux parties restantesd; câble où la températureest uniformément distribuée. Ainsi, il est jugé utile de rappelerl'équation gên&ale (54)' car finis celle-ci est tupprtei chaque fois que les deux produits préalablementcités sont à calculer. Nous écrivons,en revanche,pour les modulesde chaque terme intervenantdans (83): (l +LCa2 n zZ)L+ (FqM-lC a n z2)' (84) t )2 (l+Ry- lGyLz)2+(LcoG1 Le module de la fonction de transfert du défaut thermique gain donné par (84) peut être aisémentcalculé si l'attenuationou le est total(e) est connu(e).Remarquonsalors que la résistanceRtvt-I simplementextraite de cette même équation (84)' D u p o i n t d e v u e e x p é r i m e n t a l ,I ' a t t e n u a t i o ne S t l e s e u l paramètret mesurer,ce qui tèstetu par la suite est le calcul, suivant la ie modèle des différencèsfinies ainsi élaboré, du module de fonction de transfertdu défaut suivant l'équation suivante: lel (85) P(I).P(III) ou le module de g, lgl, représente le gain total mesuré entre I'entrée et la sortie, aux bornes de I'imPédancede charge: H=lvÀl 'v' lvol (86) 94 Les produitsfinis donnésen (85) ne sont autresque les termes est représentant les régions (cf figure 39) où la température uniformèment réPartie et sont donnés par: P(III) = M+l (87) ,* et 1 (88) P(I)= II i=M-l Region(I) tl lél r.5 r&l è0 | ZL Region(IID tl (M-1).^z M.Âz desDifférentesRégions Figure40: Représentation du CâbleCoaxialEtudié. La résistancedu défaut thermique, paramètre recherché, est (84)' alnsl totalementconnue; nous écrivons alors sa valeur, d'après de la forme: Ru-t --r?oo (8e) ^"G?r4;c2a2u2) 95 ou gM= k1 = l+LCcoTnzL (e0) (e1) et kz = LroGYLz (e2) La températuredu défaut ou de I'irrégularité thermique que p o u r a i t p r é s è n t e r u n m i l i e u q u e l c o n q u ee s t a l o r s c o n n u e e n petites àppliquant la formule générale pour les relativement s: température R(t"C) = Ramb.[1+ct.(toC-t..uoC)] (e3) o c - l p o u r l e c u i v r e ,e t R a m b n ' e s t a u t r e q u e l a où a=4.166e-3 de résistance totale des conducteursinterne et externe formés cuivre à températureambiante. La températureest alors aisèment determinéeutilisant (93): = r.nboC.*fffi-tl roC (e4) Les résultatsainsi que la description du dispositif de mesure expérimentalesont détaillés au prochain paragraphe. 3-4- Résultats Le dispositif expérimentalest constituédes élémentssuivants: - Un câble coaxial du type RG58U de 100 m de longueur,chargé pat son impédancecaractéristiquede 50 A; - Un générateurde fonction HP 8116A, synthétisantdes signaux en ondes continuesou pulséesdont la fréquencepeut atteindre 50 MHz; - Une résistancepour le chauffagede I'eau (BIOBLOCK SCIENTIFIC' pOLySTAT II pipCrnONIC) dans laquelleune partie du câble coaxial est sujette aux variations de température;cette résistance est de température' La .o*rnu"ndé" par un Systèmed'asservisSement 96 t e m p é r a t u r e d e l ' e a u p e uoC; tvarierdel0àl00oC,avecune 1 0' de inceititudeabsolue -UnoscilloscopeéchantillonneurHP5450lA,permettantdes fréquences'Sa mesures très préôisesdes attenuationsà différentes avec' en plus de fïJàurn.. de balayagepeut atteidre les 100 MHz, digitale temps réel l,affichage des tru.tt d.t signaux, un affichage des tensionsavec une erreur absoluede 0'1 mV; - un thermomètre numérique à base du circuit intégré LM35 températures' utilisant la sensibilitéde celui-ci aux variationsde Lecircuitintégré,alimentéenV+etGND,nouSpermet la température d'obtenir en sortie une tension proportionnelleà avec une dYnamiquede 10 mV/"C' laboratoire Le dispositif de mesure précise a été monté en peut être pour l'utiliser comme thermomèireétalon. La température oc. Le schémade son circuit électriquesimplifié mesuréede 2 à 150 est donnéen figure 41. où Les détails et précisionstechniquessont donnésen annexes sont illustrés les schémasdes circuits électriques' Charge LM35 hauteimpédance Capacitive Le câble coaxial de 100 m de long a été PartiellementPlongé décrite' La dans I'eau chauffée grâce à la résistancepréalablement 97 partie immergée est de I m d e l o n g . L' oscilloscope per m et de mesurer les tensions en entr ée et en sor tie avec une excellente précision. 80 70 U o60 c.) L =50 cg tr '9 40 é30 E- 20 I 10 0,0 t 0,2 0,4 E MDFTemperature a MesuréeThermomèlre 0,6 0,8 Atténuation Mesurée (dB) 1,0 98 70 (J o60 q) L =50 L '9 Er ;. r. 40 n 30 n n n n n n n n O MDFTemffrature n 20 A o,o 0,2 0,4 Thermomètre Mesurée 0,6 0,8 A t t é n u a t i o nM e s u r é e ( d n 1 80 70 (J o q) L 60 50 6l li \q) Ê €) F 40 30 20 10 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Atténuation M e s u r é e ( d B ) Ainsi, les résultats des mesureset de la méthode des différences finies donnent tous les mêmespetits écartscomme il est illustré en figures 42, 43 et 44 pour différentes positions du défaut 99 t h e r m i q u e p a r r a p p o r t a u g é n é r a t e u r ;i l e s t a l o r s i n u t i l e d e réeffectuer ces mesures pour des distances intermediaires car les explications relatives,au fait que la partie à droite du défaut peut êtie tout simplement remplacée par l'impédance caractéristique Zc=50 ç2, sont largementsuffisantes. Une constatation fort importante à souligner est le fait que la l o i d e va ri a ti o n d e I'a ttenuation m esur ée en fonction de la température soit linéaire facilitera l'étalonnage du nouveau type de "capteur" de température ainsi élaboré. Notons aussi que le modèle concerne des fréquences et des t e m p é ra tu re s re l a ti ve me n t basses car , expér imentalem ent, nou s a v o n s p l o n g é l a p a rti e concer née du câble dans de I' eau et par c o n s é q u e n t l a te mp é ra tu r e ne doit pas dépasser la tem pér ature d ' é b u l i ti o n d e I'e a u ; q u a nt aux fr équences, elles ne doivent pas dépasser la limite imposée par les approximations des fonctions de B e s s el (cf é q u a ti o n (7 0 )). Etant donné que les r ésultats sont le s m ê m e s p o u r n 'i mp o rte q uelle distance du génér ateur au défaut, nous avons jugé utile de donner, Sous forme de tableau, et, pour de plus amples précisions, ces écarts, quoique très faibles, entre valeurs réellement ou directement mesurées grâce au thermomètre digitale e t c e ll e s i n d i re cte me n t mesur ées par le biais de I' attenuation en appliquant la méthode des différences finies. 