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ENSM – Cours Pi –Marc Bizet
2013-2014
Exercice 12
On considère un réel a > 1 et la fonction f définie
3
sur l’intervalle [ 1 ; + ∞ [ par f ( t ) = 2 .
2t
Exercice 9
X suit une loi binomiale B ( 50 ; 0,6 ) .
On pose Y =
X − 30
. On assimile Y à une
50 × 0,6 × 0,4
variable aléatoire suivant une loi N
1.
2.
Quel
théorème
l’approximation ?
En déduire une
P ( 20 ≤ X ≤ 24 ) .
( 0 ;1 ) .
permet
valeur
de
justifier
approchée
de
Exercice 10
On considère une variable aléatoire X suivant la loi
normale centrée réduite N ( 0 ; 1 ) . Dans cet exercice,
on donnera pour les probabilités demandées des
valeurs approchées à 10 −4 près.
1. A l’aide de la table, déterminer la probabilité
P ( X < 0,73 ) .
2. A partir de cette valeur, déterminer :
a. P ( X > 0,73)
1. Déterminer le réel a pour que f soit une densité
pour une loi de probabilité sur l’intervalle [ 1 ; a ] .
2. Le choix d’un nombre x au hasard dans
l’intervalle [ 1 ; 3 ] suit une loi de probabilité de
b. P ( X ≤ −0,73)
densité sur
c. P ( X ≥ −0,73)
3. Déterminer à l’aide de la table :
a. P ( X ≤ −0,55 )
P( x ≥1,5) ( x ≥ 2 ) .
[ 1;3 ] .
Calculer
Les
évènements
P ( x ≥ 2 ) , puis
( x ≥ 2)
et
( x ≥ 1,5 ) sont-ils indépendants ?
b. P ( X ≤ 0,77 )
c. A
partir
de
ces
résultats,
calculer P ( −0,55 ≤ X ≤ 0,77 ) .
4. Soit t un réel strictement positif. Exprimer
P ( X > −t ) puis P ( X ≤ −t ) en fonction de
3. On veut définir une loi de probabilité sur
k
l’intervalle [ 1 ; + ∞ [ par une fonction g : t ֏ 2 ,
t
où k ∈ ] 0 ; + ∞ [ .
a. Démontrer que g est une densité pour
une loi de probabilité sur [ 1 ; + ∞ [ si et
seulement si k = 1 .
b. On suppose que
k = 1 . Calculer
P ([ 1 ; 4 ]) ; en déduire P ([ 4 ; + ∞ [ ) .
∏ (t ) = P ( X ≤ t ) .
Exercice 11
Un chercheur a étudié l’âge moyen auquel les
premiers mots du vocabulaire apparaissent chez les
jeunes enfants. L’ étude montre que l’âge X
d’apparition (en mois) des premiers mots suit une loi
normale de moyenne 11,5 et d’écart-type 3,2 .
Exercice 13
On donne la définition suivante :
Si une variable suit une loi exponentielle de paramètre
λ , on appelle demi-vie de X le paramètre τ tel que :
P (0 ≤ X ≤τ ) = P ( X ≥τ ) .
1. Evaluer, à l’aide de la table :
a. La probabilité qu’un enfant ait prononcé
ses premiers mots entre 8 et 10 mois ;
b. La probabilité qu’un enfant ait prononcé
ses premiers mots avant 7 mois ;
c. La probabilité qu’un enfant ait prononcé
ses premiers mots après 10 mois.
2. Déterminer un intervalle I centré autour de la
moyenne qui permette d’affirmer : « la probabilité
que l’âge d’apparition des premiers mots
appartienne à I est 95 % .»
1. Démontrer que τ =
ln2
λ
.
2. Comparer la demi-vie avec l’espérance de la
variable aléatoire X .
3. Un fabricant a commercialisé un lot très important
d’oscilloscopes identiques, dont la durée de vie en
années est une variable aléatoire X suivant une
loi exponentielle de paramètre λ avec λ > 0 . On
sait que le seuil de 50 % d’oscilloscopes encore en
fonctionnement a été atteint après 5 années et
demie d’utilisation.
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