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CHAPITRE 5. SOURCES DE MODULES SIMPLES
Autrement dit, nous allons nous donner un nombre premier p, un système pmodulaire (K, O, k) et un groupe P ∈ T . Ensuite, nous allons construire un
groupe fini p-nilpotent G (et donc p-résoluble) qui admet P comme p-sousgroupe de Sylow et dont le plus grand sous-groupe normal d’ordre premier à p
est un q-groupe extraspécial, pour un certain nombre premier q, judicieusement
choisi. Puis, nous allons considérer un kG-module simple L, lui aussi bien choisi,
et calculer sa source S. Il résultera à la fin de cet exercice que toutes les sources
S possibles sont obtenues à l’aide de ce procédé.
Commençons par des préliminaires sur les automorphismes des q-groupes
extraspéciaux. Cela va nous être utile pour construire des groupes p-nilpotents.
5.1
Encore des q-groupes extraspéciaux
Nous avons déjà défini ces groupes au chapitre 4. Dans cette section, nous
allons donc nous contenter d’apporter quelques compléments concernant leur
groupe d’automorphismes.
Soient q un nombre premier impair et Q un q-groupe extraspécial, d’ordre
q 3 et d’exposant q. Rappelons que son centre est cyclique d’ordre q et coı̈ncide
avec le sous-groupe Q0 des commutateurs. En d’autres termes, Q est engendré
par deux éléments x et y d’ordre q, satisfaisant la relation yx = x[y, x], tels que
le commutateur z = [y, x] = yxy −1 x−1 est d’ordre q et engendre Q0 .
Le groupe quotient Q/Q0 est un Fq -espace symplectique de dimension 2, pour
la forme symplectique notée [ , ] et induite par les commutateurs. Autrement
0
dit, la matrice de[ , ] dans
la base {x̄, ȳ} de Q/Q (si g ∈ Q, on note ḡ sa classe
0 1
dans Q/Q0 ) est
. Ainsi, le groupe des automorphismes de l’espace
−1 0
0
symplectique Q/Q est le groupe symplectique Sp2 (Fq ), qui est égal à SL2 (Fq )
(cf. Hilfsatz 9.12 [Hu1]).
Notons AutQ0 (Q) le sous-groupe de Aut(Q) formé des automorphismes de
Q dont la restriction à Q0 est l’identité. On a un homomorphisme de groupes
π : AutQ0 (Q) −→
ϕ 7−→
où π(ϕ)(ḡ) =
SL2 (Fq )
π(ϕ) ,
ϕ(g), ∀ g ∈ ḡ, ∀ ḡ ∈ Q/Q0 et ∀ ϕ ∈ AutQ0 (Q).
Cette application π est bien définie, car, si ĝ ∈ ḡ, alors il existe h0 ∈ Q0 , tel que
ĝ = gh0 , et on a
ϕ(ĝ) = ϕ(g)ϕ(h0 ) = ϕ(g)h0 ∈ ϕ(g).
C’est clairement un homomorphisme de groupes, puisque ϕ l’est. De plus, π est
surjectif. En effet, considérons
ϕ : Q −→
x 7−→
y 7−→
Q
xy
yz
et
ψ : Q −→
x 7−→
y 7−→
Q
x
xy .