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DOSSIER TECHNIQUE Anticipation des mouvements de marchés Peut-on anticiper des événements extrêmes sur les marchés ? Un modèle acceptable doit être capable de rendre compte de ses propriétés. Le fait que les s se diffusent à travers toute la surface indique que la dynamique de la Un nappe de volatilité modèle acceptable doit être capable de rendre icite peut être décomposée en un petit nombre de mouvements élémentaires. Dans son chocs se diffusent livre à travers toute la surface indique q parametric Modeling of Implied Volatility, Fengler détermine les facteursimplicite suffisants pour explipeut être décomposée en un petit nombre de Adrien Genin la majeure partie de la dynamique de la nappe en effectuant une analyse en composantes Semiparametric Modeling of Implied Volatility, Fengler dé cipales de la nappe de volatilité. Il montre qu’on peut son conserver de quer la nappe trois compoAdrien Genin a effectué Master 2 Ingénierie Financière et Modèles Aléatoires la majeure partie de laà l’Université dynamique de la nappe e Paris 6.en Au sein d’Opusde Finance Research, ilprincipales prépare sa thèsede surrotation les différentes d’anticipaes principales permettant son interprétation termes mouvements : translation, la nappe deméthodes volatilité. Il montre qu’on tions de la volatilité. Ses compétences mathématiques des processus stochastiques et de l’analyse formations. santes principales permettant son interprétation en ter lui permettent de proposer de valorisation et les indicateurs de risque ((début encadré PARTIE TECHNIQUE:numérique Vous avez dit volatilité ! ? des méthodes et déformations. innovants qui leur sont associés. achissons nous la mémoire ! ))) (((début encadré PARTIE TECHNIQUE: Vous avez Rafrachissons nous la mémoire ! ))) uite à l’échec du modèle de Black Scholes, de nombreux modèles ont été développés pour re compte des propriétés de la nappe de volatilité implicite. Les modèles à volatilité locale Suite à l’échec du les modèle de Black epuis 2007, la crise financière l’a démontré à de nombreuses reprises : impacts des Scholes, de no été introduits par Dupire en 1994, Pricing with a smile, comme une généralisation du modèle rendre compte des propriétés de la nappe de volatilit de régime sontunetrès partiellement diffusés surpar ladunappe de volatilité, lack-Scholes. Labrusques volatilité changements étant est modélisée comme fonction déterministe du prix ont été introduits Dupire en 1994, Pricing with a sm en échec lespermettent modèles usuels, incapables d’anticiper événements extrêmes. Pour -jacent et dumettant temps, ces modèles de rendre compte du smile de les volatilité implide Black-Scholes. La volatilité étant est ymodélisée com De plus en n’introduisant pas un deuxième facteur de risque, ils permettent de conserver la faire face, nous proposons ici une idée très pragmatique... sous-jacent et du temps, ces modèles permettent de re plétude du marché qui assure l’unicité des prix et la réplication des cite. actifsDecontingents. Ces plus en n’introduisant pas un deuxième facteu èles sont calibrés avec les prix ou la nappe de volatilité implicite des complétude options vanilles et utidu marché qui assure l’unicité des prix e intégrant l’information d’un choc bru- ● Les rendements du sous-jacent et les rendements de la notamment Est-il pourpossible trouverenles prix et les stratégies de couvertures desmodèles optionssont exotiques. Ils calibrés les prix ou la nappe de vol corrélésavec négativement, tal dans ces modèles de les rendre plus fiables ? Black et volatilité implicite sont sent sur le concept de volatilité locale, définie comme le carré de l’espérance sous la probabiliséssur notamment les prix et les stratégies un point de lapour nappetrouver impacte tous les autres Litterman ont proposé une approche intéressante pour l’al- ● Un choc isque neutrelocation de la variance instantanée sachant que lepermetprix du sous-jacent égalleau strike de volatilité locale, définie com reposent sur concept points de la est nappe. d’actifs directement cotés sur le marché option à la maturité et toute l’information disponible à latradidate t. tant d’associer la gestion quantitative et la gestion lité risque neutre de la variance instantanée sachant q Un modèle acceptable doit être capable de rendre compte tionnelle de portefeuille. de l’option à la maturité et toute l’information disponib 2 2 σK,T (St , t) = σ (ST , T, .) |ST = K, Ftde ces propriétés. Le fait que les chocs se diffusent à trade la nappe 2 L’idée principale est de confronter les opinions du gestion- vers toute la surface indique que la dynamique 2 σK,T (S σ (ST , T, t , t) = lle peut donc s’interpréter comme le consensus de marché de la volatilité instantanée à la ma- D naire aux données pour créer une nouvelle prévision en ac- de volatilité implicite peut être décomposée en un petit é et au strikecord de l’option considérée. La volatilité s’interprète une estimation nombrecomme de mouvements élémentaires. Dans son livre « Seavec les deux précédentes. L’objectif implicite de nos travaux Elle peut donc s’interpréter comme le consensus de miparametric Modeling of Implied Volatility », Fengler marché de la de volatilité la vie de l’option. locale contient donc la recherchemoyenne sur ce sujetdurant est d’appliquer cette méthodeLa auxvolatilité turité et au strike de l’option considérée.déLa volatilité im termine lesmarché facteurs suffisants pour expliquer la majeure produits dérivés et de l’insérer dans des modèles à volatilité ision de la volatilité instantanée à la maturité alors que la volatilité implicite est une moyenne du de la volatilité moyenne durant la vie de l’o la dynamique de la nappe en effectuant une anastochastique, pour pallier échecs dans les phases ins- partie de volatilité sur toute la durée de vieleurs de l’option. prévision de la volatilité instantanée à la maturité alors lyse en composantes principales de la nappe de volatilité. Il tables en y ajoutant de l’information. Le modèle présenté es modèles à volatilité stochastique modélisent la volatilité comme unde processus de diffusion la volatilité sur trois toute la durée de vie de l’option. montre qu’on peut conserver composantes principales permet de créer un curseur entre un stress test etne le fournissent modèle. élés avec le processus du sous-jacent. Ces modèles pas toujours des formules Les modèles à volatilité stochastique la v permettant son interprétation en termes de mouvementsmodélisent : ées pour les prix des options européennes et la calibration des paramètres peut nécessiter des corrélés avecetledéformations. processus du sous-jacent. Ces modèles translations, rotations UNE MODÉLISATION DE LAenNAPPE rithmes sophistiqués et difficile à mettre oeuvre d’un point de vue industriel. fermées pour les prix des options européennes et la cali ((fin de l’encadré))) L’un des modèles à volatilité stochastique les plus àutilisés, DE VOLATILITÉ algorithmes sophistiqués et difficile mettre en oeuvre ) comporte 4 paramètres le modèle SABR (stochastic’un des modèle à volatilité stochastique les plus utilisés, le modèle SABR (stochastic-αβρ) (((fin de l’encadré))) qui rendent compte indirectement propriétés citées par La nappequi de volatilité estindirectement un objet complexedes et de porte 4 paramètres rendentimplicite compte propriétés citées par Fengler. L’un des modèleLe àdes volatilité stochastique les plus Fengler. Le choix de SABR s’explique par sa simplicité et grande dimension. Fengler quelquesde prox de SABR s’explique par saCependant, simplicité et parexpose l’existence formules approchées pour la vocomporte 4 paramètres qui rendent compte indirectem pour la volatilité et communes à de nombreux marchés : par l’existence té implicite. priétés Dans remarquables sa version initiale, le modèle ne peut pas rendre compte dedelaformules nappe approchées dans choix par sa ne simplicité implicite. DansdesaSABR versions’explique initiale, le modèle peut pas et par l’exis talité car il ● n’intègre pas le temps jusqu’à la maturité : il modélise simplement le smile : latilité de implicite. Danssasatotalité version Le smile est d’autant plus prononcé que le temps restant rendre compte la nappe dans car ilinitiale, n’intègrele modèle ne Le modèle SABR dynamique permet de pallierpas cette lacune maiscar nous → σimplicite (K). sa totalité il n’intègre pas simplement le temps jusqu’à la ma jusqu’à la maturité est petit, le temps jusqu’à lanous maturité : il modélise le entons ici de●résonner à maturité fixée. Lelamodèle plus que les(K). autres Un minimum est atteint près de monnaie,SABR n’est pas . Le modèle SABR dynamique perm smile : Krobuste −→ σimplicite èles stochastiques face de à volatilité des mouvements la volatilité ou du sous-jacent, mais ● Le niveau est plus élevéextrêmes du côté put de en dehors contentons ici de résonner à maturité