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4.2. UN CAS PARTICULIER
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Remarque 4.2.5. Le corollaire ci-dessus constitue la raison principale qui nous
a incités à étudier le groupe de Dade d’un 2-groupe extraspécial du type D8∗n . En
effet, le fait que le groupe de Dade est sans torsion rend son analyse plus aisée.
Signalons également que ce résultat est démontré dans la section 12 de [CaTh2].
Toutefois, nous avons tenu à le redémontrer ici, car il nous permet de mettre
en évidence d’autres caractéristiques de ces 2-groupes.
Par la proposition 4.1.11, pour déterminer le groupe de Dade de P , il suffit
de déterminer E(P ). En effet, P/Z est abélien et donc D(P/Z) est engendré
par les syzygies relatifs ΩP /Q , où Q parcourt les sous-groupes de P contenant Z
et d’indice au moins 3 dans P (cf. théorème 2.0.13). Afin de déterminer E(P ),
on retiendra du corollaire 4.2.4 les deux conséquences suivantes :
1. Le sous-groupe E(P ) de D(P ) est sans torsion.
2. T (P ) = <ΩP > ∼
= Z, si n ≥ 2 (cf. assertions 2 et 3 du théorème 1.5.5).
Comme le groupe de Dade D(D8 ) est connu (cf. théorème 10.3 de [CaTh1]),
nous allons dorénavant supposer n ≥ 2.
Par le corollaire 4.2.4, E(P ) est un Z-module libre. Calculons son rang rE .
Par la proposition 4.1.11, on a rE = rP − rP/Z , où rP et rP/Z sont les rangs
de D(P ) et D(P/Z) respectivement.
Par l’assertion 5 du théorème 1.5.5, on sait que rP et rP/Z sont égaux au
nombre de sous-groupes non cycliques de P et respectivement P/Z.
Considérons les notations introduites en début de section et notons c le
nombre de sous-groupes cycliques d’ordre 4 et d le nombre de sous-groupes
normaux d’ordre au moins 4. Le nombre de classes de conjugaisons des sousgroupes non cycliques de P vaut
rP = (d − c) + (q − qn,1 ) .
Qu’en est-il de rP/Z ? L’ensemble des sous-groupes cycliques de P/Z est
en bijection avec l’ensemble constitué des sous-groupes cycliques d’ordre 4 et
des sous-groupes abéliens élémentaires de rang 2 contenant Z. Ainsi, par la
remarque du début de cette section, le nombre de sous-groupes non cycliques
de P/Z vaut :
rP/Z = d − (c + qn,1 )
et donc rE = rP − rP/Z = q .
Autrement dit, on a montré le résultat suivant.
Théorème 4.2.6. E(P ) est un Z-module libre de rang q.
Remarque 4.2.7. Il résulte de la section 7 de [Bo1], que le groupe quotient
D(P )/DΩ (P ) est fini. Par suite, comme
D(P ) ∼
= E(P ) ⊕ D(P/Z)
et comme
D(P/Z) = DΩ (P/Z),
on obtient un isomorphisme de groupes
D(P )/DΩ (P ) ∼
= E(P ) E(P ) ∩ DΩ (P ) = E(P )/E Ω (P ),