100 Attén. [empérature Mesurée Mesurée (dB) ('c) Température Calculée MDF ('c) Ecarts de Température ATIT(Vo) ('c) 0.915 75.80 76.335 0.535 0.705 0.819 69.25 69.8s5 0.605 0.873 0.724 62.99 63.585 0.595 0.944 0.630 56.98 57.517 0.537 0.942 0.537 51.10 51.624 0.524 L.025 0.445 45.50 45.951 0.451 0.991 0.354 38.80 40.437 0.637 I.641 0.264 34.60 35.092 0.492 L.421 0.175 29.41 29.911 0.441 L.496 0.087 24.30 24.886 0.s86 2.411 0.043 21.90 22.430 0.500 2.283 0.000 19.50 20.014 0.514 2.635 Il est ainsi clair, d'un point de vue quantitatif,que ces écarts, entre valeur mesurée et valeur calculée selon le modèle numérique établi, sont effectivementtrès faibles et par conséquent la méthode des différences finies s'avère efficace et surtout précise dans ce cas de mesurede température. 3-5- Extension ou limite de fonctionnement 101 Il est bien évident que la sensibilitédes appareilsde mesure thermomètredigital) joue un rôle très (oscilloscopeéchantionneur, important quant à I'appréciation de la température du défaut thermique. Ainsi, nous sommes confrontésà deux types de problèmes: d'une part le modèle des différencesfinies, comme la plupart des modèles numériques,impose une subdivision la plus affinée que possible; et d'autre part, les appareilsde mesure, du fait de la limitation de leur sensibilité, demandent un minimum d'échauffementde la partie immergée. D a n s c e p a r a g r a p h e ,n o u s é t u d i o n s , d ' a p r è s l e s r e l e v é s expérimentauxde mesure de température,les limites de validité de la méthode des différencesfinies compte tenu des limites extrêmes de sensibilitédes appareilsde mesure,I'oscilloscopeéchantionneur en occurence car la mesure au thermomètre digital s'effectue de façon directe et est considéréecomme mesure de référence.Ainsi, nous avons effectué des mesuresde températureen utilisant des longueurs plus petites que I m afin de determiner de façon expérimentaleles limites de validité de cette mesure.Des longueurs de 20, 25 et 50 cm ont été priseset les résultatssont donnés,comme pour le cas de I m, sous forme de courbe Température-Atténuation ét de tableaux Atténuation mesurée-Ecartde température (La longueur du générateurà I'irrégularitéest prise égale à L1=90 cm pour une même longueurde câble de 100 m que nous avons préalablementutilisé): r02 80 70 O o o) 60 50 L cÉ 40 li \q) 30 (u F #l- MDFTempérature(0.5m) # MesuréeThermomètre 20 10 0,0 0,1 0,2 0,4 0,3 0,5 Atténuation Mesurée (dB) Lonsueur de Défaut=50cm 80 70 (j o 60 q) L 50 cll L 40 \€!) Ê tr é) F 30 20 10 0,0 * MDFTempérature(0.25m) -ù Mesurée Thermomètre 0,1 0,2 Atténuation Mesurée (dB) 0,3 103 o 940 cÉ L \O) 320 q) F * MDFTemPérature(0.2m) * Mesurée Thermomètre o, 2 0,3 Atténuation Mesurée (dB) No u s d o n n o n s é g a l em ent les tableaux repésentant les écarts de températures par les deux méthodes, pour chaque cas. r04 Attén. fempérature Mesurée Mesurée (dB) ("c) Température Calculée MDF ("c) Ecarts de Température LTIT (7o) ('c) 0.451 75.80 77.000 1.200 1.583 0.207 69.25 70.100 0.850 t.227 0.367 62.99 64.300 1.310 2.070 0.315 56.98 58.120 I.140 2.000 0.268 51.10 52.300 1.200 2.348 0.225 45.50 47.000 1.s05 3.307 0.177 38.80 40.500 1.700 4.381 0.135 34.60 36.000 1.400 4.046 0.880 29.16 30.s00 1.335 4.578 0.045 24.30 25.780 1.480 6.090 0.027 21.82 23.510 1.690 7.745 0.000 19.50 21.030 1.530 7.846 Âz = 50cm 105 Attén. Mesurée (dB1 lempérature Mesurée ('c) Température Calculée MDF (oc) Ecarts de Température LTIT (7o) ('c) 0.227 75.80 79.000 3.200 4.221 0.110 69.30 72.100 2.800 4.040 0.187 62.99 66.600 3.610 5.731 0.160 s6.98 60.000 3.020 5.300 0.135 51.10 55.100 4.000 7.827 0.114 45.50 49.500 4.000 8.79L 0.090 38.80 43.500 4.700 t2.tt3 0.070 34.60 38.250 3.650 10.549 0.05r 29.16 32.700 3.230 LL.076 0.028 24.30 27.900 3.600 L4.814 0.016 21.93 2s.000 3.070 t3.999 0.000 19.50 24.100 4.600 23.589 Tableau11: Ecarts ente la Mesure Directe de la Lz = 25cm 106 Attén. fempérature Mesurée Mesurée (dB) ('c) Température Calculée MDF ('c) Ecarts de Température LTIT (7o) fc) 0.183 7s.80 79.000 3.200 4.22L 0.164 69.25 72.t00 2.800 4.040 0.145 62.99 66.600 3.610 5.731 0.126 56.90 60.000 3.020 5.307 0.107 51.10 55.100 4.000 7.827 0.089 44.80 49.500 4.000 8.928 0.070 40.00 43.500 4.700 11.750 0.053 34.90 38.250 3.650 10.458 0.035 29.t0 32.700 3.230 11.099 0.018 24.60 27.900 3.600 L4.634 0.009 20.30 25.630 3.070 15.r23 0.000 19.50 24.060 4.600 23.589 M =20cm Visiblement, ces résultats montrent que plus la longueur de la cellule élémentairediminue et plus la sensibilité diminue également.Par contre une subdivision plus fine ne peut ê t r e q u ' a v a n t a g e u s ep o u r l e s c a l c u l s n u m é r i q u e s . A i n s i u n compromis doit s'imposer pour qu'une telle méthode puisse être exploitée correctement Sans pour autant commettre d'énormes déviations par rapport à la valeur de la températurecomme le thermomètre donnerait. r07 D'aprèsles tableauxll, 12 et 13, nous retenonsla valeur de L,z=50cm car elle présenteI'erreurrelative la plus faible. 