fixée. Le modèle de laaisément monnaie que du côté call leurs en dehors de la monnaie, SABR dynamique permetface de pallier lacune t des paramètres calibrables, appliquer les loisLedemodèle transformations définies modèles stochastiques à descette mouvements extrêm ● La volatilité de la volatilité implicite décroît avec le mais nous nous contentons ici de raisonner à maturité fixée. leurs appl le formalisme de Black Litterman permet d’imposer une vue sur la totalité de la nappe. Leaisément calibrables, ayant des paramètres temps restant jusqu’à la maturité, Le modèle SABR n’est pas plus robuste que les autres moavec le formalisme de Black Litterman permet d’impo 2 18 LL aa rr ee vv uu ee dd ‘‘ OO pp uu ss FF ii nn aa nn cc ee Nº1 • décembre 2012 2 DOSSIER TECHNIQUE Un modèle acceptable doit être capable de rendre compte de ses propriétés. Le fait que les chocs se diffusent à travers toute la surface indique que la dynamique de la nappe de volatilité implicite peut être décomposée en un petit nombre de mouvements élémentaires. Dans son livre dèles stochastiques Modeling face à desofmouvements extrêmesFengler de choix s’est portéles surfacteurs l’anticipation des mouvements de la Semiparametric Implied Volatility, détermine suffisants pour explila volatilité ou du sous-jacent, mais ayant des paramètres nappe de volatilité mais nous aurions également pu choisir quer la majeure partie de la dynamique de la nappe en effectuant une analyse en composantes aisément calibrables, leur appliquer les lois de transfor- de l’appliquer aux courbes de taux, aux taux de change ou principales la nappe de volatilité. montre qu’on peut conserver de la nappe trois compomations définiesde avec le formalisme de Black IlLitterman bien directement sur le sous-jacent : la couverture en delta santes principales permettant son interprétation en termes de mouvements : translation, rotation permet d’imposer une vue sur la totalité de la nappe. Le est souvent mieux gérée que la couverture en vega. et déformations. (((début encadré PARTIE TECHNIQUE: Vous avez dit volatilité ! ? Rafrachissons nous la mémoire ! ))) VOUS AVEZ DIT VOLATILITÉ ? RAFRAÎCHISSONS-NOUS LA MÉMOIRE ! Suite à l’échec du modèle de Black Scholes, de modèles nombreux modèles ontpour été rendre développés Suite à l’échec du modèle de Black-Scholes, de nombreux ont été développés compte pour des propriétés de la nappe de volatilité implicite. Les modèles à volatilité locale ont été introduits par Dupire en 1994, rendre compte des propriétés de la nappe de volatilité implicite. Les modèles à volatilité locale « Pricing with a smile », comme une modèle de Black-Scholes. ont été introduits par Dupire en généralisation 1994, Pricingduwith a smile, comme une généralisation du modèle de Black-Scholes. La volatilité étant est modélisée comme une fonction déterministe du prix du La volatilité étant modélisée comme une fonction déterministe du prix du sous-jacent et du temps, ces modèles sous-jacent et du temps, ces modèles permettent de rendre compte du smile de volatilité implipermettent de rendre compte du smile de volatilité implicite. De plus, en n’introduisant pas un deuxième facteur cite. De plus en n’introduisant pasla un deuxième facteurqui deassure risque, ils permettent conserver de risque, ils permettent de conserver complétude du marché l’unicité des prix et lade réplication des la complétude du marché qui assure l’unicité des prix la réplication actifsdescontingents. Ces actifs contingents. Ces modèles sont calibrés avec les prix ou laetnappe de volatilitédes implicite options vanilles modèles calibrés avec les prix ouetlalesnappe de de volatilité implicite desexotiques. options vanilles et utiet utiliséssont notamment pour trouver les prix stratégies couvertures des options lisés notamment pour trouver les prix et les stratégies de couvertures des options exotiques. Ils Ils reposent conceptde de volatilité volatilité locale, définie comme l’espérance sous probabilité risque de la reposent sursur le le concept locale, définie comme le carré delal’espérance sousneutre la probabivariance instantanée sachant que le prix du sous-jacent est égal au strike de l’option à la maturité et toute l’inforlité risque neutre de la variance instantanée sachant que le prix du sous-jacent est égal au strike disponible à la date et t. toute l’information disponible à la date t. demation l’option à la maturité 2 σK,T (St , t) = σ 2 (ST , T, .) |ST = K, Ft Elle peut donc s’interpréter comme le consensus de marché de la volatilité instantanée à la ma- Elle peut donc s’interpréter comme le consensus de marché de la volatilité instantanée à la maturité et au strike de turité et au strike de l’option considérée. La volatilité implicite s’interprète comme une estimation l’option considérée. La volatilité implicite s’interprète comme une estimation du marché de la volatilité moyenne dudurant marché volatilité moyenne vielade l’option. volatilité locale àcontient la viede de la l’option. La volatilité localedurant contientladonc prévision de laLa volatilité instantanée la maturitédonc alors la prévision de la implicite volatilité alors la volatilité implicite une moyenne que la volatilité estinstantanée une moyenne à dela la maturité volatilité sur touteque la durée de vie de l’option. Lesest modèles à volatidelité la stochastique volatilité sur toute lala durée decomme vie deunl’option. modélisent volatilité processus de diffusion corrélé avec le processus du sous-jacent. Les modèles à volatilité stochastique modélisent la volatilité comme un processus de diffusion Ces modèles des formules fermées pour les prix des options européennes et la cacorrélés avec ne le fournissent processuspas dutoujours sous-jacent. Ces modèles ne fournissent pas toujours des formules libration des paramètres peut nécessiter des algorithmes sophistiqués et difficiles à mettre en oeuvre d’un point fermées pour les prix des options européennes et la calibration des paramètres peut nécessiter des de vue industriel. algorithmes sophistiqués et difficile à mettre en oeuvre d’un point de vue industriel. (((fin de l’encadré))) L’un des modèle à volatilité stochastique les plus utilisés, le modèle SABR (stochastic-αβρ) comporte 4 paramètres qui rendent compte indirectement des propriétés citées par Fengler. Le RISQUER PLUS POUR GAGNER PLUS ! et par l’existence de formules approchées pour la vochoix de SABR s’explique par sa simplicité latilité implicite. sapremier version initiale, le modèle peut pascherche rendreà compte nappe Markowitz (1959)Dans a été le à quantifier le fait qu’un ne investisseur minimiserde le la risque pourdans un sarendement totalité car n’intègre pas le actif temps jusqu’à : il modélise simplement le smile : fixé.ilPlus la volatilité d’un est élevée pluslasonmaturité prix sera susceptible d’avoir de grandes amplitudes le risque est élevé. Ainsidynamique naquit l’étudepermet de la volatilité et de sa dynamique. et (K).deLeprix modèle SABR de pallier cette lacune Black-Scholes mais nous nous Ket−donc → σplus implicite Merton publient en 1973 un article qui va révolutionner le monde de la finance quantitative. contentons ici de résonner à maturité fixée. Le modèle SABR n’est pas plus robuste que les autres modèles stochastiques face à des mouvements extrêmes de la volatilité ou du sous-jacent, mais La volatilité est supposée constante mais inconnue, il faut donc inverser la formule pour obtenir la volatilité ayant des paramètres aisément calibrables, leurs appliquer les lois de transformations définies nécessaire afin de disposer du prix de marché des options européennes. Cette volatilité est appelée « la volatilité avec le formalisme de Black Litterman permet d’imposer une vue sur la totalité de la nappe. Le implicite ». Cependant, l’observation de la volatilité implicite en fonction du prix d’exercice et du temps restant jusqu’à la maturité de l’option fait apparaître une nette courbure en prix d’exercice et en temps. La volatilité n’est donc pas constante. 