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Preuve.
A * = A ∩ C{A} 
 

  ⇒ A * = A ∩ CA  = A − A
Mais C{A} = CA 
î 
(1) î 
®
®
®
(c.q.f.d).
Définition 9. Soit A un sous-ensemble d'un espace E. On dit que A est PARTOUT
DENSE sur E, DENSE sur E, ou NON-DENSE sur E suivant que:
A = E; A a son interieur non vide, A a son interieur vide.
Définition 10. On dit que l'espace E est séparable si celui-ci contient un sous-ensemble
dénombrable partout dense.
Définition 11. On dit qu'un espace E est séparé lorsque deux points distincts quelconques
de E possèdent deux voisinages disjoints.
Les espaces les plus utiles sont toujours sépares; par exemple la droite R est
séparée. Dans un espace séparé, l'intersection des voisinages fermés d'un point a est réduite
à ce point. En effet, pour tout b≠a il existe deux ouverts disjoints a et b contenant
respectivement a et b, donc C{ b } est un voisinage fermé de a ne contenant pas b. En
particulier tout ensemble {a} est ferme puisqu'il est l'intersection de ses voisinages fermés.
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Définition 12. On dit qu'un espace E est COMPACT s'il est séparé et si de tout
recouvrement ouvert de E on peut extraire un sous-recouvrement fini.
Il existe de nombreux espaces qui, sans être compacts, se comportent localement
comme un espace compact; c'est le cas de R par exemple. De façon précise:
Definition 13. On appelle espace LOCALEMENT COMPACT tout espace séparé E dont
tout point possède au moins un voisinage compact.
Exemples.
1. Tout espace compact est localement compact.
2. Tout espace topologique discret est localement compact (exemple Z).
3. La droite R est localement compacte; en effet, d'abord R est séparée; ensuite, pour tout
x appartenant à R il existe a et b appartenant à R tels que a<x<b et [a,b] est un
voisinage compact de x. R n'est pas compacte.
4. Le sous-espace Q de R n'est ni compact, ni localement compact; en effet, supposons
par exemple que O possède dans Q un voisinage compact V; le voisinage V de O
contient un sous-voisinage de la forme Q∩[-a,a]; comme ce dernier est fermé dans Q,
l'ensemble A= Q∩[-a,a] serait alors compact; or ceci est manifestement faux puisque,
pour tout irrationnel x dans [-a,a] la suite décroissante des fermés A∩[x-1/n,x+1/n] a
une intersection vide.
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