3-6- Méthode Imoulsionnelle Le problème de la mesure de températured'un défaut en ligne peut également être résolu par une méthode réflectométrique. L'objectif est toujours le calcul de la résistance,paramètrevariant linéairement en fonction de la température, du quadripôle élémentaire de longueur L,z donnée, représentantI'irrégularité en ligne. Dans un premier temps, nous calculonsl'impédancecomplexe du quadripôle R, L, C, (G=0) du défaut, puis nous effectuons I'identificationde la résistancedonnant ainsi la température. N o u s n o u s r e p o r t e r o n sa u s c h é m a d e l a f i g u r e I I d u paragrapheIII-2 du chapitre 1, et, pour simplifier, nous utilisons les mêmes notationsque les auteurst91. La ligne de transmission,de manière générale,peut être vue de Son entrée comme une impédanceque I'on notera Ze@); ce qui nous mène à calculer la tension V(p) en utilisant la formule du diviseur de tension: v(p) = z"(p) E(p) (95) Zn@)+Ze où V(p) et E(p) représententles transforméesde Laplace de v(t) et e(t) respectivement (cf figure II). L'impédance d'entrée Ze$) de la ligne homogène (Zc, ^l) est donnée par la relation: (96) z"(p)=z.(p).44 r/'gTLr-fg-Tlr où f: Coefficient de réflexion complexedonné par: y _zr@)-Z"(p) Zt-@)+2"(p) e7) Le câble coaxial RG58U possèdeune impédancecaractéristique Zg=Zç=JQf]z adéquataux générateurs Zc=50çt ce qui est généralement et par conséquent,d'après[9]: 108 V(P) =!.11 +fe-2É') E(p) 2 (e8) ce qui donne par conséquent: f(p) = r',''[rXnf ,] (ee) Si e(t) prend la forme telle que: e(t)=629 pour 0 < t < r et nulle ailleurs, sa transforméede Laplace est alors: E(P) = 1-'e-tP p (100) La fonction V(p), à chaque fr équence, est évaluée, apr ès la mesure temporelle de v(t), a I'aide de la FFT puis substituée dans (99). La déduction de r(P) puis celle de Zy(p) est alors immédiate. Cette méthode est très délicate vu la grande précison demandée pour le calcul, grâce à la FFT, de la réponse impulsionnelle.It est à noter aussi quo, vu la courte longueur du câble (L=100 m), la durée r de I'impulsione(t) doit être la plus brève que possible pour éviter le problème d'interférence ou recouvrement de I'onde incidente et celle réflechie par la en bout de ligne. désadaptation 3-7- Simulation du gradient linéaire de I'aide de Ia méthode des différencesfinies température à Dans cette partie, nous montronsqu'il est possible de calculer I'atténuation du câbte coaxial plongé dans le gradient de température en ajoutant les atténuations (en dB) dûes à des perturbationsthermiqueslocalisées,décaléeset dont la valeur de la température (ou la résistance) croît linéairement au fure et à mesure qu'on s'éloignedu générateur.Nous préconisonsde calculer ces atténuations partielles du câble dûes à une température de défaut donnée mais exactementconnue au préalabledont la valeur augmente linéairement(en escalier) en fonction de la distance. Le schéma de la figure 48 illustre les différentes situations de la ligne, chacune présentant une perturbation thermique localisée. Le programme qui effectue ces calculs (atténuations partielles et atténuation total) est donnée en annexes. I l0 3-8- Résultats Le calcul de I'atténuationdu câble coaxial soumis à des irrégularitésdécalées(cf figure 48) s'effectueen fixant la position du défaut thermique puis en incrémentantsa distance,quoique peu importante, ainsi et surtout la valeur de sa résistancelocale. Les calculs prouvent que la somme des atténuations(dB) dûes à chaque perturbation thermique localisée, est égale à I'atténuationtotale dûe au gradient de températureen bassesfréquences.La fréquence est de 80 kHz pour toutes les cas de ligne de transmissionsujette à une perturbation localisée. l* Atténuationsdûes à chaque perturbation thermique localisée *l e(dB) = 6.255810e-02 AtténuationPartiell 6.257l99e-02 A tténuationPartielle(dB ) 6.258589e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.259979e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.261368e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.262758e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.264147e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.265537e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.266927e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.2683t6e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.269706e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.271096e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.272485e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.273875e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.275264e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.276654e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.278044e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.279433e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.280823e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.282212e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.283602e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.284992e-02 AtténuationPartielle(dB ) re-02 6.28638 AtténuationPartielle(dB ) 6.28777le-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.289r60e-02 A tténuationPartielle(dB ) 6.290550e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.291940e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.293329e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.294719e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.296108e-02 AtténuationPartielle(dB ) 6.297498e-02 AtténuationPartielle(dB ) e-02 6.298887 AtténuationPartielle(dB ) 6.300277e-02 AtténuationPartielle(dB ) lll ) AtténuationPartielle(dB onPartielle(dB ) Atténuati AtténuationPartielle(dB) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) ationPartielle(dB Atténu ) A tténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) A tténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) elle(dB) AtténuationParti A tténuationPartielle(dB ) A tténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) onPartielle(dB A tténuati ) AtténuationPartielle(dB ) AtténuationPartielle(dB ) 6.301667e-02 6.303056e-02 6.3O4446e-02 6.305835e-02 6.307225e-02 6.3086l4e-02 6.310004e-02 6 . 