2 Le modèle de Black-Scholes n’a pas été abandonné pour autant, au contraire, aujourd’hui de nombreux produits sont cotés en volatilité implicite. Une option étant un pari sur l’évolution future du sous-jacent, sa volatilité implicite est donc une grandeur qui mesure le futur, à l’inverse de la volatilité historique. La nappe de volatilité implicite contient donc non seulement l’information sur les prix mais aussi sur l’évolution future du sous-jacent. L’étude de sa dynamique est donc fondamentale. La revue d‘Opus Finance Nº1 • décembre 2012 19 DOSSIER TECHNIQUE choix s’est sur l’anticipation des mouvements de la de volatilité mais nous aurions choix s’est porté surporté l’anticipation des mouvements de la nappe denappe volatilité mais nous aurions également de auxmouvements courbes denous taux, tauxde deou change ou biennous directement r l’anticipation des mouvements lal’appliquer nappe de des volatilité mais choix s’est pu porté surdel’anticipation de aurions laaux nappe volatilité mais aurions également pu choisir dechoisir l’appliquer aux courbes de taux, aux taux de change bien directement sur le sous-jacent : la couverture en delta est souvent mieux gérée que la couverture en vega. r de sur l’appliquer aux courbes de taux, aux tauxest de souvent change ou bien directement également choisir deen l’appliquer aux courbes degérée taux, aux la taux de change bien directement le sous-jacent : lapu couverture delta mieux que couverture enou vega. mouvements desous-jacent la volatilité mais aurions (((début encadré PARTIE TECHNIQUE: LeSABR modèle et ses principaux résultats mathécipation des mouvements de lade nappe de volatilité aurions choix s’est porté sur l’anticipation des mouvements de la de mais nous aurions choix s’est porté l’anticipation des mouvements de la nappe nappe de volatilité volatilité mais nous aurions ades couverture en delta estnappe souvent gérée que lamais couverture enmieux vega. sur le :sur lamieux couverture ennous delta estnous souvent gérée que larésultats couverture en vega. (((début encadré PARTIE TECHNIQUE: Le modèle et SABR ses principaux mathéréppliquer aux courbes de taux, aux taux de change ou bien directement matiques ))) aux courbes de taux, aux taux de change ou bien directement également pu choisir de l’appliquer aux courbes de taux, aux taux de change ou bien directement également pu choisirPARTIE de l’appliquer aux courbes de taux,SABR aux taux deprincipaux change ou résultats bien directement PARTIE TECHNIQUE: modèle SABR et ses principaux mathéencadré TECHNIQUE: Le résultats modèle et ses mathématiques ))) (((débutLe delta est souvent mieux gérée que la couverture en vega. Le modèle SABR est un modèle à deux facteurs décrivant de manière couplé le cours forward Ft erture en delta est souvent mieux gérée que la couverture en vega. sur le sous-jacent : la couverture en delta est souvent mieux gérée que la couverture en vega. sur le sous-jacent : la couverture en delta est souvent mieux gérée que la couverture en vega. matiques ))) Le modèle SABR est un modèle à deux facteurs décrivant de manière couplé le cours forward Ft HNIQUE: Le modèle SABR et ses principaux résultats mathéetdeux la volatilité αdécrivant : est un Le modèle etmodèle ses principaux résultats mathé(((début encadré PARTIE TECHNIQUE: Le modèle SABR et résultats mathétSABR (((début encadré PARTIE TECHNIQUE: Lecours modèle SABR ses principaux principaux résultats mathétIEunTECHNIQUE: modèle àLe de manière couplé le forward modèle SABR à deux facteurs décrivant de F manière couplé le cours forward Ft et la volatilité αfacteurs tet ses t : matiques ))) matiques ))) αt : et la volatilité β MATHÉMATIQUES 1 LEmodèle MODÈLE SABR ET modèle SESlePRINCIPAUX RÉSULTATS dF deux deSABR manière couplé cours forward Ft décrivant 1αt Ft dW t β= odèlefacteurs à deux décrivant facteurs décrivant de un manière couplé le cours forward Ft t de Le est ààt deux facteurs Le modèle SABR est un modèle deux facteurs de manière manière couplé couplé le le cours cours forward forward FFtt = α dF t Ft dWdécrivant t β β t2 1 1 dα = να dW 2 t t et la volatilité α : = α F dW dF Le modèle SABR est un modèle à deux facteurs décrivant de manière couplée le cours forward F et la volatilité αt : et la volatilité αtt t: t =t αt Ft dWt dαt = dF ναtt dW t t t 2 2 =β να dWt un processus dαt la =loi να tsuit Le dα forward Ft1processus dont estt dW déterminé par le paramètre modèle β et la t 1t suit ββ par Fttα un dont la loi est déterminé 11 le paramètre modèle β et la αttFtβ= dW dFt Le=forward F dW dF = α F dW dF t dF = α F dW t t t t t t t t t volatilité α suit2F unsuit processus log-normal deloi volatilité ν, volatilité de lamodèle volatilité. 2 un uit un processus dont latprocessus loi est déterminé par le paramètre modèle βt appelée et la forward un processus dont la est déterminé le paramètre la par volatilité αtttLe suit log-normal de volatilité appelée la2 volatilité. Ces β etCes dα να dW t = dα = t ναt dWt t dα 1 ,de t2t2 1volatilité dαtt = =ν,να να dW ttdW = ρdt. Les paramètres dW deux processus sont corrélés via leurs mouvements browniens dW 2 t t processus log-normal volatilité ν, appelée volatilité de la volatilité. Ces volatilité αde suit un processus log-normal de volatilité ν, appelée volatilité de la volatilité. Ces = ρdt. Les paramètres , dW deux processus sont corrélés via leurs mouvements browniens dW t t β et la modèle tρ et1ν. 2 us dont lavia loi est déterminé par le paramètre 2(la du modèles calibrer sont α1lavolatilité =loiαmouvements initiale), processus dont la loi est Fàdéterminé par levia paramètre modèle βbrowniens et laet forward FFttun suit un processus dont la loi est déterminé par le modèle ββ et 0est Le forward suit un=donc processus dont la loiLes est déterminé par le paramètre paramètre modèle et la la =volatilité ρdt. paramètres corrélés leurs mouvements browniens Le forward suit processus dont par paramètre modèle volatilité αt suit un Les paramètres deux processus sont corrélés leurs du modèles àLe calibrer donc α α (la initiale), β, ρle ν. β, dW t , dW t déterminée 0dW t , dWtβ et=laρdt. tsont normal de volatilité ν, appelée volatilité de la volatilité. Ces Le coefficient β détermine la loi du forward : le cas β = 1 produit une loi log-normale et la cas ssus log-normal de volatilité ν, appelée volatilité de la volatilité. Ces volatilité α suit un processus log-normal de volatilité ν, appelée volatilité de la volatilité. Ces processus log-normal de volatilité υ , appelée volatilité de la volatilité. Ces deux processus sont corrélés via leurs volatilité α suit un processus log-normal de volatilité ν, appelée volatilité de la volatilité. Ces ttà calibrer du er sont donc αdu = modèles α0 (laβvolatilité initiale), β, forward ρ et donc αν. = α0: le (lacas volatilité initiale),une β,ρloi et log-normale ν. Le coefficient détermine lasont β = 1 produit et la cas loi 1 , dW 2 = 1 , dW 2Les 11, dW 22n’est ρdt. paramètres rs via mouvements browniens dW β = 0 produit une loi normale. Contrairement aux autres paramètres, il pas déterminé dW = ρdt. Les paramètres és leurs mouvements browniens mouvements browniens . Les paramètres du modèle à calibrer sont donc αLes = αpar (la et volatit t = ρdt. deux processus sont corrélés via leurs mouvements browniens dW = ρdt. Les paramètres , dW deux processus sont corrélés via leurs mouvements browniens dW t t détermine la loi du forward : le cas β = 1 produit une loi log-normale et la cas 0paramètres t t Le coefficient β détermine la loi du forward : le cas β = 1 produit une loi log-normale la par cas β = 0 produit une loi normale. Contrairement aux autres paramètres, il n’est t past déterminé = α (la volatilité initiale), β, ρ et ν. lité initiale), β , et υ . l’algorithme de calibration mais par des considérations spécifiques au marché. 0 (la volatilité initiale), β, ρ et ν. donc α = α du modèles à calibrer sont donc α = α (la volatilité initiale), β, ρ et ν. 0 du modèles à calibrer sont donc α = α (la volatilité initiale), β, ρ et ν. 0 loi normale. Contrairement aux autres paramètres, il0 n’est pas déterminé par β =de 0 produit unemais loi normale. Contrairement aux autres au paramètres, l’algorithme calibration par des considérations spécifiques marché. il n’est pas déterminé par du la forward :par le cas produit une loi mais log-normale et la dans cas:: le Hagan, Kumar, etpar Woodward Managing Smile Risk trouvent ine loimais du forward := le1Lesniewski cas β calibration =ββ1Lesniewski produit une loi log-normale et la Le détermine la loi forward cas ββspécifiques = 1Managing une loi log-normale et Leβcoefficient coefficient détermine la du forward lel’article cascas =fondateur 1 produit produit une loi log-normale et la la cas cas bration des considérations spécifiques audu marché. l’algorithme de des considérations au marché. Hagan, Kumar, et Woodward dans l’article fondateur Smile Risk trouvent Le coefficient β détermine la loi du forward : le cas β = 1 produit une loi log-normale et le cas β = 0 produit une ntrairement aux autres paramètres, il n’est pas déterminé par une formule approchée pour la volatilité implicite. male.une Contrairement aux autres paramètres, il n’est pas déterminé par β = 0 produit une loi normale. Contrairement aux autres paramètres, il n’est pas déterminé par β = 0 produit une loi normale. Contrairement aux autres paramètres, il n’est pas déterminé par Lesniewski et Woodward dans l’article fondateur Managing Smile Risk trouvent Hagan, Kumar, Lesniewski et Woodward dans l’article fondateur Managing Smile Risk trouvent formule pour la volatilité implicite. loiapprochée normale. Contrairement aux autres paramètres, il n’est pas déterminé par l’algorithme de calibration mais par rhée despour considérations spécifiques au marché. mais par la des considérations au marché. l’algorithme de calibration mais par spécifiques l’algorithme despécifiques calibration mais par des des considérations considérations spécifiques au au marché. marché. volatilité implicite. une approchée pour la volatilité implicite. desformule considérations spécifiques au marché. oodward dans l’article fondateur Managing Smile Risk trouvent trouvent wski et Woodward dans l’article fondateur Managing Smile Risk trouvent Hagan, fondateur Smile Hagan, Kumar, Kumar, Lesniewski Lesniewski et et Woodward Woodward dans dans l’article l’article fondateur Managing Managing Smile Risk trouvent z Risk α z α atilité implicite. ur la volatilitéune implicite. σ (K, f ) = formule approchée pour la volatilité implicite. une formule approchée pour la volatilité implicite. implicite Hagan, Kumar, Lesniewski et Woodward dans l’article fondateur « Managing Smile Risk » trouvent une formule 2 4 1−β 2 f4 4 f σimplicite (K, f ) =α (1−β) x(z) 2 1−β 2 z α K + 4(1−β) (1−β) (1−β) f log x(z) 1log + 2 24f zlog approchée pour la volatilité implicite. 