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Chapitre I Mécanique des milieux continus
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3.2 Conséquences du second principe de la thermodynamique
Compte tenu de la définition du matériau thermoélastique, il est maintenant possible de tirer
parti du second principe de la thermodynamique afin d’obtenir une loi de comportement qui relie
contrainte et déformation. Cette loi de comportement est établie dans les deux configurations eulérienne et lagrangienne et possède un caractère non linéaire. A terme, cette loi de comportement est
linéarisée au voisinage de l’état d’équilibre.
Représentation eulérienne
Compte tenu de la symétrie du tenseur des contraintes (I.16), le second principe (I.23) s’écrit
encore
qk
ρ(θṡ − ²̇) + σkl .dkl − θ,k ≥ 0
(I.26)
θ
où d est le tenseur des vitesses de déformation dont l’expression en fonction des déplacements u est
dkl =
1
(u̇k,l + u̇l,k ).
2
(I.27)
Puisque θ et E sont les seules variables d’état, l’énergie interne spécifique ² et l’entropie spécifique
s sont des fonctions d’état dans le sens où elles peuvent s’exprimer en fonction des seules variables
θ et E. Leurs dérivées temporelles sont donc
²̇
=
ṡ
=
d
²(θ, E) =
dt
d
s(θ, E) =
dt
∂²
∂²
θ̇ +
Ė
∂θ
∂E
∂s
∂s
θ̇ +
Ė
∂θ
∂E
Si bien que le second principe (I.26) devient
ρ(θ
∂s
∂²
∂s
∂²
qk
−
)θ̇ + ρ(θ
−
)Ė + σkl .dkl − θ,k ≥ 0
∂θ ∂θ
∂E ∂E
θ
(I.28)
D’une manière équivalente, il est possible de remplacer, dans l’inégalité de Clausius-Duhem (I.25), la
dérivée particulaire de l’énergie libre spécifique ψ par son expression en fonction des seules variables
θ et E
∂ψ
∂ψ
ψ̇ =
θ̇ +
Ė
(I.29)
∂θ
∂E
En remarquant, de plus, que la dérivée particulaire Ė du tenseur de déformation est liée au tenseur
des vitesses de déformation par
ĖKL = xk,K dkl xl,L
(I.30)
un nouvelle inégalité fondamentale est obtenue
∂ψ
qk
+ s)θ̇ + (σkl − ρxk,K (∂ψ/∂EKL ) xl,L )dkl − θ,k ≥ 0
−ρ(
| ∂θ
{z
} |θ{z }
Φint
(I.31)
Φth
Or, puisque les quantités θ̇, dkl et θ,k peuvent prendre, indépendamment, des valeurs arbitraires, il
est possible d’obtenir des informations sur leur coefficient respectif. Il faut bien remarquer ici que
cette propriété n’est pas toujours vérifiée : dans le cas d’un matériau incompressible pour lequel la
masse volumique est fonction de la température, ρ = f (θ), il existe alors une relation entre θ̇ et dkl
par l’intermédiaire de la conservation de la masse8 . Donc, lorsque le milieu visco-élastique n’est pas
8 Pour
un milieu incompressible, la trace du tenseur de vitesse de déformation vaut : dkk = − ρρ̇ = −
f 0 (θ)
θ̇.
f (θ)