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Remarques :
Avec l = d on retrouve le théorème 1.
Avec l = 2 on retrouve le théorème 3.
Le meilleur encadrement de k que peut fournir ce théorème est obtenu en prenant pour l le plus
petit diviseur de d différent de 1.
On trouvera une preuve du théorème 5 sur le site de l’irem (http://www.u-bourgogne.fr/irem). C’est
une démonstration technique où il faut manier les indices avec précaution. Je ne suis
malheureusement pas parvenu à simplifier cette démonstration.
Quelques exemples
On prend p = 337 , on a alors s = 336 = 2 4.3.7 .
On choisit alors de prendre s ' = 2 4 = 16 et d = 3.7 = 21 , c’est-à-dire que l’on scinde la période de
m / p en 21 blocs de 16 chiffres.
m
Si l’on écrit
= 0.u1 ... u 21 , le théorème 5 affirme que u1 + ... + u 21 = k × 9999999999999999
337
avec 7 ≤ k ≤ 14 .
Ces 8 valeurs de k sont effectivement atteintes (nous donnons les plus petites valeurs positives de
m):
k
k
k
k
k
k
k
k
= 7 pour 1/337
= 8 pour 3/337
= 9 pour 5/337
= 10 pour 9/337
= 11 pour 41/337
= 12 pour 17/337
= 13 pour 25/337
= 14 pour 21/337
Ces résultats ont été obtenus à l’aide du
logiciel Maple.
Le programme utilisé est présenté ci-contre.
> with(numtheory):
> kkk:=proc(p,d)
> local L,s,sr,i,j;
> for i from 1 to d-1 do L[i]:=[] od;
> s:=order(10,p);
> if irem(s,d)=0 then sr:=s/d;
> for j to p-1 do:
> i:=add(j*10^(k*sr),k=0..d-1)/padd(trunc(j*10^(k*sr)/p),k=1..d-1);
> if nops(L[i])=0 then
L[i]:=[op(L[i]),j];fi;od;fi;
> for i to d-1 do
print('k',i,L[i]);od;
> end:
> kkk(337,21);
On prend p = 229 , on a alors s = 228 = 2 2.3.19 .
On choisit de prendre s ' = 2 2 = 4 et d = 3 × 19 = 57 , c’est-à-dire que l’on scinde la période de
m / 229 en 57 blocs de 4 chiffres.
m
Si l’on écrit
= 0.u1 ... u 57 , le théorème 5 affirme que u1 + ... + u 57 = k × 9999 avec 19 ≤ k ≤ 38 .
229
Le théorème 5 autorise donc a priori 20 valeurs possibles pour k , mais l’on peut vérifier que si m
parcourt l’ensemble des entiers relatifs, seules 4 valeurs sont effectivement prises par k : les
valeurs 26, 27, 30 et 31.
On remarque sur cet exemple que 26 + 31 = 27 + 30 = d , ceci est justifié par le théorème 4.
Affiner l’encadrement ou décrire l’ensemble des valeurs effectivement prises par k me semble être
un problème ardu.
IV - ORDRE DE GRANDEUR MOYEN DE S(P): UNE CONJECTURE.
IV.1. Position du problème.
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