2= (f1K) 1920 log + + (f K) (K, f ) = K σ (K, f ) implicite 2 4 1−β24 1−β 1920 K K 2 4 4 f (1−β) K)log (1−β) 2 f x(z) 2 f 4 f x(z) (1−β) (f K) 2 α 1 + (1−β) 1K+ (f 2 z 22 (1 − 24 1920 1920 log K1 +αβρν K3ρ2 z 2 24 αlog α log K + β) 2 − z α 2 2 z α 2 (1 − β) α 1 αβρν 2 − 3ρ = 1 + ν t + + σ (K, f ) = 2 4 2 −β σ (K, f ) = ex implicite 2 1−β implicite 22 1−β 1−β44 ν 1−β 1 1+f 4αβρν + K) +αβρν (1−β) 22(1−β) f2 log(1−β) f 1−β 2 −f β)2+ 2(1−β) (1−β) ex ff1 ff3ρ2 2 (1−β) (1−β) 24 4 (f x(z) 4 x(z) x(z) 22 1−β 2 + (1−β) 1−β (f αK 2 K) − 3ρ 2 log 22(1 − β) α2log 244 −t24 + (1 + 41920 (f1K) K) (f K) 11x(z) + + 24 24 4 2 log log + + (f K) 24 1 log K log 2 (f 24K log 1920 K 2 24 K 1920 K 24 1920 K K (f K) 1 + ν t + + 1 + ex1−β + ν tex + 24 (f K) 1−β 24 2 (f K)1−β 4 K) 24 4 (f K) 1−β 2 22 2 2 2 2 (1 − β)2 (1 − α2β)2 où :α 1 αβρν 1 αβρν 2 − (f 3ρ2 22 2− 3ρ2(1 α αβρν − β) 1 2 − 3ρ (1 − β) α 1 αβρν 2 − 3ρ 2 t+ ex ν 1 + où : 1−β + 1−β +1−β + 1−β +ν 11 + tex νν22 ttex + + ex 1−β 1−β + 1−β + 24 (f K) 24 où 24 24 24 (f K) 24 (f 24 2 : 4 (f K) 24 (f K) 24 2 (fK) K)1−β 44 (f 2 K) (f K) 1−β f ν Où : 1−β ν z = 2 (f K) f2 log où z = (f K) où :: log α K 1−β 1−β ν f f α z = ν (fK) K2 log z = (f K) 2 log 2 α K α K + z − ρ 1 − 2ρz + z 2 1−β − z + z −ffρ =1 log ν f f 1−β +1−β x(z) ν 1−β νν 2ρz 2 log x(z) = log = choix (f zK) 2 +des 2la 2 +volatilité 1+ − zρde 2 log = s’est (f porté K) 2 sur log l’anticipation mouvements de nappe mais nous aurions z = (f K) z = (f K) log z − ρ 1 − 2ρz + z 1 − 2ρz z − ρ 1 − ρ α K α = log K α K x(z) α K x(z) = log également de l’appliquer pu choisir ou bien directement taux, 1 − ρ aux courbes de − ρ de change aux1taux 2 + z − ρ2 22 + zla−couverture 1sous-jacent − 2ρz La +1 z− volatilité à la monnaie est donnée par : + z − ρ 2ρz + z ρ 1 − 2ρz + z sur le : la couverture en delta est souvent mieux gérée que en vega. + z − ρ 1 − 2ρz + z Lalog volatilité à la monnaie est donnéex(z) par= : log = log x(z) = x(z) = La volatilité à−laρmonnaie est donnée parLe : log 1 − ρ 1 (((début encadré PARTIE TECHNIQUE: modèle SABR et ses principaux résultats mathé11 − monnaie est donnée par : − ρρ La volatilité à la monnaie est donnée par : matiques ))) 2 2 2 2 (1 − α αβρν α 2 − 3ρ 2 F β) 1 2 2 nnée par : aie est :σ (1 −1par β) α f )est 1 αβρν La volatilité la donnée Ledonnée modèlepar SABR estM à (f, deux facteurs décrivant couplé le3ρ cours un=modèle La volatilité la monnaie monnaie est donnée par σààimplicite ++ 2 − ν ttex =1 + + :: αdemanière +ν 2 forward AT 1−β 1−β 2) = 2 2(1−β) σATαM = σ + t24 (f, f 2 2 2 2 ex implicite 24 4 f f f 1−β 1−β α (1 − β) 2 − 3ρ 1 αβρν 2(1−β) α (1 − β) α 2 − 3ρ 1 αβρν et la volatilité αt : 24 + f(f, f+ ν 2 tex 4 f 1 AT + M = σimplicite +24 + ν 2 tex 1 + f ) = 1−β licite (f, f) =f 1−β σ 2(1−β) 1−β 2(1−β) 24 24 4 f 24 24 f 4 f f 2 3ρ2 2 2 1 αβρν 22 dynamique 2 est 1α . La 22 α − β)Le(1terme α − du point à 3ρ la22monnaie (backdominant de cette expression α2cette − β) αLe(1terme 22est − 3ρα 1 2expression αβρν α F2β α (1 − β) α 2 − 1 αβρν 1−β α (1 − β) α 2 − 3ρ 1 αβρν = dW dF 2 f . La dynamique du point à la monnaie (backdominant de expression 2 t t Le terme dominant de cette est . La dynamique du point à la monnaie (backbone) est donc es+ t text ++(f, ν+ ,−β f ) =1 +1−β 1 + 2(1−β) +να1−βtex σ = σ + ν 1 t f ) = + f 1−β σ = σ + ν 1 + t (f, f ) = + 1−β ex AT M implicite ex AT M implicite 1−β 2(1−β) α 1−β 2 α 24 24 2(1−β) 4 f f est 1−β 1−βpoint 2(1−β) bone) donc essentiellement et donc β peut aussi être déterminé par une étude du back24 24 f 4 f α f 24 24 f 4 f f 1−β . La dynamique du point à la monnaie (backant de cette expression est dα = να dW 24 24 f 4 f sentiellement et donc β peut aussi être déterminé par une étude du backbone. Regardons l’influence des f . La dynamique du à la monnaie (backLe terme dominant de cette expression est ft bone) est donc essentiellement et donc β peutt aussi être déterminé par une étude du backt f 1−β f 1−β f 1−β α α paramètres sur le smile de volatilité. bone. ntiellement et donc β peut aussi être déterminé par une étude du être backbone) est donc essentiellement et donc β peut aussi déterminémodèle par uneβétude bone. 1−β α f 1−β Le Fdynamique undynamique processus dont la loi déterminé par le paramètre et la du backfmonnaie αα (backtαsuit . est La du point à paramètres lapoint (backpression estforward du à laest monnaie cette expression . La dynamique du point à la monnaie (backLe terme dominant de cette expression est . La dynamique du point à la monnaie (backLe terme dominant de cette expression est 1−β . La Regardons l’influence des sur le smile de volatilité. En faisant varier les paramètres f 1−β 1−β 1−β f ff appeléeEn bone. l’influence des paramètres sur levolatilité smile de volatilité. faisant varier les paramètres volatilité αtEn suit un processus log-normal ν, volatilité de la: volatilité. Ces α Regardons αde faisant varier les paramètres un par tous les autres étant fixés, nous observons αun,nous β peut aussi être déterminé par une étude du back ment et donc β peut aussi être déterminé par une étude du backβ et donc un par un, tous les autres étant fixé, observons : bone) est donc essentiellement et donc β peut aussi être déterminé par une étude du est donc essentiellement et donc β smile peut aussi parvarier une étude du backback1−β paramètres 1−β 1 être déterminé 2 En faisant 1−βfaisant uence surautres le smile de fixé, volatilité. varier les paramètres fdes Regardons l’influence des paramètres sur de les paramètres ffEn un par un,bone) tous les étant nous observons : le deux processus sont corrélés via leurs mouvements browniens dWvolatilité. t , dWt = ρdt. Les paramètres bone. bone. autres étant fixé, nous observons : un àpar un, tous autres fixé, nous observons dusur modèles calibrer sontles donc αα=étant α initiale), β,: ρet ν. Volatilité initiale Corrélation Volatilité de la volatilité υ 0 (la volatilité mètres le smile de volatilité. En faisant varier lesvarier paramètres des paramètres surRegardons le smile del’influence volatilité. En faisant lesle paramètres des paramètres sur smile de volatilité. En faisant varier les paramètres Regardons l’influence des paramètres sur le smile de volatilité. En faisant varier 3 Le coefficient β détermine la loi du forward : 3le cas β = 1 produit une loi log-normale et lales casparamètres ,tant nousfixé, observons : nousun observons : les par un, tous autres étant fixé, nous observons : un par un, tous les autres étant fixé, nous observons : 3 β = 0 produit une loi normale. Contrairement aux autres3paramètres, il n’est pas déterminé par l’algorithme de calibration mais par des considérations spécifiques au marché. 