3 11 3 9 4 e - 0 2 6.312783e-02 6.314r73e-02 6.3r5562e-02 6.3r6952e-02 6 . 3 18 3 4 l e - 0 2 6.3r9731e-02 6.321120e-02 6.322510e-02 6.323899e-02 6.325289e-02 6.326678e-02 6.328068e-02 6.329458e-02 6.330847e-02 6.332237e-02 6.333626e-02 6.335016e-02 6.336405e-02 6.337795e-02 6.339r84e-02 6.340574e-02 6.341963e-02 6.343353e-02 6.344742e-02 6.346132e-02 6.347521e-02 6.348911e-02 6.350300e-02 6.351,690e-02 6.353079e-02 6.354469e-02 6.355858e-02 6.357248e-02 6.358637e-02 6.360027e-02 6.361416e-02 6.362805e-02 6.364195e-02 tL2 6'365584e-02 AtténuationPartielle(dB)= 6'366974e-02 AtténuationPartielle(dB)= 6'368363e-02 AtténuationPartielle(dB)= = 6'369753e-02 AtténuationPartielle(dB) = 6'37r142e-02 AtténuationPartielle(dB) 6'372532e-02 AtténuationPartielte(dB)= 6'373921e-02 AtténuationPartielle(dB)= = 6'3753r1e-02 AtténuationPartielte(dB) = 6'376700e-02 AtténuationPartielle(dB) 6'378090e-02 AtténuationPartielle(dB)= = 6'379479e-02 AtténuationPartielle(dB) = 6'380868e-02 AtténuationPartielle(dB) 6'382258e-02 AtténuationPartielle(dB)= 6'383647e-02 AtténuationPartielle(dB)= = 6'385037e-02 AtténuationPartielle(dB) = 6'386426e-02 AtténuationPartielle(dB) = 6'387816e-02 AtténuationPartielle(dB) 6'389205e-02 AtténuationPartielle(dB)= = 6'390594e-02 AtténuationPartielle(dB) = 6'39L984e-02 AtténuationPartielle(dB) 6'393373e-02 AtténuationPartielle(dB)= *l l* Atténuation Totale AtténuationTotale(dB)= 6'324593e+00 La valeur de I'atténuation totale correspond bien à celle calculée en utilisant la loi de variation R(z) = a+b'z par le programme principale dêcrtt auParavant. 3-o- Conclusion La mesure de la température, grâce à la méthode des différences finies appliquéeaux équationsde propagationdes ondes dans le cas du câble coaxial, s'avère tout a fait électromagnétiques valable et précise, vu les résultats des comparaisonsavec ceux observés directement au thermomètre;cependant la fréquence ne doit pas être trop élevée pour que d'autres effets physiques viennent se Superposer -entendonsou imposer, analytiquement,_d'autres par cela la prise en compte de I'effet de formalisme. Nous peau qui pourrait se manifesterdans les conducteursen plus hautes iréquenceJ modifiant ainsi la résistance, etr grande majorité, et I'inâuctanceinterne des conducteurs;I'inductancede couplage' nous I'avons vu, demeureinchangépuisque sa valeur représentela limite assymptotiquede I'inductancetotale en très bassesfréquences' L'inconvenient principal que présente cette méthode est la restriction dans le choix Ou pas de discretisationqui, en principe rl3 comme nous I'avons pris, doit égaler I'extensionde la région où la température présente la discontinuité. un facteur à ne pas négliger égalementest celui des phénomènestransitoiresde la température lors du changementde i'étut thermique que nous avions étudié dû à la propagationde la chaleur car, en Éalitê, celle-ci n'est pas seulementconcentréedans le milieu que nous avions perturbédu fait de la bonne conductivité thermique du cuivre formant les conducteursdu câble coaxial. Néanmôins,le temps de propagationde la chaleur est très bref et le régime permanentest très rapidementétabli. Le problème ne se pose point dans le cas où la longueur de I'imperfectionthermiqueest très faible devant la longueur totale du câble coaxial. Seulement,dés que cette approximation devient erronée, la méthode indirecte de mesure de température devient non représentative. Néanmoins, la méthode pourrait s'appliquer à d'autres types de lignes de transmission:lignes microrubanségalement, guides d'ondes rectangulaires,circulairesou elliptiques. Grâce à cette nouvelle application de mesure de température, nous mettons au point, par le biais d'une mesure directe de I'attenuationque subit le câble coaxial lors de son introduction partielle dans un milieu ou la températureeSt simplement une fonction en crénau, un nouveautype de capteur de température. ll4 Conclusion Générale et Perspectives L'étude de la propagation d'ondes électromagnétiquesen milieu thermiquementvariable a conduit à proposer un nouveau capteur de température. Il est ainsi possible de mesurer la température ou du moins les fluctuations de température qui pourraient se manifester dans un quelconque milieu où I'implantationd'un capteur de températures'avère impossible, alors q'un-faisceaucoaxial de traitementde signal passedans le milieu. Ce capteur présente la particularité d'autoriser une mesure rapide de la températureen raison de la fréquenceporteuse assez élevée utilisée et de faible inertie thermique du cuivre constituant I'ensembledes conducteursinterne et externe du câble coaxial. De en (dB) plus la linéarite de la courbe température-atténuation mesuréepermet un étalonnagecommodedu dispositif de mesure. Cependant,une limitation existe, en terme de sensibilité à cauSe,d'une part, des appareilsde mesure,et d'autre part, à cause de la méthodede modélisation. Notons que la mise en oeuvre informatiqueest beaucoupplus legère que PSpice. Au prix de la mise en oeuvfe de moyens informatiques beaucoup plus lourds, pour une analyse multidimensionnelle,il semble âué la méthode proposéeautoriseraitune analyse complète du mode de fonctionnementdes câbles multibrins utilisés dans des applications de recherche pétrolière, eD milieu à gradient de température. 