Download Mode d`emploi

Proba univers fini (P1)
b. Deux formules
V(X ) = E(X 2 ) − (E(X ))2
V(a X + b) = a 2 V(X )
(a et b sont des constantes réelles).
Démonstration
Pour la première formule, X est une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé fini. Pour plus de clarté, il est judicieux de renommer l’espérance : notons λ = E(X ). Alors
¡
¢
V(X ) = E (X − λ)2
¡
¢
= E X 2 − 2λX + λ2
= E(X 2 ) − 2λE(X ) + λ2
= E(X 2 ) − (E(X ))2
(On a utilisé la linéarité de l’espérance, et le fait que l’espérance d’une variable
aléatoire constante est égale à cette constante) (on ne sera pas sans remarquer
le curieux assortiment de mots figurant dans l’expression « variable aléatoire
constante », tant une constante est peu variable et pas si aléatoire que ça).
Pour la deuxième formule, on peut par exemple utiliser la première :
¢
¡
V(a X + b) = E (a X + b)2 − (E(a X + b))2
¡
¢
= E a 2 X 2 + 2abX + b 2 − (aE(X ) + b)2
= a 2 E(X 2 ) + 2abE(X ) + b 2 − a 2 (E(X ))2 − 2abE(X ) − b 2
= a 2V (X )
(on utilise les mêmes propriétés que dans la démonstration précédente)
Rappel : Contrairement aux usages courants en analyse, on note ici de la même
manière un nombre réel et la « variable aléatoire » (fonction) constante qui prend
pour unique valeur ce nombre réel.
31