3 Kumar, 3 Lesniewski et Woodward dans l’article 3fondateur 3 Hagan, Managing Smile Risk trouvent une formule approchée pour la volatilité implicite. σimplicite (K, f ) = 1−β Translation verticale (f K) 2 1+ 1+ (1−β)2 2 24 log (1−β)4 f 4 Rotation K + 1920 log f K z x(z) Battement d’ailes (1 − β)2 α2 1 αβρν 2 − 3ρ2 2 ν tex + + 24 (f K)1−β 24 4 (f K) 1−β 2 n de l’encadré))) (((fin de l’encadré))) (((fin de l’encadré))) 20 α oùLL aa: rr ee vv uu ee dd ‘N‘ OOºpp1uu ss• dFF éii nnc aea nmn ccbeer e 2 0 1 2 DOSSIER TECHNIQUE . ANTICIPATION DE LA VOLATILITÉ IMPLICITE : . MODE D’EMPLOI ZOOM SUR LE MODÈLE ORIGINEL DE BLACK LITTERMAN Pour réaliser des anticipations sur la volatilité implicite, implicite : mode d’emploi (((titre))) Anticipation de la volatilité mploi ticipationAnticipation denous la volatilité : mode d’emploi (((titre))) deleimplicite lamodèle volatilité implicite : mode d’emploi adaptons de Black-Litterman. Celui-ci est Black et Litterman ont développé un modèle peressentiellement basé sur le théorème de Bayes. Il quantifie mettant d’associer la gestion et lamodèle gesPour réaliser des anticipations sur la volatilité implicite noustraditionnelle adaptons le de Blackcite nous. adaptons le lamodèle ded’un Blackl’impact de réalisation événement surnous laimplicite probabilité tion quantitative de portefeuille d’actifs directement liser des anticipations sur la volatilité implicite adaptons le modèle de BlackPour réaliser des anticipations sur la volatilité nous adaptons le modèle de BlackLitterman. Celui-ci est essentiellement basé sur le théorème de Bayès. Il quantifie l’impact de la tons le modèle de Blackème de Bayès. Il quantifie l’impact de laFixons les idées : Si X une qu’un autre événement sesur réalise. cotés l’impact sur le marché. Le marché de est modélisé par une Celui-ci est essentiellement basé le théorème de Bayès. Il quantifie de la Litterman. Celui-ci est essentiellement basé sur le théorème de Bayès. Il quantifie l’impact la d’un évènement la probabilité qu’un autre évènement se réalise. Fixons les idées : quantifie l’impact de Fixons laréalisation (((titre))) dedensité la volatilité implicite :sur mode d’emploi el évènement se réalise. les idées variable aléatoire de π et: autre Y est une autre variable nticipation de laAnticipation volatilité implicite : mode d’emploi variable aléatoire suivant loi normale. Son espéd’un évènement sur la probabilité évènement se réalise. Fixons les idées : une réalisation d’un évènement sur la qu’un probabilité qu’un autre évènement se réalise. Fixons lesaléatoire idées : dont Si X une variable aléatoire de densité π et Y une autre variable connait f (y|x) réalise. Fixons les idées : aléatoire dontononconnait connaît f (y|x) la densité conditionnelvariable aléatoire dont rance représente les rendements des actifs et laon mariable aléatoire de densité π et Y une autre variable aléatoire dont on connait f (y|x) Si X une variable aléatoire de densité π et Y une autre variable aléatoire dont on connait f (y|x) la densité conditionnellement à X. Alors : la densité jointe de Y et X est donnée re connait f X, (y|x) lement alors, la volatilité densité de la Y et X est donnée trice deadaptons covariance leurs corrélations. Les opinionspar f (y, x) = Pour des anticipations sur volatilité implicitelenous le modèle de Blackntedont dedes Yon et X réaliser est àdonnée par f (y, x)jointe =implicite aliser anticipations sur la nous adaptons modèle de Blackonditionnellement à X. Alors : la densité jointe de Y et X est donnée par f (y, x) = la densité conditionnellement à X. Alors : la densité jointe de Y et X est donnée par f (y, x) = (y|x) etsur densité marginale de Y sede calcule simplement en intégrant par fCelui-ci ==π(x)f et laladensité marginale Y se est donnée par (y, x) du gestionnaire sont exprimées sur lesde rendements. Litterman. estbasé essentiellement basé surBayès. ledethéorème Bayès. Il quantifie l’impact lala densité jointe sur ement en la densité jointe densité Celui-ci estintégrant essentiellement surdele théorème de Il quantifie l’impact desur la et la densité marginale de Y en seintégrant calcule simplement en intégrant laCes jointe π(x)f (y|x) et lajointe densité marginale Yla se calcule simplement en intégrant la densité jointe sur calcule simplement densité jointe sur toutes toutes les valeurs possibles de X f (y) = π(x)f (y|x)dx. Alors, la densité de X opinions ou vues sont supposées suivre rant la densité sur évènement réalisation d’un évènement sur qu’un autre évènement se réalise. les idéesconditionnelle : une loi x. Alors, la densité conditionnelle delaXprobabilité d’un évènement sur lapossibles probabilité qu’un autre se réalise. Fixons les idées : Fixonsde aleurs possibles de X f (y) = π(x)f (y|x)dx. Alors, la densité conditionnelle de X toutes les valeurs possibles de X f (y) = π(x)f (y|x)dx. Alors, la densité conditionnelle X les valeurs de X : . La normale dont l’espérance est la vue et la variance la sachant Ydeest donnée parY : une autre variable aléatoire dont on connait f (y|x) nsité conditionnelle de Xaléatoire Sialéatoire X une variable densité π et ariable densité autre variable aléatoire dontconfiance on connait f (y|x) densité sachant Y est donnée par : st donnée : deconditionnelle sachant Y par est donnée par : π etdeY Xune dans cette vue. Ce paramètre de confiance la densité conditionnellement à X. Alors la densité de Y par et Xf est donnée par f (y, x) = onditionnellement à X. Alors : la densité jointe: de Y et X jointe est donnée (y, x) =(y|x) dans chaque vue permet de nuancer l’importance et π(x)f (y|x) π(x)f x)f (y|x) π(x|y) = = π(x)f (y|x) et la densité marginale de Y se calcule simplement en intégrant la densité jointe (y|x) π(x)f π(x)f(y|x) et la densité marginale de Yπ(x)f secalcule simplement en π(x)f intégrant jointe sur (y|x)ladonc de la vue par rapport au sur modèle inifdensité (y)l’influence π(x)f (y|x) (y|x) = = π(x|y) π(x|y) = = (x)f (y|x) les valeurs de X(y|x)dx. f (y) = π(x)f (y|x)dx. Alors, la densité conditionnelle de X la loi tial. Dans un premier temps, il faut déterminer aleurstoutes possibles de X fpossibles (y) = f (y) π(x)f Alors, la densité conditionnelle de X π(x)f (y|x) f (y) π(x)f (y|x) C’est le théorème de Bayès dans sa version continue. Black et Litterman ont développé leur sachant Y est donnée par : des rendements étant donnée la vue, puis revenir au .stBlack et Litterman ont développé leur donnée de parBayès : théorème dans sa version continue. Black et Litterman ont développé leur C’est le théorème de Bayès dans sa version continue. Black et Litterman ont développé leur pour la gestion de portefeuille composé uniquement d’actifs simples. Les anticipations se rmand’actifs ont développé leurmodèle marché quiet suit une loila normale. ment simples. Les anticipations C’est le théorème de Bayès dansse sa version continue. Black l’espérance est la vue laaussi variance confiance dans cette vue. Ce par r la gestion delaportefeuille composé uniquement d’actifs simples. Les anticipations se loi gaussienne modèle pour gestion se de portefeuille composé uniquement d’actifs simples. Les anticipations se π(x)f (y|x) π(x)f (y|x) font alorsµ(y|x) sur les rendements des actifs. Les actifs suivent une de moyenne µ et de π(x)f mples. Les anticipations π(x)f (y|x) t une loi gaussienne de moyenne et de et Litterman ont développé leur modèle pour lachaque gestion π(x|y) = = vue permet de nuancer l’importance et donc l’influence de la v π(x|y) = = ur les rendements des actifs. Les actifs suivent une loi gaussienne de moyenne µ et de font alors sur les rendements des actifs. Les actifs suivent une loi gaussienne de moyenne µ et de Nous présentons ici un exemple repris de l’article f (y) π(x)f (y|x) Σ : X(y|x) ∼ N (µ, Les vues sont des combinaisons linéaires sur l’évolution enne de moyenne µ et devariance-covariance f (y) π(x)f de portefeuille composé uniquement d’actifs simples. LesΣ). s combinaisons linéaires sur l’évolution initial. Dans un premier temps, ilBlack-Litterman faut déterminer la loi des rendements variance Σ : X ∼ N (µ, Σ). Les vues sont des combinaisons linéaires sur l’évolution variance-covariance Σ : X ∼ N (µ, Σ). Les vues sont des combinaisons linéaires sur l’évolution d’Attilio Meucci « The approach: des actifs, V = P X, sont exprimées sur les rendements des actifs et sont supposées encore gauslinéaires sur l’évolution anticipations se font alors sur les rendements des actifs. le supposées théorème Bayès dans sa version continue. Black et Litterman ontune développé leur des actifs C’est etdesont encore gausthéorème Bayès dans sade version continue. Black et Litterman ont développé leur revenir au marché qui suitgausaussi loi normale. Original Model and Extensions » qui permet dela vue. Alors = Pactifs, X, sont exprimées sur les rendements des actifs et sont supposées encore des V Les = P X,gaussont exprimées sur les rendements des actifs et sont supposées encore gausactifs suivent une loi gaussienne de moyenne μ et de siennes : P µ ∼ N (v, Ω) où v représente la valeur de la vue et Ω la confiance dans t supposées encore modèle pour la gestion portefeuille composé uniquement d’actifs simples. Les anticipations vue Ω la confiance dans composé la de vue. Alors r∼ la et gestion portefeuille uniquement d’actifs simples. Les anticipations se Nous ici un de se l’article fixer les idées surexemple les et l’intérêt de ce d’Attilio Meuc µfiance N (v, où vNreprésente valeur Ω la confiance dans la vue. Alors siennes : Ω) P µde ∼vue. (v, Ω) où v la représente de vue Ωmla confiance dans la objectifs vue. repris Alors variance-covariance Σ :est X encore ~ N de (μ,lala Σ)valeur .vue Les et vues sont deset présentons X|v; Ω gaussien de moyenne et de matrice de variance-covariance σ avec : dans la Alors font alors surdes lesactifs. dessuivent actifs. Les actifs suivent une loi gaussienne de moyenne µinvestit et dededans e variance-covariance σrendements avecLes : actifs modèle. Un fonds d’investissement 6 les idées sur le ur les rendements une loi gaussienne de moyenne µ et de proach : Original Model and Extensions qui permet