115 116 Références Bib liographiques Guides des VASSALO, Théorie C. tll E l e c t r o m a g n é t i q u e s , t o m e l , E y r o l l e s ,1 9 8 5 . d'Ondes l2l Fred E. GARDIOL, Lossy Transmission Lines, Library of Data, 1987. CongressCataloging-in-Publication t3l J. KERGOMARD, " Propagation des ondes dans les Lignes F i n i e s : D i s c u s s i o n d e s N o t i o n s d ' O n d e s E v a n e s c e n t e se t d e Fréquence de Coupure", Revue de Physique Appliquée, Vol.17, fascicule no5, pp. 307-327,mai 1982. t4l R.L. WIGINGTON and N.S. NAHMAN, " Transient Analysis of Coaxial Cables Considering Skin Effect", Proc. of the IRE, pp. 166-174,Feb. 1957. t5l Norris S. 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END Explications: -La premièreligne contenant" FILTRE PASSE-BASlo ORDRE " représentele titre ou le nom du circuit. -La deuxième ligne représente la tension d'entrée, commençant par la lettre V , entre le noeud fictif 1 et le 0. Ce dernier est toujours pris comme étant le noeud représentantla masse du circuit. La troisième ligne représenteune résistance,commençantpar la lettre R, entre I et 0 pour que le noeud I ne reste pas flottant. Cette résistance,de valeur très grande ( I .0 GOhms), est necessaire pour le simulateurPSpice, et à défaut de l'écriture de la 3o ligne, t crite dans le fichier I ' e r r e u r s u i v a n t e e s t a u t o m a t i q u e m e né FILTRE.OUT : îinrt.. 10ac3.0volt $ Floating Node :.1..: 2 4'7k La quatrièmeligne représentela descriptionde la resistanceR (notée Rl dans le texte FILTRE.CIR) du circuit RC branché en filtre passe bas, celle-ci vient s'entrecaler,dans le circuit fictif, entre les noeuds I et 2. Sa valeur numérique, ainsi représentéedans le fichier, est de 4.7 kilo Ohms. r23 'C La cinquièmetigne représentetout simplementla capacité ( notée Cl) du circuit RC entre le noeud 2 et la masse,ayant pour valeur numériquel0 nF comme dans le fichier FILTRE.CIR . La sixièmeligne contientla " Sonde", c'est une commandequi doit impérativement commencer par un point (. PROBE). Sans elle le circuit peut être simulé mais aucune grandeurne peut être visualisée. La septièmeligne signifie que l'analyse à effectuer est fréquentielte et que le domaine exploité, dans cette exemple, concerne les fréquences.de l0 kHz à 1 MHz en 50 Points par Décade. La dernière ligne est la fin du circuit où le point avant I'instructionEND est aussi impératif à écrire que pour le PROBE. Le circuit, les analysesainsi que les domainesd'analysessont définis, la " compilation " ou la simulation s'effectue par la commande: PSPICE FILTRE ( sans pour autant spécifier I'extension .cIR), Le simulateur crée alors, comme cité précedemment,le fichier FILTRE.OUT qui contiendrales élémentssuivant: FILTRE PASSE-BAS1" ORDRE {.** CIRCUIT DESCRIPTION ******{.****d€***{€*€:F*****{€*.**{€{.***d€****{€**{.{€d€***{({€t€{€**:F**{t{€*l'*{€ *{.***:f Ventreel0ac3.0Volt Rentree 1 0 1.0G Rl t 2 4.7k Cl 2 0 10nF . PROBE . AC DEC 50 10k lMeg . END r $ r F* * { c * : f * : Ë ! Ë * : 1 . * * * t È : Ë : F : N € * { € * { . : N € *{ . * * : Ë { € * { . {.:t *{ê* ** { € { € * { €* { ' * Ê * * { ' * { ' : N ' : Ë{ € * * { € * { €* { ' ****** FILTRE PASSE.BAS1" ORDRE *'r** SMALL SIGNAL BIAS SOLUTION TEMPER4'1gpB=27 DEGC {€********:S**{.*tl.*{€**tl.**{.{€*.********{€*{.{.**tË{€{€*:F{€*****{'**{€{'*tlê***{€ *:fÊ* *{. * r24 NODE ( r) NODE VOLTAGE ( 0.0000 2) VOLTAGE SOURCECURRENTS CURRENT NAME 0.000E+00 Ventree TOTAL POWER DISSIPATION JOB CONCLTJDED TOTAL JOB TIME VOLTAGE o.0ooo 0.000E+00 WATTS 4.I1 La commande qui permet de visualiser toute grandeur électrique est tout simPlement: PROBE Ainsi, sur l'écran apparaiterale menu contenant,otr XY, le domaine fréquentieldemandé(i.e: de l0kHz àlMHz) en abscisse,et la grandeur électrique (tension ou courant ) en ordonnée. Pour connaître la réponse en fréquence du circuit RC ainsi défini, par exemple, il suffit de demander le gain V(2)/V(1) en suivant les instructionsaffiché par le menu une fois la commande PROBE est executéepar le simulateur. Le simulateurPSpice,par la commande.PROBE existant dans le fichier initial FILTRE.CIR, permet de visualiserle gain en fonction de la fréquence(dans le domaine fréquentiellepréalablementcité). Le déphasageentre I'entrée et la sortie est obtenu par VP(2,1)(VoltagePhase. Telles sont les principalesétapesde création de fichiers de commandeou FICHIER-CIRCUIT NomFichier.ClR, de fichier de SORTIE Nomfichier.OUT ainsi que le fichier contenantles données DONNEES.DAT. Dans tout ce qui suivra,pour les simulationsPSpice,nous adopteronsdes notations similairesconcernantles fichiers de commande, de sortie ainsi que les fichiers de données. /*t *t ****s*{.*{.{.**t€{.{c:lc*{.**d,*******{€{(*{<****t<***********{<{<***:|<**t *{<,}****/ *l l* Programmede GenerationAutomatiquede Fichier Source .CIR l* l* l* pour une SimulationPSPICEde I'Attenuationde Ia Tension *l t25 l* l* l* l* par un Cable Coaxial Soumisa un Gradientde Temperature *l Lineair en Fonctionde la Profondeurdu Câble *| /****d({<**<***C<{€*****<{.