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Ainsi, a et b ne peuvent pas être tous les deux pairs.
Ils ne peuvent pas non plus être tous deux impairs, sinon a2 + b2 ≡ 1 + 1 = 2 [4] et on
a vu que 2 n’est pas un carré modulo 4.
Quitte à échanger a et b, on peut supposer que a est impair et que b est pair.
2
2
c+a
On a ( 2b )2 = c −a
= ( c−a
4
2 )( 2 ).
c+a
(Comme a et c sont impairs, c−a
2 et 2 sont bien des entiers.)
c−a
Si un nombre p divise à la fois 2 et c+a
2 , il divise leur somme et leur différence, c’està-dire que p divise c et a. Or, a et c sont premiers entre eux, donc p = 1. Par conséquent,
c−a
c+a
2 et 2 sont premiers entre eux.
Or, leur produit est un carré, donc d’après la Proposition 1 ce sont tous deux des
carrés. Ainsi, il existe u et v tels que
c+a
= u2
2
c−a
= v2
2
En faisant la somme des deux égalités, on obtient c2 = u2 + v 2 . En faisant la différence,
on trouve a2 = u2 − v 2 , et en faisant le produit, on voit que ( 2b )2 = u2 v 2 donc b = 2uv.
Conclusion : quitte à échanger a et b, les solutions primitives sont données par les
formules

 a = u2 − v 2
b = 2uv

c = u2 + v 2
pour certains entiers u et v.
On vérifie qu’on a bien
(u2 − v 2 )2 + (2uv)2 = (u2 + v 2 )2 .
4.4 Exercices supplémentaires
Exercice 4.3.
¶¶Résoudre dans les entiers naturels : x3 − y 3 = 24.
Exercice 4.4.
¶¶Trouver les entiers a, b, n et p tels que p est premier, a > b + 2 et a3 − b3 = pn .
Exercice 4.5.
¶¶Trouver tous les nombres premiers tels qu’il existe des entiers x et y vérifiant
x(y 2 − p) + y(x2 − p) = 5p.
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