fixer ncore moyenne m moyenne etsur del’évolution matrice σ avec : combinaisons linéaires desvariance-covariance actifs, V de = PX , X|v; Ωgaussien est encore de m etde de matrice variance-covariance σ avec : ariance σ avec :de gaussien variance-covariance Σ : X ∼ N (µ, Σ). Les vues sont des combinaisons linéaires sur l’évolution indices nationaux : Italie, Espagne, Suisse, Canada, variance Σ :sont X ∼ N (µ, Σ). vues sont des desactifs combinaisons sur l’évolution modèle. exprimées surLes les rendements et sont sup- linéaires −1 La matrice et USA Allemagne. de covariance actifs, V encore = P X,gaussiennes sont surdes lesoù rendements des actifs etencore sont supposées encore X, sont exprimées sur lesexprimées rendements actifs et sont supposées gaus1 = P des Un fond d’investissement investit dans 6gausindicesdes nationaux : Italie, posées : Pμ ~ N(υ,Ω) υ représente + Ω (v − P µ) P ΣP m = µ + ΣP −1 (v −siennes P µ) : P µ ∼ N (v, Ω) où −1 v représente rendements journaliers de ces six indices est estila − valeur de la vue et Ω la confiance dans la vue. Alors = µla +vue ΣPet (v PΩ µ) P ΣP de dans la+ vue. Alors Ω (v − P µ) ΣP mΩ =la µ confiance ++ ΣPΩla Pvue µ ∼ N (v, Ω)laoùvaleur vm représente la valeur de et la confiance dans la vue. Alors USA et Allemagne. La de covariance des rendements journal −1 matrice −1 mée àΣP partir σ =: (21%; 24%; 24%; + des Ω volatilités Pσ Σ avec Pavec Σ de − ΣP −1 dede σ−1= de Ω Xest encore gaussien moyenne mvariance-covariance et de dematrice matrice variance-covariance est encore gaussien moyenne et P Σ X|v; |υ;Ω de ncore gaussien de moyenne m et matrice de σ : estimée à partir des volatilités σ = (21%, 24%, 24%, 25%, 29%, 31%) et d + Ω P Σ P ΣP σ = Σ − ΣP + Ω P Σ P ΣP σ = Σ − ΣP 25%; 29%; 31%) et de la matrice de corrélation : variance-covariance σ avec : L’exemple ci-contre ’Zoom sur le modèle originel de Black-Litterman’ illustre cette approche. Black-Litterman’ illustre cette approche. −1illustre 1 approche. 54% 41% 62% 59% 25% 41% 59% le ci-contre ’Zoom sur le modèle originel de Black-Litterman’ cette approche. L’exemple ci-contre ’Zoom sur le modèle originel de Black-Litterman’ illustre cette 1 54% 62% 25% −1 En la modifiant pour postuler les anticipations non plus sur les rendements des actifs directement n’ cette approche. +Ω (v − P µ) ΣP m =+µΩ+ ΣP(v −P P urillustre les rendements des actifs directement = µ + ΣP Panticipations ΣP µ) sur m directement . 26% 1 36% 69% 83% 26% 36% 83% antla pour postuler les anticipations non plus sur les rendements des actifs directement En modifiant pour postuler les non plus les rendements des 1actifs 69% volatilité côtés sur le marché mais sur les mouvements de.la nappe de implicite des options, nous nts des actifs directement −1 de volatilité implicite des options, nous −1 . . 1 15% 46% 65% + Ω P Σ P ΣP σ = Σ − ΣP . . 1 15% 46% 65% marché mais sur les mouvements de la nappe de volatilité implicite des options, nous côtés surdes le marché sur les mouvements deP la defortes volatilité implicite de deslaoptions, nous σmais = Σsommes − ΣP P ΣPmesure + Ω d’anticiper Σ nappede volatilité. turbulences Les indicateurs de risque mplicite options, nous e la volatilité. Les indicateurs de en risque . 39% 1 47% 39% . indicateurs .risque . . de1.risque 47% mesure d’anticiper de fortes turbulences de la volatilité. Les indicateurs de sommes en mesure d’anticiper de fortes turbulences de la volatilité. Les qui en découlent intègrent alors ces extrêmes et sont plus pertinents. Bien sûr cette Les indicateurs de risque ci-contre ’Zoom sur lede modèle originel deévènements Black-Litterman’ approche. es sontL’exemple plus pertinents. Bien sûr cette le et ci-contre ’Zoom sur le modèle originel Black-Litterman’ illustre pluscette . approche. . illustre . . cette .. cette 1. 38% . 1 38% ulent intègrent alors ces évènements extrêmes et sont plus pertinents. Bien sûr cette qui en découlent intègrent alors ces évènements extrêmes et sont pertinents. Bien sûr L’exemple « Zoom sur le modèle originel de Black-Litterman » trading des options ou de la volatilité. approche pourra aussi s’appliquer au pertinents. Bien sûr cette En la modifiant pour postuler les anticipations non plus sur les rendements des actifs directement s ou de la volatilité. ..... 1 fiant pour postuler les non plus sur les rendements actifs directement . . . . . 1 ourra s’appliquer au trading des options ou de la qui volatilité. illustreaussi cetteanticipations approche. Enle lacas modifiant pour postuler les de des approche pourra s’appliquer au trading des options ou la volatilité. Dans d’application nous intéresse, nous devons déterminer la distribution des palité. aussi côtés sur le marché mais sur les mouvements de la nappe de volatilité implicite des options, nous evons déterminer la distribution des pamarché mais sur les mouvements de la nappe de volatilité implicite des options, nous nts de la nappe de volatilité mais nous aurions anticipations non plus surnous les nous rendements des actifsdevons cas d’application qui nous intéresse, devons déterminer la distribution des pale cas d’application qui intéresse, nous déterminer distribution des pa- suivante du modèles SABR quidirecdéfinissent smile de volatilité implicite sachant sur 5%, le 8 er laDans distribution des pa-ramètres Le Les portefeuille estlaréparti de ladefaçon :: w̃des (4%, 4%, Leleportefeuille est réparti la façon == vues sommes en sachant mesure d’anticiper de fortes turbulences la volatilité. Lesrisque indicateurs desuivante risque olatilité implicite des vues sur le sur mesure d’anticiper de fortes turbulences de lamouvements volatilité. indicateurs de tement cotés sur leou marché mais lessmile dedesachant de taux, aux taux de change bien directement modèles SABR qui définissent le smile de volatilité implicite des vues sur le ramètres du modèles SABR qui définissent le de volatilité implicite sachant des vues sur le (4%; 4%; 5%; 8%; 17%; 8%)’. L’espérance des smile. Par analogie avec le modèle initial portant sur les cours : e sachant des vues sur le des rendements duBien portefeuille : π = (6%, 7%, 9%, 8%, 1 qui en découlent intègrent alors ces évènements extrêmes et sont plus pertinents. Bien sûrpar cette cours :intègrent lale nappe dela volatilité implicite desles options, nous sommes ulent alors ces extrêmes etsur sont plus pertinents. sûr cetteest donnée ent mieux gérée queavec couverture en vega. nalogie avec modèle initial portant sur cours : les smile. Par analogie leévènements modèle initial portant cours : rendements du portefeuille est donnée par : π = de volatilité – X représente le vecteur des paramètres du modèle SABR qui définissent le smile Supposons que l’investisseur ait deux vues : approche pourra aussi s’appliquer au trading des options ou de la volatilité. enetmesure de des fortesoptions turbulences de la la volatilité. volatiABR qui définissent led’anticiper smile de volatilité ourra aussi s’appliquer au trading oumodèle de modèle SABR ses principaux résultats mathérésente le vecteur des paramètres du modèle SABR qui définissent le smile de volatilité (6%; 7%; 9%; 8%; 17%; 10%). – X représente le vecteur des paramètres du SABR qui définissent le smile de volatilité implicite : Xen=découlent (α, β, ρ,intègrent ν) ssent le smile deleLes volatilité – l’indice espagnol vades augmenter de 12% lité. indicateurs de risque qui Dans cas d’application quinous nous intéresse, nous devons déterminer la padistribution des sur pa-l’année cas: d’application qui nous intéresse, devons déterminer la distribution ite Ximplicite = (α,alors β, :ρ,X ν) = (α, β, ρ, ν) – Y représente la vue de l’investisseur ou du gestionnaire de risque cesmodèles évènements extrêmes et sont plus pertinents. –Bien différence entre lessur rendements de l’indice ramètres duqui SABR définissent le smile delavolatilité implicite vues le : US et allemand sera naire de risque modèles SABR définissent lequi smile deou volatilité implicite sachant des vues le des ait Supposons que sachant l’investisseur deuxsur vues décrivant de manière couplé le cours forward F ésente vue decette l’investisseur ou du gestionnaire detrading risque t au – Y lareprésente laapproche vue de(((début l’investisseur du gestionnaire de risque sûr pourra aussi s’appliquer des encadré PARTIE TECHNIQUE: Zoom sur le modèle originel de Black Litterman Il est possible de résumer ces vues dans un vecteur v = ))) (12%, − smile. Par analogie avec le modèle portant sur les cours : modèle originel de Black Litterman )))surinitial nalogie avec le modèle portant cours : originel TECHNIQUE: Zoom sur le modèle Black Litterman )))100% encadré TECHNIQUE: Zoom sur le modèle originel de Black Litterman ))) options ouPARTIE deinitial la volatilité. Dans lesles cas d’applications qui dedans lencadré de(((début BlackPARTIE Litterman ))) confiance les vues ici à : X représente le vecteur paramètres du modèle SABR définissent leaugmenter smile dede volatilité l’indice espagnol va 12% sur l’année. résente le–vecteur des paramètres dudes modèle SABR définissent le●qui smile de volatilité nous intéressent, nous devons déterminer la qui distribution Black et Litterman ont développé un modèle permettant d’associer lal’indice gestion β d’associer 1 ● la différence entre les rendements de UStraditionnelle implicite : X = (α, β, ρ, ν) ttant la gestion traditionnelle ite :X β, développé ρ, ν) ont αLitterman dW=t (α, t FtBlack des paramètres duun modèles SABR définissent le smilelad’associer modèle permettant d’associer gestion traditionnelle etont Litterman développé un qui modèle permettant ladirectement gestion traditionnelle 0 1 0 0 0 0 et la gestion quantitative de portefeuille d’actifs côtés sur le marché. Le marché est la gestion traditionnelle et allemand sera de -10%. 