**r(t<{<{<{<{<****t<*****{<**{.{,***t(***r<*{<***********{<**tc/ l* Le ProgrammeLit la Valeur de la Resistancedans un fichier de donnees.DAT, cree a partir d un fichier source.C et I introduit dans un fichier source.CIR *l #include "stdio.h" #define NbCelMax 100 float rtll000J; maino { l* definition des variables*l i, j, node, length-fiIe, nb-cell; int *headerl="*\AUTOMATICGENERATIONOF SPICE.CIR\*"; char *header2=".PROBE"; char *header3=".OPTIONS ITL5=0 NUMDGT=9"; RELTOL=0.0001 char Chaf *çg1n="*". char char char char char char float int *footerl0="VlN I 0 SIN(O"; *footerll="K) AC l0V"; *footer2='RlN 101G"; *footer4=".END"; c, ch, titre[8O]; file-rd[8O], file-wr[8O]; rtini, rout, induct, capa,rp; flow, fhigh; FILE FILE *infile; *outfile; printf('\titre de la courbe I "); i=0; while ((c=getchar0)!= \r') titre[i++] = ç; titrelil = \0'; printf('\valeur Freq basseSPICE (kHz) I "); scanf("7od",&flow); printf('\valeur Freq haute SPICE (kHz) I "); t26 &fhigh); scanf("%od", printf('\valeur Rout (kOhm) I "); scanf("Vof",&rout); printf('\inPut file name i "); file-rd); scanf("7os", printf('\outPut file name I "); scanf("7os",file-wr); infile = fopen(file-rd, "tb" ); j=0; do t fscanf(infile," Vof",&rtli]); j++; ) while ( < NbCelMax); length-file=j; nb_cell=j; fclose(infile); printf('\fini de lire... "); outfile = fopen(file-wr, "*"); for (i=0; titre[i] != \0'; i++) fprintf(outfile, "%oc",titre[i]); fprintf(outfile, "\n7os\r", headerl); fprintf(outfile, "70s\n", headet?); fprintf(outfile, "70s\r", header3); fprintf(outfile, ".AC DEC l0 TodK7odlAn",flow, fltigh); fprintf(outfile, "70s\dl",com); cellules\t7os\n", com , nb- cell- 1, com ) ; fprintf(outfile, " Vos\&Vod printf("\nfini de ecrire les headers..."); j=1; printf('\nb-cell = %od",nb-cell-1); for (i=l; icnb-cell;i++) t ) fprintf(outfile, "RTod Vod %od 7o.3f\r",i, j, j+1, rt[i-1]); fprintf(outfile, "LVod Vod %od 5.6UI{b",i, j+l ,2+i); fprintf(oufrle, "CVod Vod 0 0.l2NFb", i, j+2); j +=2; de ecrire les macros..."); printf('\fini fprintf(outfile, "7os\n",com); 127 footerlO, (flow+fhi gh)12, footerl 1); fprintf(outfile, "Vos%od%os\n", fprintf(outfile, "70sM", footer2); fprintf(outfile, "ROUT Vod0 7o.4flÔn", 2*i-1, rout); fprintf(outfile, "7os\n", com); fprintf(outfile, "Vos", footer4); fclose(outfile); r28 ANNEXB. 42. *d<*t<{<*{<**<{<{.**{<****r<*{<d<**r.**{.r<*{<t<***(*****{<{<{<{<**t(****/ /***r*{<{.**dc{.****{,t *l l* *l /* Programmede Calcul de la Résistanceen Fonctionde Z pour la *l l* faire entrer comme Paramètredans le fichier .CIR jrl lùc {.{<**{<{<******{c*{<t *{.*tl **{<t<{<t€*{<*{<***t<****t<t<**{<****{<*{<:k{</ /****{<**s*****,**t #include "stdio.h" #include "math.h" 1000 /* Longueurde 1000 m *l #define Maxlength I DeltaZ l* pas de discretisation*l #define 36e-3 l* Rés. à 20"C ambiante*/ #define A I.le#define B /* Coeff. de proportionnalité*/ FILE *fich; maino t int u float RnO; == NULL) if ((fich=fopen("DATA.C","w")) { printf("Ouverturede <DATA.C> impossible\n"); exit(0); l for (i=0; i<=Maxlength;++i) fprintf(fich," 7oeV", Rn(i*DeltaZ)); l float Rn(int { float r; eA+B*Z; return(r); l D 129 ANNEXE. A3. Modele PSpice @ 60kHz et 1000m de Longueur {C GBNERATION AUTOMATIQUE DU FICHIER BASSES.CIR * .PROBE .OPTIONS RELTOL=0.0001ITL5=0 NUMDGT=9 .Ac DEC 100 10K 100K * R 1 1 2 0.036000 L 1 2 3 0.25UH cL 3 0 0.10NF R2 3 4 0.036110 L2 4 5 0.25UH C 2 s 0 0.toNF R3 5 6 0.036220 L3 6 7 0.25UH c3 7 0 0.10NF 0.036330 R4 7 I L4 8 I 0.25UH C 4 9 0 0.10NF R5 9 10 0.036440 L5 1 0 11 0.25UH C 5 1 1 0 0.10NF R 6 L 1 12 0.036ss0 L6 12 13 0.2sUH C 6 13 0 0.10NF R 7 13 t4 0.036660 L7 T4 15 0.25UH c7 15 0 0.10NF R 8 15 t6 0.036770 L8 t 6 17 0.25UH c8 L7 0 0.10NF R 9 t7 18 0.036880 L9 18 t9 0.25uH c9 L9 0 0.10NF R 1 0 L9 20 0.036990 L 1 0 20 2t 0.25UH c 1 0 2 L 0 0.10NF R 1 1 2 1 22 0.037100 22 23 0.25UH Llt cu 23 0 0.10NF R 1 2 23 24 0.037210 Ll2 24 25 0.25UH c 1 2 25 0 0.10NF R 1 3 25 26 0.037320 130 L13 c13 R14 L14 c14 R15 L15 c15 R16 Lt6 CT6 R17 Ll7 c17 R18 L18 c18 R19 Lt9 c19 R20 L20 26 27 27 28 29 29 30 31 31 32 33 33 34 35 35 36 37 37 38 39 39 40 c20 4 L R21 Lzl c2r R22 L22 c22 R23 L23 c23 R24 L24 c24 R25 L25 c2s R26 L26 c26 R27 L27 c27 R28 L28 41 42 43 43 44 45 45 46 47 47 48 49 49 50 51 51 52 53 53 54 55 55 56 27 0.25UH 0 0.10NF 28 0.037430 29 0.25UH 0 0.10NF 30 0.037540 31 0.25UH 0 0.10NF 3 2 0.037650 33 0.25UH 0 0.10NF 3 4 0.037760 35 0.25UH 0 0.toNF 36 0.037870 37 0.25UH 0 0.10NF 38 0.037980 3 9 0.25UH 0 0.10NF 40 0.038090 4 l 0.25UH 0 0.10NF 42 0.038200 43 0 . 2 5 U H 0 0.10NF 44 0 . 0 3 8 3 1 0 45 0.25UH 0 0.10NF 46 0.038420 47 0.25UH 0 0.10NF 48 0.038530 49 0.25UH 0 0.10NF 50 0.038640 5t 0.25UH 0 0.10NF 52 0.038750 53 0.25UH 0 0.10NF 54 0.038860 s5 0.25UH 0 0.10NF 56 0.038970 57 0.25UH r3r c28 R29 L29 c29 R30 L30 c30 R31 L31 c31 R32 L32 c32 R33 L33 c33 R34 L34 c34 R35 L35 c35 R36 L36 c36 R37 L37 c37 R38 L38 c38 R39 L39 c39 R40 L40 c40 R41 L4t c4l R42 L42 c42 R43 L43 c43 57 s7 58 59 59 60 61 6t 62 63 63 64 65 65 66 67 67 68 69 69 70 71 71 72 73 73 74 75 75 76 77 77 78 79 79 80 81 EL 82 83 83 84 85 85 86 87 0 0.10NF 58 0.039080 59 0.25UH 0 0.10NF 60 0.039190 61 0.25UH 0 0.10NF 62 0.039300 63 0.25UH 0 0.10NF 64 0.039410 65 0.25UH 0 0.10NF 66 0.039520 67 0.2sUH 0 0.10NF 68 0.039630 69 0.25UH 0 0.10NF 70 0.039740 7l 0.25uH 0 0.10NF 72 0.039850 73 0.25UH 0 0.10NF 74 0.039960 75 0.25UH 0 0.10NF 76 0.040070 77 0.25UH 0 0.10NF 78 0.040180 79 0.25UH 0 0.10NF 80 0.040290 81 0.2suH 0 0.10NF 82 0.040400 83 0.25UH 0 0.10NF 84 0.040510 85 0.25UH 0 0.10NF 86 0.040620 87 0.25UH 0 0.10NF r32 R44 L44 c44 R45 L45 c45 R46 L46 c46 R47 L47 c47 R48 L48 c48 R49 L49 c49 R50 Ls0 c50 R51 L5t c51 R52 L52 c52 R53 L53 cs3 R54 L54 c54 R55 L55 c5s R56 L56 cs6 R57 L57 c57 R58 L58 cs8 R59 87 88 0.040730 88 89 0.25UH 89 0 0.10NF 89 9 0 0.040840 9 0 9 1 0.25UH 9 L 0 0.10NF 9 L 92 0.040950 92 93 0.25UH 93 0 0.10NF 93 94 0.041060 94 95 0.25UH 95 0 0.10NF 95 9 6 0 . 