Download TD - Sfr

ENSM – Cours Pi –Marc Bizet
2013-2014
Exercice 35
Une variable aléatoire X suit une loi N (18;9 ) . On lui
1. Interprétez les résultats suivants :
a. NormCD(1,6,2,3) = 0,7745375448
b. NormPD(0.3) = 0.3813878155
c. InvNormCD(0.975,1,0) = 1.959963985
d. InvNormCD(0.45,4,10) = 9.497354613
X − 18
.
3
1. Quelle est la loi suivie par Y ?
2. En déduire grâce à la table, les probabilités
suivantes :
a. P ( X ≤ 21 )
associe la loi Y =
b.
c.
d.
e.
2. Quelle instruction donner à la machine pour
calculer, avec X variable aléatoire suivant la loi
normale N ( 0;1) :
P ( X ≥ 24 )
P ( 21 ≤ X ≤ 24 )
a.
P ( X ≥ 15)
b.
P (15 ≤ X ≤ 21)
c.
Exercice 36
On admet qu’une variable aléatoire qui suit la loi
normale N ( µ ;σ 2 ) a une fonction de densité définie
P ( X ≤ 3)
P ( X ≤ −1)
3. Quelle instruction donner à la machine pour
calculer, avec X variable aléatoire suivant la loi
normale N (10;4 ) :
sur ℝ par :
−
1
f (t ) =
e
σ 2π
P ( −0,7 ≤ X ≤ 0,8 )
a.
( t − µ )2
b.
2σ 2
P (10,1 ≤ X ≤ 10,8 )
P ( X ≤ 8)
Exercice 38
On a observé que la taille T des basketteurs, en cm,
suivait approximativement une loi normale (195;6 ) .
1. Déterminer, sans calcul, un intervalle dans lequel
la taille d’un basketteur pris au hasard a deux
chances sur trois de se trouver.
2. Un recruteur décide de restreindre sa recherche
aux basketteurs qui se situent dans le plus petit
intervalle I centré en 195 tel que P (T ∈ I ) ≈ 0,8 .
a. Déterminer cet intervalle.
b. Sachant que le meilleur basketteur français,
Tony Parker, mesure 1,86 m, que peut-on
penser du choix du recruteur ?
On a représenté ci-dessous trois telles fonctions de
densité. Déterminer pour chacune la valeur de µ et
σ , sachant que l’une des trois correspond à µ = 0 et
σ =1.
Exercice 39
 π π
On considère la fonction f définie sur  − ;  par
 2 2
f : t ֏ k cos t , où k ∈ ℝ .
Exercice 37 – calculatrice
Sur une Casio graph 35+, le mode d’emploi indique
ceci :
•
•
•
•
1. Déterminer le réel k pour que f soit la densité
 π π
d’une loi de probabilité sur  − ;  et la
 2 2
représenter graphiquement.
2. Soit X une variable aléatoire suivant la loi de
probabilité définie par f , calculer :
NormPD(x) : la densité de la loi normale
centrée réduite.
NormPD(x, σ , µ ) : la densité de la loi normale
de moyenne µ et d’écart-type σ .
NormCD(a,b) : la probabilité de l’évènement
P ( a ≤ x ≤ b ) avec la loi normale centrée
réduite.
NormCD(a,b, σ , µ ) :
la
probabilité
de
l’évènement P ( a ≤ x ≤ b ) avec la loi normale
de moyenne µ et d’écart-type σ .
a.
b.
π

P X > − 
6

π
 π
P− < X < 
4
 4
3. Déterminer le réel a tel que P ( − a < X < a ) =
4. Déterminer l’espérance de X .
-7-
1
2