2 – sur Ydereprésente laLe vue de du l’investisseur ouPar durisque gestionnaire de risque ment côtés le l’investisseur marché. marché est P = résente de ou gestionnaire de να dW volatilité implicite des vuesdirectement surd’actifs le smile. analogie tla t la vue de portefeuille d’actifs côtés sur lesuivant marché. Le marché est etquantitative gestion quantitative de portefeuille directement côtés sur leloi marché. Le Son marché est 0 0 0 0 1 −1 Il est possible de résumer ces vues dans un vecteur modélisé par une variable aléatoire une normale. espérance représente les rendele marché. Le marché est (((début encadré PARTIE TECHNIQUE: Zoom sur lede modèle originel de))) Black Litterman ))) ale. Son espérance représente lesZoom rendeavec leTECHNIQUE: modèle initial portant sursur les le cours : Son PARTIE modèle originel Black Litterman rencadré une variable aléatoire suivant une loi normale. espérance les rendemodélisé par une variable aléatoire suivant une loi normale. Sonreprésente espérance représente υ =leurs (12%;corrélations. -10%)’ et une les matrice de confiance dans est déterminé par le paramètre modèle β et la ments des actifs et la matrice de covariance Lesrendeopinions du gestionnaire sont nce représente les rendetions. Les opinions du gestionnaire sont (((fin dedu l’encadré))) ctifs et la matrice de covariance leurs corrélations. Les opinions gestionnaire sont les vues ici à 100% : ments des actifs et la matrice de covariance leurs corrélations. Les opinions du gestionnaire sont latilité ν, appelée volatilité de la volatilité. Ces exprimées sur les rendements. Ces opinion ou vues sont supposées suivre une loi normale dont ons du gestionnaire sont ● Xetreprésente vecteur desdont paramètres modèle SABR lenormale Black Litterman ont développé undumodèle permettant d’associer la gestion traditionnelle supposées suivre une loi .suivre Litterman ont développé un modèle permettant d’associer la gestion traditionnelle 1rendements. 2opinion ur les rendements. ou vues sont loi normale dont exprimées sur les Ces opinion ousupposées vues sont supposées suivre une loi normale dont Les paramètres ,Ces dW ts browniens dW qui le ρdt. smile deportefeuille volatilité implicite :X =directement (α, β, une côtés vre une loigestion normale dont tdéfinissent t = et la quantitative de d’actifs sur le marché. n quantitative de portefeuille d’actifs directement côtés sur le marché. Le marché 0 1 est 0 Le marché 0 0 est 0 P = ité initiale), β, ρ et ν. , ν) . 5du0 par une variable aléatoire suivant Son une(((titre))) loi normale. rendeLareprésente preuve concept avec option Son espérance 0représente 0 une 0les 1 vanille -1 ar unemodélisé variable aléatoire suivant loi normale. espérance les rende● Y représente la log-normale vue deune l’investisseur ou 5du gestionnaire e cas β = 1 produit une loi et la cas 5 covariance ments des actifs et la matrice de leurs corrélations. Les opinions du gestionnaire sont ctifs et la matrice de covariance leurs corrélations. Les opinions du gestionnaire sont de risque. ux autres paramètres, il rendements. n’est pas déterminé par ou vues sont supposées suivre une loi normale dont surCes les Ces sont opinion d’une telle méthode ur lesexprimées rendements. opinion ou vues supposées L’intérêt suivre une loi normale dont apparaît déjà sur une seule option vani ations spécifiques au marché. la VaR. Les paramètres d’intérêt qui pilotent le modèle SABR sont X = l’article fondateur Managing Smile Risk trouvent donne une valeur à l’instant initial pour chaque paramètre, X0 = (α0 5 5 e. L a r e vd’un u e d an, ‘ O p ce u s qui F i n fournit ance est répétée sur un historique de données une 21 lo Nº1 • décembre 2012 mètres. Les anticipations sont exprimées sur les paramètres. Le gestion ( ) ( ) og DOSSIER TECHNIQUE nts de entre la nappe de volatilitéde mais nousUS aurions érence les rendements l’indice et allemand sera de -10% l’anticipation desdemouvements de la nappe de volatilité mais nous aurions de taux, aux taux change ou bien directement ssible de résumer ces vues dans un vecteur v = (12%, −10%) et une matrice de de l’appliquer aux courbes de taux, aux taux de change ou bien directement ent les mieux que la: couverture en vega. ans vuesgérée ici à 100% couverture est souventrésultats mieux gérée que la couverture en vega. modèle SABRenetdelta ses principaux mathé PARTIE TECHNIQUE: Le modèle SABR et ses résultats mathé0 1 0 0 0 0 principaux La loi a posteriori de chaque paramètres est caluler en confronta P = décrivant de manière couplé le0 cours Ft 0 0forward 0 1 −1 grâce à la formule de Black-Litterman. un modèle à deux facteurs décrivant de manière couplépation le cours forward Ft Dans cet exemple, le portefeuille contient une seule option d’ach l’encadré))) ● chaque paramètre est tiré selon sa loi, se déroule de la façon suivante : DU CONCEPT αt Ftβ dWt1 LA PREUVE ● calcul de la volatilité implicite avec la formule fermée β 1 – chaque paramètre est tiré selon sa loi = αt FtVANILLE dWt dFt OPTION ναt dWt2 AVEC UNE obtenue par Hagan, 2 – calcul de la volatilité implicite avec la formule fermée obtenue preuve du concept dα avec une option vanille t = ναt dWt ● la formule de Black-Scholes permet d’obtenir le prix des est déterminé par le paramètre modèle β et la – la formule de Black-Scholes permetlesd’obtenir le prix L’intérêt d’une telle méthode apparaît déjà sur une seule options européennes et de calculer gains/pertes du des option uit un processus dont la loi est déterminé par le paramètre modèle β et la latilité ν, appelée volatilité de la volatilité. Ces option vanille cas sur du calcul de la option VaR. Les para- les du portefeuille d’une telle méthode apparaît une seule vanille dans le cas duàcalcul de souhaité, à l’horizon souhaité dans ledéjà gains/pertes portefeuille l’horizon 2 volatilité processus log-normal de ν, appelée volatilité de la les volatilité. Ces = Les paramètres , dW ts browniens dWt1d’intérêts mètres quiρdt. pilotent le modèle SABR sont X ==(α, SABR ● les étapes précédentes sont N fois grand, – étapes précédentes sontrépétées répétées N avec fois N avec N grand paramètres d’intérêt quit pilotent le modèle sont X (α, β, ρ, ν). La calibration 2 = ρdt. Les paramètres corrélés via leurs mouvements browniens dWt1à, dW N me trajectoire la ité initiale), β, ρ et ν. β, , ν) . La calibration donne une valeur l’instant initial t ● La VaR Monte Carlo à α % est la α Carlo à α% est la α 100 trajectoire la plus défav , ρ0VaR , ν0 ).Monte La calibration valeur à l’instant initial pour chaque paramètre, X0 = (α0 ,–β0La re sont donc αpour =α volatilité initiale), β, chaque paramètre, X0 = (α0, et , ρ et , ν0ν. ). La calibration plus défavorable. cas = 1 produit une loi log-normale 0 (la 0 la 0cas sur unβhistorique de données d’un an, ceβqui fournit une loi historique pour les paraest du répétée surn’est un: le historique qui étermine loi forward casdéterminé β =de1 données produit une an, loi ce log-normale et simplement la cas ux autres la paramètres, il pas pard’un Il s’agit de simulations trajectorielles pour un cal anticipations sont une exprimées sur les paramètres. Le Les gestionnaire deici risque donne les fournit loi historique pour les paramètres. anticiIl s’agit ici simplement de simulations trajectorielles pour oi normale. Contrairement aux autres paramètres, il n’est pas déterminé par ations spécifiques au marché. Carlo mais cet exemple met en évidence la modification de la VaR q ues de ces anticipations : pations exprimées sur spécifiques les paramètres.au Le gestionnaire un calcul de la VaR de type Monte Carlo mais cet exemple ration mais par dessont considérations l’article fondateur Managing Smile Risk trouvent marché. sont Nous avons vu que β pasles enparajeu pour la calib de risque donne les caractéristiques de ces anticipations : modifiés. met en évidence la modification den’entrait la VaR quand esniewski et Woodward dans l’article fondateur Managing Smile Risk trouvent e. tion n’est postulée dans cetNous exemple. Les anticipations sur les mètres modèlesur sontβmodifiés. avons vu que β n’enhée pour la volatilité implicite.