0 4 1 1 7 0 9 6 97 0.25UH 97 0 0.10NF 97 98 0.041280 98 99 0.25UH 99 0 0.10NF 9 9 100 0.041390 100 101 0.25UH 101 0 0 . 1 0 N F 1 0 1 102 0.041500 r02 103 0.2suH 103 0 0.10NF L03 104 0.041610 t04 105 0.25UH 105 0 0.10NF 105 106 0.041720 1 0 6 107 0.25uH t07 0 0.10NF t07 108 0.041830 108 109 0.25UH 109 0 0.10NF 109 110 0.041940 1 1 0 111 0.25UH 1 1 1 0 0.10NF 1 1 1 Ltz 0.042050 112 113 0.25UH 113 0 0.10NF 0.042160 1 1 3 tr4 0.25UH 115 ll4 115 0 0.10NF 0.042270 1 1 5 tl6 rr7 0.25uH tt6 0.r0NF 0 1L7 118 0.042380 ll7 r 33 L59 cs9 R60 L60 c60 R61 L6l c61 R62 L62 c62 R63 L63 c63 R64 L64 c64 R65 L65 c6s R66 L66 c66 R67 L67 c67 R68 L68 c68 R69 L69 c69 R70 L70 c70 R7L L7l C7L R72 L72 c72 R73 L73 c73 R74 L74 118 119 119 120 L2L 121 122 L23 123 124 125 125 L26 127 127 128 t29 129 130 131 131 132 133 133 t34 135 135 136 137 L37 138 139 139 140 t4L L4L L42 143 t43 144 L45 145 146 147 147 148 119 0.25UH 0 0.10NF 120 0.042490 0.25UH tzl 0 0.10NF 122 0.042600 123 0.25UH 0 0.10NF L24 0.042710 125 0.25UH 0 0.10NF 126 0.042820 t27 0.25UH 0 0.10NF L28 0.042930 129 0.25UH 0 0.10NF 130 0.043040 131 0.25UH 0 0.10NF 132 0.043150 133 0.25UH 0 0.10NF t34 0.043260 135 0.25UH 0 0.10NF 136 0.043370 137 0.25UH 0 0.10NF 138 0.043480 139 0.25UH 0 0.10NF 140 0.043590 L4t 0.25uH 0 0.10NF t42 0.043700 143 0.25UH 0 0.10NF 144 0.043810 145 0.25UH 0 0.10NF 146 0.043920 147 0.25UH 0 0.10NF 148 0.044030 149 0.25UH r34 c7 4 I49 0 0 . 1 0 N F R75 149 150 0.044140 L75 150 151 0.25UH c75 151 0 0.10NF R 7 6 1 5 1 I52 0.044250 L76 152 153 0.25UH c76 153 0 0.10NF R77 153 154 0.044360 L77 154 1s5 0.25UH c77 155 0 0.10NF R78 155 156 0.044470 L78 156 ls7 0.25UH c78 157 0 0.10NF R79 157 158 0.044580 L79 158 159 0.25UH c79 1s9 0 0.10NF R80 L80 c80 R81 L81 c81 R82 L82 c82 R83 L83 159 160 161 l6L 162 163 163 164 165 165 L66 c83 L67 R84 L84 c84 R85 L85 c85 R86 L86 167 168 169 169 tl0 17L l7l 172 c86 173 R87 173 L87 c87 R88 L88 174 175 lt' L76 cE8 R89 L89 c89 177 177 rt& r79 160 r6t 0.044690 0.25uH 0.L0NF 162 0.044800 L63 0.25UH 0 0.10NF 164 0.044910 165 0.2suH 0 0.10NF L66 0.04s020 167 0.25UH 0 0.10NF 168 0.045130 t69 0.25UH 0 0.10NF 170 0.045240 t7L 0.25UH 0 0.10NF L72 0.045350 173 0.25UH 0 0.10NF t74 0.045460 t75 0.25UH 0 0.10NF 176 0.045570 t77 0.25UH 0 0.10NF 178 0.045680 t79 0.25UH 0 0.10NF 0 .: -, :- r -:ir .. 135 R90 L90 c90 R91 LgL c91 R92 L92 c92 R93 L93 t79 180 lEl 181 L82 183 183 184 185 185 186 c93 r87 R94 L94 c94 R95 L95 187 188 1E9 1E9 190 c95 LgL R96 L96 c96 R97 L97 191 L92 193 193 194 c97 195 R98 L98 195 196 c98 r97 R99 L99 c99 197 198 199 180 0.045790 181 0.25UH 0 0.10NF 182 0.045900 183 0.25UH 0 0.10NF 184 0.046010 t 85 0.25UH 0 0.10NF 186 0.046120 187 0.25UH 0 0.10NF 18E 0.046230 189 0.25UH 0 0.10NF 190 0.046340 191 0.25UH 0 0.10NF 192 0.046450 L93 0.25UH 0 0.10NF t94 0.046560 195 0.25UH 0 0.10NF t96 0.046670 r97 0.25UH 0 0.10NF 198 0.046780 199 0.25UH 0 0.10NF * vrN I 0 SIN(O60K) AC lOv RINlOlG ROUT 199 0 0.5000K * .END - r36 ANNEXE. A4 /*d(*{<**.{.*{<d€*d<r.:k{€*******{r{<:**{<**r.*************tk**i'*{'*t<{'{c**d(***{<t(/ t( I tfl *l /* Programmede Calcul de la Resistanceet de I'Inductance*l l* /* pour les Hautes Fréquencespour le Gradient Linéaire de l" l* Température. l* *{.*********{<*:k*:f *l *l *l *l {<t<**{<{.{<******X<*{€t'/ /r(*{<{<*{.****t<**<***t<*t<*r.{<***<i<*t #include "stdio.h" #include "math.h" 100 #define Maxlength 1 DeltaZ #define 5e - 4 #define a | . 73 5 e - 3 #define b l.le-4 #define ki 3.r415927 PI #define 1.6666e-7 l* Résistivité du Cuivre *l #define Rho Pl*4e-7 l* Perméabilité #define Mu *l Magnétiquedu Vide le6 #define freq frequency=freq; double I,F Fichiers de Stockageds Valeurs de la Résistanceet de I'Inductance *l FILE *fichl, *fich2; maino t int double double i; R0, RnO; /*valeurs donnéesen double précision*/ L0, LnO; /* Valeurs donnéesen double précision *l double F0, G0, DeltaiO; if ((fich1=fopen(" DATA-RESISTANCE-IIF.C","w " )) == NULL) { printf("Ouverturede <DATA-RESISTANCE-HF.C>impossiblo\n"); r37 exit(0); ) "DATA-INDUCTANCE-Ir 'C","w " )) == NULL) if ((fich2=fopen( { impossible\n"); irintf("Ouverturede <DATA-INDUCTANCE-HF.C> exit(0); l do t for (i=0; i<=Maxlength-1;++i) fprintf(fich1,"7oeV", (double)Rn(i*DeltaZ)); * fprintf(fi c h2,"Voe\n",(double)Ln(i DeltaZ)); frequency+= freq; ) while( frequencY<= 5e6); fclose(fichI ); fclose(fich2); l Bloc des Déclarationsdes Fonctionsissuesdes Equationsdu l* *| Modèle de Hautes Fréquences R(float double { double Z) r; *l l* RésistanceCond. Interne r - (ltQ{<PI*kit<a))*sqrt(Mu*pIs*(double)frequency/PI); tf l* Résistances'ajouteà celle du conducteurExterne I r *= (l/(3*pI*ki*b))*sqrr(Mu*Rho*(double)frequencY/PI); r *= pow(l+ki*2,312)-li return(r); ) double Rn(float Z) t ) double P; ; p=(double)R(Z+DeltaZ)-(double)R(Z) return(P); r38 double Deltai(float { D double d; d = sqrt(Rhol(PI*Mu*frequencY)); return(d); l double F(float { 4 u; double -Deltai(Z)la); -Deltai(Z)la)*log(l u = (I return(u); ) double G(float { D u; double u = ( 1+D eltal(Z)h)*log( I +D eltai(Z)h): return(u); l double L(float Z) t t; double * Deltai(0))); * p 1* u1)*(Z-(2xaxalkiF'(F(Z)-F(0))/(Deltai(0) = (Mu/(4 r t *= (tvrui(4*p1*[1;*12-(2*b*b/ki)*(c(z)-G(0))/(Deltai(0)*Deltai(0))); t *= ((DeltaZ*Mu)/2*Pl)*log(b/a); return(t); ) double Ln(float Z) t ) double P; p=( doubI e)L(Z+DeltaZ)-(double)L(Z): return(P); r39 ANNEXE. A5 /*rl€**{<*d<t l* l'l* * 'l* It( tc**{<{<**{<d<*****{.