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2 Divisibilité
Définition 2.1.
Soient a, b deux entiers relatifs. On dit que a divise b (ou que b est divisible par a, ou
que b est un multiple de a) s’il existe un entier c tel que b = ac. On note a | b.
Par exemple, 2 | 6, 26 | 7, 1 | n, n | n, n | 0 pour tout entier n.
Proposition 2.2.
Soient a, b, b0 , c, λ des entiers.
(i) (Transitivité) Si a | b et b | c alors a | c.
(ii) Si a | b alors a | bc.
(iii) Si a | b et a | b0 alors a | b + b0 .
(iv) Si a | b et a | b0 alors a | b + λb0 .
(v) Si λ 6= 0 alors a | b si et seulement si λa | λb.
(vi) Si a | b et b 6= 0 alors |a| 6 |b|.
(vii) Si a | b et b | a alors b = a ou b = −a.
Démonstration. (i) Par définition, il existe u et v tels que b = au et c = bv. On a alors
c = (au)v = a(uv) donc a | c.
(ii) Il est clair que b | bc. D’après (i), on en déduit que a | bc.
(iii) Il existe u et v tels que b = au et b0 = av. On a alors b + b0 = au + av = a(u + v)
donc a | b + b0 .
(iv) D’après (ii), on a a | λb0 , et d’après (iii) on en déduit que a | b + (λb0 ).
(v) Si a | b, alors il existe u tel que b = au. Ceci entraîne λb = (λa)u donc λa | λb.
Réciproquement, si λa | λb, alors il existe v tel que λb = λau. Comme λ 6= 0, on peut
diviser par λ, ce qui donne b = au, autrement dit a | b.
(vi) Soit u tel que b = au. Comme b 6= 0, on a u 6= 0, donc 1 6 |u|. En multipliant
membre à membre par |a|, on obtient |a| 6 |au| = |b|.
(vii) On suppose que a | b et b | a.
Si a = 0, alors le fait que a | b entraîne b = 0 donc on a bien b = a ou b = −a. De
même, si b = 0 alors b = a ou b = −a.
Si a 6= 0 et b 6= 0, alors d’après (vi) on a |a| 6 |b| et |b| 6 |a|, donc |a| = |b|, ce qui
donne bien b = a ou b = −a.
Exercice 2.1.
Montrer que si a | b et c | d alors ac | bd.
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