α ∼ N (µα , Σα ) des gaussiennes dont et laaucune variance ont été choisie arb trait pas en jeu pourlalamoyenne calibration donc anticipation postulée sur βsignificatif. dans cet exemple. Les anticipations obtenir n’est un mouvement Par rapport au smile de volatilité β ∼z N (µβ , Σβ ) α les trois autres paramètres sont des gaussiennes dont la sur 4 smilezanticipé a subi les trois mouvements fondamentaux décrits plu α N (µρ , Σρ ) f f ρ x(z) ∼ log 4 K homothétie og 2f ) K + (1−β) K, = moyenne et la variance ont été choisies arbitrairement mais 2 4 1−β 1920 et rotation. (1−β) f x(z)de façon 2∼ N 4 f ν (µ , Σ ) log log + (f K) 2 1 + (1−β) à obtenir un mouvement significatif. Par rapport ν ν 24 1920 K K 2 1 αβρν 2 − 3ρ2 2 au smile de volatilité obtenu par la calibration, le smile anν2 tex 1 αβρν + + β)2 2 1−β 1−β (1 − α 2 − 3ρ ticipé a subi les trois mouvements fondamentaux décrits 24 4 (f1K) 2 de chaque paramètre+est calculée +La 2loi a posteriori 1−β ν entex + 1−β plus haut : translation verticale, homothétie et rotation. 24 24 4 confrontant la(f loiK) historique et l’anticipation grâce à la for6(f K) 2 mule de Black-Litterman. Dans cet exemple, le portefeuille contient une seule option d’achat européenne. f K L’algorithme se déroulede lafaçon suivante : Le passé est résumé par les lois historiques sur les paramètres, déterminées par les différentes calibrations. Les distributions des paramètres anticipés sont des scénarios pour 1−β ν f z = (f K) 2 log α K 2ρz + z 2 + z − ρ 2+z−ρ 1 − 2ρz + z 1choix − ρ s’est HISTORIQUE, ANTICIPÉE ET A POSTERIORI SURdeLES PARAMÈTRES DUaurions MODÈLE SABR l’anticipation des mouvements de la nappe volatilité mais nous x(z)porté =LOIS logsur 1−ρ également pu choisir de l’appliquer courbes de taux, aux taux de change ou bien directement Lois pouraux α. Lois pour ν sur le sous-jacent : la couverture en delta est souvent mieux gérée que la couverture en vega. monnaie est donnée par : (((début encadré PARTIE TECHNIQUE: Le modèle SABR et ses principaux résultats mathé 2 matiques α2 ))) 1 αβρν − β) 2 − 3ρ2 2 2ν à deux +SABR t2ex facteurs 2de manière couplé le cours forward Ft Le modèle est+ un modèle décrivant 1−β α (1 − β) α 2 − 3ρ 1 αβρν 2(1−β) 4 f f) = 24 4 f 1+ + ν 2 tex + citeet(f, la volatilité 24 f 2(1−β) 4 f 1−β 24 f 1−βαt : Figure : Lois d’anticipations sur les paramètres du m α β −β . La dynamique du point à la monnaie (back1 = α F dW dF α t t t monnaie (back. La dynamique nt cette expression ut de aussi être déterminéest parf 1−β une étude du back-du pointt à la dαt = ναt dWt2 α tiellement f 1−β et donc β peut aussi être déterminé par une étude du backforwardEn Ftfaisant suit un processus dont la loi est déterminé par le paramètre modèle β et la mile deLe volatilité. varier les paramètres αt suit un log-normal de faisant volatilité ν, appelée volatilité ence surprocessus le smile de volatilité. En varier lesparamètres nsvolatilité : des paramètres de la volatilité. Ces 1 , dW 2 = ρdt. Les paramètres deux processus sont corrélés via leurs mouvements browniens dW utres étant fixé, nous observons : t t du modèles à calibrer sont donc α = α0 (la volatilité initiale), β, ρ et ν. Lois pour Le coefficient β détermine la loi du forward : le cas β = 1 produit une loi log-normale et la cas 3 β = 0 produit une loi normale. Contrairement aux autres paramètres, il n’est pas déterminé par l’algorithme de calibration mais par des considérations spécifiques au marché. Hagan, Kumar, Lesniewski et Woodward dans l’article fondateur Managing Smile Risk trouvent 7 une formule approchée pour la volatilité implicite. z σimplicite (K, f ) = 2 1−β (1−β)4 x(z) 2 f 4 f log log + (f K) 2 1 + (1−β) 24 1920 K K (1 − β)2 α2 1 αβρν 2 − 3ρ2 2 1+ ν tex + + 24 (f K)1−β 24 4 (f K) 1−β 2 α 22 où : LL aa rr ee vv uu ee dd ‘‘ OO pp uu ss FF ii nn aa nn cc ee Nº1 • décembre 2012 SmileVaR DOSSIER TECHNIQUE MOUVEMENTS DU SMILE DE VOLATILITÉ IMPLICITE ET MODIFICATION DU P&L ET DE LA VAR DU CALL EUROPÉEN le futur. En confrontant les lois historiques et les anticipations du gestionnaire, il est possible de créer un curseur entre la VaR, sans anticipation, et un stress test, sans historique, en fonction de la confiance accordée les anticipations. Figure dans : Mouvements du smilePour de volatilité avoir une implicite application industrielle, il est néet modification du P&L et de lacessaire VaR duque call ceseuropéen méthodes s’adaptent à des portefeuilles avec un grand nombre de produits dérivés. de formules fermées et l’utilisation de Le passé est résumé par les lois historiques surL’obtention les paramètres, déterminées par les difféméthodes numériques efficaces sont donc un obL’anticipation à l’aide des paramètres d’un modèle n’est rentes calibrations. Les distributions des paramètres anticipés sont des scenarios pour le futur. première importance. pas il est très de prédire a priori Enintuitive, confrontant lesdifficile lois historiques et lescomment anticipationsjectif du de gestionnaire, il est possible de créer un sera modifié le smile. Pour conserver l’aspect intuitif et hucurseur entre la VaR, sans anticipation, et un stress test, sans historique, en fonction de la confiance Afin d’accroître la précision et la pertinence de nos rémain de cette méthode, nous devons l’appliquer directement accordée dans les anticipations. sultats, nous nous intéressons à la géométrie différenaux mouvements du smile, sur lesquels les gestionnaires de tielle, elle permet d’obtenir des formules fermées plus risque. ont une expertise. Les résultats obtenus montrent bien précises que celles obtenues par Hagan grâce aux méqu’il est alors possible d’intégrer des anticipations sur d’imthodes de perturbations singulières et d’extrapoler ces (((titre))) Conclusion portants mouvements du smile et de les prendre en compte résultats à des portefeuilles de grandes dimensions. pour le calcul d’indicateurs de risque tels que la VaR. PERSPECTIVES CONCLUSION L’anticipation sur les paramètres n’est pas intuitive, il est très difficile de prédire a priori com- Dans le cas où la distribution historique des paLa force sera de cette approche la diversité de l’informent modifié leréside smiledans et ne sont pas directement observables sur le marché. Pour conserver ramètres et des vues sont gaussiennes, Black et mation qui peut être intégrée et nuancée grâce à un paramètre l’aspect intuitif et humain de cette méthode, nous devons l’appliquer du smile, Litterman ont montréaux quemouvements la loi qui en résultait est qui quantifie la confiance du gestionnaire dans chaque inforsur lesquels les gestionnaires de risque ont une expertise. Les résultats obtenus montrent bien encore gaussienne. mation. Les indicateurs qui en résultent seraient alors une sorte estentre alors d’intégrer sur d’importants mouvements du smile et de dequ’il curseur unepossible situation normale et undes stressanticipations test. Cette Cependant, la mise approche les prendre en compte pour calcul d’indicateurs de risque tels queenlaœuvre VaR. de Lacette force de cette démarche généralisée à l’ensemble desleindicateurs de risque nécessite d’être précis sur les distributions histodonnerait un moyen d’ajouter des « anticipations » devant approche réside dans la diversité de l’information qui peut être intégrée et nuancée grâce à un riques des paramètres pour les confronter aux vuesdu l’imminence d’un grand péril, alors que les outils statistiques paramètre qui quantifie la confiance du gestionnaire dans chaque information. Les scénarios du gestionnaire, il est donc nécessaire de s’extraire usuels encoreou jamais de tels cas. Enetpériode de plus n’ont probable plusrepéré catastrophique les indicateurs qui en résultent seraient alors une sorte de du cas gaussien. crise, la mise à disposition de telles méthodes permettrait de curseur entre une situation normale et un stress test. Points clefs Pour avoir une application inmieux s’adapter à des situations encore « jamais vues ». dustrielle, il est nécessaire que ces méthodes s’adaptent à des portefeuilles avec un grand nombre de produits dérivés. L’obtention de formules fermées et l’utilisation de méthodes numériques efficaces sont donc un objectif de première importance. Afin d’accroître la précision et la pertinence de nos résultats, nous nous intéressons à la géométrie différentielle, elle permet d’obtenir des formules fermées plus précise que celle obtenues par Hagan grâce aux méthodes de perturbations singulières et d’extrapoler ces résultats à des portefeuilles de grandes dimensions. Dans le cas où la distribution historique des paramètres et des vues sont gaussiennes, Black et Litterman ont montré que la loi qui en résultait est encore gaussienne. Cependant, la mise en oeuvre de cette approche nécessite d’être précis sur les distributions historiques des paramètres pour les confron8 23