**d.**t r(*t€***r,t t<*d,*{.{<t<r<{<*{<*tt<*{<r<{<d't<*i'{<*t'*4'<***/ Programme de calcul de I'Attenuation et de la Phase jf I *l *l pour uneLongueurde Câble en fonctionde la fréquence *l *l Coaxial Donnée. 'Fl làc {'*(********t</ il.*xx*x.*x*r<d<***r<****tc{<****{<****{<*****<***{<***{<****<*rc***t #include "stdio.h" #include "math.h" #define #define #define #define #define #define #define #define #define #define #define #define M-2PI c 6.283185307 56e-7 L l* 0.56e_7H/m * I l2e -l I l* I2e-11 F/m *l L*C rc 1e+6 f req 468e-4 l* 468e-4 Ohm/m * I a 8e-5 /* 8e-5 Ohm/m/oC*/ b 1 deltaX deltaX*deltaX deltaXZ 500 Long-Cable 0.02 GI 100e03 Pas maino t double double int double double double FILE C-deltaX2, Gl-deltax, Gl-L-deltaX; LC-deltaX2, a-bn-deltaX; i , j, k, N, NbrElts; Module,Gain=1,Phase, Phi, Frequency=freq,Attenuation; Al, Al-} Bl, Br-2, Cl, Cl-| Dl, Dl-Z; Omega,Omega2; *fichl,*fich2; == NULL) if ((fichl =fopen("ATTENUATION.C","w")) { printf("Ouverturede <ATTENUATION.C>impossiblo\n"); exit(0); l == NULL) if ((fich2=fopen("PHASE.C","w")) 140 printf("Ouverturede <PHASE.C>impossiblê\t"); exit(0); l NbrElts = (int)Long-Cable/(double)deltaX; C_deltaX2= (double)C*deltaX2; Gl_deltaX = (double)Gl*deltaX; Gl L-deltaX = (double)L*Gl-deltaX; LC-deltaX} = (double)LC*deltaX2; do Omega = (double)M-2Pl*Frequency; OmegaZ= Omega*Omega; Gain= 1.0; Phase= 0.0; A1 = 1+LC-deltaX2*Omega2; Dl = Gl-L-deltaX*Omega; Al-2 = A1*41; DI-2 = Dl*Dl; for (N=NbrElts;N>0; N--) { a-bn-deltaX = a+b*(N-1)*deltaX; Bl = -C-deltaX2*Omega*a-bn-deltaX; Cl = 1+Gt-deltaX*a-bn-deltaX; BI-2 = Bl*Bl; Cl2 = Cl*Cl; Module = (Al -2+Bl -2)l(Cl -Z+DI -2); Module = sqrt(Module); Phi = atan((Bl*Cl-Al*D1y(Al*Cl+Bl*Dl)); Phase+= Phi; Gain x= Module; ) Attenuation = -20*log10(Gain); y/ I 000,Attenuation); %oa (dB)\r ",Frequenc fprintf(fichl,"Voe (kHz) phase *= 360/(double)M_2Pl; %oe (oln",FrequencY/1000,Phase); (kHz) fprintf(fi ch2,"%oe printf("Freq. = Voe(kHz) Phase= %oe(o) Attenuation= Voe ( O g) V " , F r e q u e n c y /0l 0 0 , P h a s e , A t t e n u a t i o n ) ; Frequency += Pas; l l while (Frequency<= 3000e3); fclose(fichl); fclose(fich2); t4l ANNEXE. A6 *4<4.*{.rl€{<**c{<,***{<**:1.{.t<**{<r.t<{<{<{.*r.{.t**{<**{<{<{c**{<**tl€tFt<d<{<:l'***{<{< /<{€d.{<*{<*r.d<t(*{<:t Programmede Calcul de la Temperaturedu Defaul en l,igne Utilisant la Methodedes DifferencesFinies pour une Valeur d'une AttenuationMesureepour une Longueurde l00m *d<**d<**d<{.*t(**d({<**d.**t(t #define #define #define #def ine #define #define #define #define #define #define #define #define #define #define #define #define #define **t<*****r.******{<**r<*t<d<{<tc****{<*r<{<**t<***{<{<{<t€**t'/ 6 .2831853 M-2PI 0.25e-6 l* 0.25 pH/m *l L le_10 /*lOpF/m*/ C L*C rc 8 0 e 03 f req 36e-3 7* 36a/km *l a l.le-4 b I e0 deltaX deltaX*deltaX deltaX2 100 Long-Cable M-2PI*freq Omega Omega*Omega Omega} 0.02 Gl 1.0 /* issuede la valeur GainMes mesurée * | 90 Longueurl 240.0 coef 20e0 TemPAmb #include "stdio.h" #include "math.h" maino { double double int double double double C-deltaX2,Gl-deltaX, Gl L-deltaX; C2-deltaX2, LC-deltaX2, a-bn-deltaX; i , j, k, N, NbrM, NbrElts; xl, x2, x3, x4, Module,Gain=l'O,Phase; Al, Al-2. Bl, B1-2, Cl, CL-z, Dl, D1-2; Rx, Delta, TemPerature; NbrElts = (int)Long-Cabte/(double)deltaX; NbrM = l+(int)Longueurl/(double)deltaX; C-deltaX/ = (double)C*deltaX2; Gl-deltaX = (double)Gl*deltaX; Gl-L-deltaX = (double)L*Gl-deltaX; r42 LC-deltaX? = (double)LC*deltaX2; C}-deltaX2 - (double)C*C-deltaX2; Al = 1+LC-deltaX2*Omega2; Dl = Gl L-deltaX*Omega; AI-2 = A1*A1; DL-z= Dl*Dl; for (N=NbrElts;N>0;N--) { if (N != NbrM) { a_bn_deltaX= (double)a; Bl = -C-deltaX2*Omega*a-bn-deltaX; Cl = l+Gl-deltaX*a-bn-deltaX; BI-2 = Bl*81; Cl-z = Cl*Cl; Module - (Ar -2+Bl -z)l(Cl -2+DI -2); Module = sqrt(Module); Gain *= Module; ) l Gain = (double)GainMes/Gain; /* printf("Gain= ToeV",Gain);*/ *Gl* Gl) ; x 1 = deltaX2*(Omega2*C2-deltaX2-Gain* Gain x2 = Gl-deltaX*Gain*Gain; x3 = Al-2-l-Dl-2; Delta = x2*x2-x1*x3; Rx = (-x2+sqrt(Delta))/xl; Temperature= TempAmb + ((Rx/(double)a)-1.O)*coef; printf("Rx = %oe a = 7oeV",Rx,a); printf("Temperature= Voe RoomTemp= mb); 7oe\n",TemPerature,TemPA ) .....'.,'. r43 ANNEXE. A7 - Particularités: Le circuit intégré LM35 est d'un emploi facile. AlimenéentreV+ et la masseGND, nous obtenonsdirectementen sortie, une tension en mV équivalenteau dixième de degré CELSIUS. C'est I'application de base ta plus courante. Toutefois, dans ces conditions, il ne peut descendresous 20 rrlV, et se limite donc à une températurede zoc' Pour obtenir la pleine échelle, il est nécessairede "tirer" vers une tension plus négative que GND la broche de sortie. Une résistance reliée à une tension V- correspondbien à ce que nous recherchons (voir ci-dessous). 150'c R=V-/50p4 Applicationen PleineEchelle Il faut toutefois noter que les liaisons de connexion du capteur vers I'unité d'exploitation doivent être courtes et tenir compte des charges en préience. Ainsi le montage s'associe à un module si la le biais de convertisseurananlogique-numérique d'affichage par -référence Vref est bien ajstée à lV; la lecture de la tension àe température s'effectue directement (voir ci'dessous). rl Ê, v) u2 (D I U c) z IFH lg lE' l"u l' lÈ lu lpr, l( tste lsl$ lrllH 15 '-ËlH f\,, \)F X F TA EËH IA hJ a '-, u o I F d' 9R 8E - -v It ÈÉ >Ë t44 HP 54501A Oscilloscope Echantillonneur FF HP 81164 Générateur ANNEXE. A8 r45 E() (Dô' x' o' I(Dr oro =!1